3.三个正数的算术-几何平均不等式ppt课件教学实录

第一讲

不等式和绝对值不等式

1.3 三个正数的算术-几何平均不等式

三维目标

知识与技能：

1.进一步掌握均值不等式定理,并推广到三个、n个正数时的情形并会应用证明不等式；

2.会应用此定理求某些函数的最值；

3.能够解决一些简单的实际问题. 过程与方法：

通过类比学习让学生进一步掌握均值不等式定理,并推广到三个、n个正数，使学生掌握拆项或裂项技能。

情感态度与价值观：

通过学习让学生体会类比学习，培养学生的知识迁移能力；

教学重点：三个正数均值不等式定理的应用；

教学难点：解题中的转化技巧。

教学过程

一、开门见山，指出本节课的学习目的和任务，使学生带着目的听课。

二、知识铺垫，引出课题。

通过复习两个正数的算术——几何平均不等式，使学生了解算术平均数与几何平均值，并通过分析两个正数的算术——几何平均不等式，使学生掌握其结构特点，为类比推理得出三个正数的算术——几何平均不等式做好铺垫，并引出课题。

三、证明推理，变形引申

1. 定理证明

a＋b＋c3当a、b、c∈R＋时，那么≥abc，当且仅当a＝b＝c时，等号成立

3

证明：a,b,cR,则a3b3c33abc,当且仅当abc时取“”

a3＋b3＋c3≥3abc⇔a3＋b3＋c3－3abc≥0 ⇔(a＋b＋c)(a2＋b2＋c2－ab－bc－ac)≥0 1⇔(a＋b＋c)[(a－b)2＋(b－c)2＋(c－a)2]≥0. 2由于a＋b＋c＞0且(a－b)2＋(b－c)2＋(c－a)2≥0，

1因而(a＋b＋c)[(a－b)2＋(b－c)2＋(c－a)2]≥0成立．

2当且仅当a＝b＝c时，等号成立．

2．定理分析

三个正数算术——几何平均不等式

a＋b＋c3a＋b＋c当a、b、c∈R＋时，那么≥abc，当且仅当a＝b＝c时，等号成立，称为33

3正数a，b，c的算术平均，abc为正数a，b，c的几何平均．可简记为三个正数的算术平均不小于它们的几何平均。

3.推论：

三个正数的算术——几何平均不等式有以下变式

2abc333（1）abc

（2）a＋b＋c≥3abc

34．基本不等式的推广情形

a1＋a2＋…＋ann如果a1，a2，…，an为n个正数，则≥a1a2…an，当且仅当a1＝a2＝…＝nan时，等号成立．

四、正误辨析，理解定理

3（x0)的最小值，列解法是否正确？为什么？

x3解法一：由x0知

2x20,0，则

x求函数y2x2y2x23322x226x

xx33

即x3时，ymin2318

x2当且仅当2x23（x0)的最小值，下列解法是否正确？为什么？

x12解法二：由x0知2x20,0,0,则

xx求函数y2x2y2x2312122x2332x2334知ymin334

xxxxx3（x0)的最小值，下列解法是否正确？为什么？

x30

则

解法三：由x0知2x20,2x求函数y2x2y2x233333932x2332x233336

x2x2x2x2x2233即x3时取“=”

2x4当且仅当2x2五、应用举例

应用一

利用三个正数的基本不等式证明不等式

例1

设a、b、c∈R＋，求证：

11121＋1＋1≥9. 2＋2＋2(a＋b＋c)≥27；(2)(a＋b＋c)(1)abca＋bb＋ca＋c2证明

(1)∵a，b，c∈R＋，

33∴a＋b＋c≥3abc＞0，从而(a＋b＋c)2≥9a2b2c2＞0，

311112111又2＋2＋2≥3222＞0，∴2＋2＋2(a＋b＋c)

abcabcabc≥331abc9222·3a2b2c2＝27，

当且仅当a＝b＝c时，等号成立．

(2)∵a，b，c∈R＋，∴(a＋b)＋(b＋c)＋(c＋a) 3≥3a＋bb＋cc＋a＞0，

3111111＋＋≥3··＞0，

a＋bb＋ca＋ca＋bb＋ca＋c1119∴(a＋b＋c)a＋b＋b＋c＋a＋c≥. 2当且仅当a＝b＝c时，等号成立．

规律方法

认真观察要证的不等式的结构特点，灵活利用已知条件构造出能利用三个正数的基本不等式的式子．

(1)观察系数

（2）观察结构。如分式——约分母

；根式——去分母。

应用二

利用三个正数的基本不等式求最值

例2

已知x，y∈R＋且x2y＝4，试求x＋y的最小值及达到最小值时x、y的值．

解

∵x，y∈R＋且x2y＝4，

3123111∴x＋y＝x＋x＋y≥3xy＝3×4＝3，

2244xx当且仅当＝＝y时等号成立．又∵x2y＝4. 22∴当x＝2，y＝1时，x＋y取最小值3. 规律方法

利用注意三个正数的基本不等式应用的条件是“一正二定三相等”，在求最值时，一定要求出等号成立时未知数的值，如果不存在使等号成立的未知数的值，则最值不存在．其中，化为定值是目标，常用技巧有添项法或裂项法。

π0，的最大值．

跟踪演练2

求y＝sin xcos2x，x∈2

π0，，∴sin x＞0，y＞0. 解

∵x∈22242222sin2xcos2xcos2x12sinx＋cosx＋cosx3y＝sin

xcos

x＝≤223

12384＝＝＝. 235427423123故y≤＝，此时，2sin2

x＝cos2

x，tan2

x＝，y有最大值. 27929应用三

三个正数的算术——几何平均不等式在实际问题中的应用

π例三

制造容积为

m3的无盖圆柱形桶，用来做底面的金属板的价格为30元/m2，做2侧面的金属板价格为20元/m2，要使用料成本最低，则圆柱形桶的底面半径r＝________，高h＝________. π1解析

∵πr2h＝，∴h＝2. 22r20π设用料成本为S元，则S＝30πr2＋40πrh＝30πr2＋

r10π10π3＝30πr2＋＋≥30π3(元)，

rr3310π99当30πr＝，即r＝时，等号成立，此时h＝. r322规律方法

利用三个正数的基本不等式解决应用问题的一般步骤

①理解题意，设变量．设变量时一般要把所求最大值或最小值的变量定为函数；

②建立相应的函数关系式，把实际问题抽象为求函数的最大值或最小值问题；

③在定义域内，求出函数的最大值或最小值；

④验证相等条件，得出结论．

跟踪演练3

设长方体的体积为1 000 cm3，则它的表面积的最小值为________ cm2. 答案

600 解析

设长方体的长、宽、高分别为a，b，c，

则abc＝1 000，且a＞0，b＞0，c＞0. 3∴它的表面积S＝2(ab＋bc＋ca)≥2×3abc2＝600. 当且仅当a＝b＝c＝10(cm)时取“＝”号．∴它的表面积S的最小值为600 cm2. 六、课后小结:依板书总结（略）

七、当堂检测

1．已知x为正数，下列求最值的过程正确的是(

) 3244A．y＝x＋2x＋3≥3x·2x·3＝6，∴ymin＝6 xx231133B．y＝2＋x＋≥32·x·＝3·2，∴ymin＝32 xx1C．y＝2＋x＋≥4，∴ymin＝4 x13x＋1－x＋1－2x388D．y＝x(1－x)·(1－2x)≤＝，∴ymax＝

381381答案

C 10≤x≤的最大值为(

) 2．函数y＝x2·(1－5x)54242A.

B.

C.

D.

675657645675答案

A 554554x＋x＋1－5x345解析

y＝x·(1－5x)＝·x·x·(1－5x)≤22＝，当且仅当x＝1－2522256752325x，即x＝时，等号成立．

15abc3．已知a，b，c为正数，则＋＋有(

) bca2A．最小值3

B．最大值3

C．最小值2

D．最大值2 答案

A 3abcabc解析

＋＋≥3··＝3，当a＝b＝c时取等号．

bcabca14．函数y＝x＋2(x＞0)的最小值为________．

2x3答案

23xx131xx1解析

y＝x＋2＝＋＋2≥3··＝. 2x222x222x22x1当且仅当＝2，即x＝1时等号成立．

22x