阅读与思考 九连环优质课教案

线性递推递公式求数列通项公式的教学设计

绥阳县儒溪中学 杜正敏

一、教学目标

(1)理解并掌握用累加法和累乘法求数列通项公式的递推模型，并能运用累加法、累乘法、待定系数法求数列的通项公式。 (2)会根据待系数法构造：

形如an1Aanf(n（其中)A0且A1)的递推模型的通项公式。

(3)通过互助合作、自主探究培养学生细心观察、认真分析、善于总结的良好思维习惯，数学模型化的思想。

二、重点：

掌握

形如an1Aanf(n（其中)A0且A1)的递推模型的通项公式.

三、、教学难点：解题过程中方法的正确选择f(n1)与f(n)的函数类型。

四、多媒体教学

五、教学过程

1、复习回顾：1、等差数列的定义an1and(d为常数）的递推关系. 求an. （采用累加法）。 等比数列的定义an1 .求an.（采用累乘法）

和

q(q为常数）an 2、由等差数列和等比数列模型化思想一般化处理形如an1anf(n),和2.模型化体验回顾

an1f(n)

递推公式求其数列通项公式，从而引入

an（1）累加法：形如an1anf(n),且f(1)f(2)...f(n1)可求.

则用累加法求an.

（2）累乘法：形如an1g(n),且g(1)g(2)...g(n1)可求.

an 则用累乘法求an.

例1:根据下列数列an的首项和递推关系，探求通项公式。

（1）

a11,anan13n1(n2)，求an （2）

a11,an

n1an1(n2)，求an

n1

活动1：通过分析发现形式类似等差数列，故想到用叠加法去求解。教师引导学生细致讲解整个解题过程。

解：（1）由条件知：

an1an3n1形如an1anf(n),且f(1)f(2)...f(n1)可求,则用累加法求an.

分别令n1,2,3,,(n1)，代入上式得(n1)个等式叠加之，

即(a2a1)(a3a2)(a4a3)(anan1)

3132333n23n1

1n3(13n1)a1,a(31)

所以ana1 1n213总结：类型1：an1anf(n)，可用叠加相消法求解。

活动2：类比类型1推导过程，让学生分组讨论研究相关解题方案。

总结：类型2：形如

3探究：形如an1Aanf(n)(A0且A1）求数列通项an.

例2：

已知数列{an}满足a11,nN，求数列{an}的通项公式。

若an1

g(n),且g(1)g(2)...g(n1)可求.

可用叠乘相消法求解。anan12an1,(nN).求an.

解：(1)发现：an112an11,即an112(an1)，

bnb

令bnan1，则bn1an11，

即n12

，故{bn}是以b1=2为首项,2为公比的等比数列，所以an122n1即an2n1.

。

总结：类型3：形如an1panq(p1,pq0)递推式均可通过待定系数构造法：设an1kp(ank)与原式比较系数可得pkkq，即k=q，从而得等比p12

数列ank。

4探究：形如an1pan(p,q,r均不为零）求数列通项an.

qanr2an

,求数列an的通项公式。an2an例3：已知数列中，a11,an1解：两边取倒数得 

111

an1an211n1

1(n1)an222

n1

an总结：类型3：形如an1pan递推式均可通过取倒数法

(p,q,r均不为零）qanr

.若pr,则化为等差数列，求通项公式；若pr,则化为an1panq的类型.5、课堂小结：

（1）定义法：（2）叠加（乘）相消法：（3）构造法：

6、课堂练习：

1.

已知数列an，a11,an13an2,(nN)，求an。

an2.已知数列中，a11,an求数列an的通项公式。an1(nN,n2),4an11an3.已知数列中，a11,an17、作业布置：

8、板书设计：略

an,求通项an.

1nan3