复习参考题优秀教学设计说课稿

排列组合、概率、统计

一、分类加法计数原理和分步乘法计数原理：

1、分类加法计数原理：类类独立，不重不漏

2、分步乘法计数原理：步步相依、缺一不可

二、排列与组合：

1、排列与组合的区别和联系：都是研究从一些不同的元素中取出n个元素的问题；

区别：前者有顺序，后者无顺序。

2、排列数的公式：Amnn(n1)(n2)(nm1)n!(nm)!(mn)

注意：全排列：Annn!；

3、组合数的公式：CmnAmnn(n1)(n2)(nm1)n!Ammm!m!(nm)!(mn)

组合数的性质：

①CmnmnCn

②CmCmm1Cm1mnn1Cn1（分两类：第一类：含a，有n1种；第二类：不含a，有Cn1种）

4、排列、组合的应用：

解排列组合应用题时主要应抓住是排列问题还是组合问题，其次要搞清需要分类，还是需要分步

切记：排组分清(有序排列、无序组合)，分类分步明确

5、解排列、组合题的基本策略与方法：

①特殊元素法：以元素为主，即先满足特殊元素的要求，再考虑其他元素

②特殊位置法：以位置为主，即先满足特殊位置的要求，再考虑其他位置

③间接法：先不考虑附加条件，计算出排列或组合数，再减不合要求的排列数或组合数，前提是“正难则反”

④合理分类、准确分布：分类不重不漏。分布步步相依、缺一不可

先分类，后分步。

⑤插空法：某些元素不能相邻采用插空法。即先安排好没有限制条件的元素，然后再将有限制条件的元素按要求插入排好的元素之间。

⑥“捆绑”法：要求某些元素相邻，把相邻的若干特殊元素“捆绑”为一个大元素，然后再与其余“普通元素”全排列，最后再“松绑”，将特殊元素在这些位置上全排列，即是“捆绑法”。

⑦列举法：将所有满足题设条件的排列与组合逐一排列出来。

⑧定序问题用除法

⑨平均分组再分配

三、二项式定理：

(ab)nC0n1n1ranrbrCnnnaCnabCnnb(nN*)

1、通项：TCrnrrr1nab(0rn)

展开式共n1项

2、二项式系数的性质：

①二项展开式中，与首末两端“等距离”的两项的二项式系数相等，即：CmnmnCn

②二项展开式中，中间的一项或两项的二项式系数相等并且最大，

n即当n为偶数时，第n1项的二项式系数最大，为Cn22；[来源:Z*xx*k.Com]

当n为奇数时，第n1n1n1n12项及21项的二项式系数最大，为Cn2Cn2；

③二项展开式中所有项的二项式系数之和等于2n，即C01CnnCnn2n；

④二项展开式中所有项的系数之和：将未知数改为1即可

⑤二项展开式中，奇数项的二项式系数之和与偶数项的二项式系数之和相等，即C02C4135n1nCnnCnCnCn2；

（3）二项式定理的应用：

①求展开式中的指定的项或特定项、系数：通常用通项公式

Trnrrr1Cnab(0rn)

②求展开式中多项系数之和：采用赋值法，令x1，x1，x0

四、概率：

1、

古典概型

具有以下两个特点的概率模型称为古典概率模型，简称古典概型．

①试验中所有可能出现的基本事件只有有限个

②每个基本事件出现的可能性相等

古典概型的概率公式：P(A)＝A包含的基本事件的个数基本事件的总数. 2、几何概型

①如果每个事件发生的概率只与构成该事件区域的长度 (面积或体积)成比例，则称这样的概率模型为几何概率模型，简称为几何概型

②在几何概型的计算公式：

P(A)构成事件A的区域长度（面积或体积）实验的全部结果构成的区域长度（面积或体积）

1

3、互斥事件：不可能同时发生的两个事件叫做互斥事件。

①互斥事件的概率：

如果事件A,B互斥，那么事件AB发生的概率，等于事件A,B分别发生的概率的和，①数学期望：

Ex1p1x2p2xnpn为ξ的数学期望，简称期望, 它反映了离散型随机变量取值的平均水平. 即：P(AB)P(A)P(B)；

②对立事件：如果事件A与事件B互斥，且事件A与B中必有一个发生。

③P(A)1P(A)；

4、①相互独立事件：事件A

(或B)是否发生对事件B(或A)发生的概率没有影响；

注意：如果事件A,B互相独立，那么A与B，A与B，A与B都是互相独立事件。

②相互独立事件同时发生的概率：P(AB)P(A)P(B)

如果事件A1,A2,A3,,An相互独立，那么这n个事件同时发生的概率，等于每个事件发生的概率的积，即P(A1A2An)P(A1)P(A2)P(An)；

5、独立重复试验：

①独立重复试验：若n次重复试验中，每次试验结果的概率都不依赖于其它各次试验的结果，则称这n次试验是独立的。

②n次独立重复试验的概率：

如果在一次试验中，某事件发生的概率为P，那么在n次独立重复试验中，这个事件恰好发生K次的概率：PK)Ckkn(nP(1P)nk；

6、条件概率

设A、B为两个事件，且P（A）＞0，称P(B|A)P(AB)P(A)为在事件A发生的条件下，事件B发生的条件概率．一般把P(A|B)读作A发生的条件下B的概率．

n(AB)P(B|A)P(AB)n()(AB)P(A)nn(A)n(A)

n()五、分布列

一般地，若离散型随机变量ξ的概率分布为

ξ

x1

x2

…

xn

P p1

p2

…

pn

②方差: D＝(x1E)2p1＋(x2E)2p2＋…＋(xnE)2pn

衡量数据波动大小的量，方差越大数据波动越大

③E(ab)aEb D(ab)a2D

④超几何分布列

在含有M件次品的N件产品中，任取n件，其中恰有X件次品，则X服从超几何分布. knP(Xk)CkMCNMCn

N

⑤二项分布：在n次独立重复试验中，事件A发生的次数X服从二项分布，记为X~B(n,p)P(Xk)Cknpk(1p)nk(k0,1,2,,n)

⑥正态分布X~N(,2)

（1）正态分布密度函数：f(x)1(x)2222e

，P(aXb)baf(x)dx

（2）E(X),D(X)2

（3）曲线在x轴的上方，与x轴不相交. （4）曲线关于直线x对称.在x时取得峰值12. （5）曲线与x轴围成的面积为1 （6）当μ一定时，曲线的形状由σ确定.σ越大，曲线越“矮胖”，表示总体越分散；σ越小，曲线越“瘦高”，表示总体的分布越集中.

2

例一、排列、组合常见策略

1、从4名男生和3名女生中选出4人参加市中学生知识竞赛活动，若这4人中必须既有男生又有女生，不同的选法共有

组合问题：不同类别中分别选取

分2男2女，三男1女，1男3女三种情况.共有C2231134C3C4C3CC4334.

2、有5盆互不相同的玫瑰花，其中黄玫瑰2盆、白玫瑰2盆、红玫瑰1盆，现把它们摆放成一排，要求2盆白玫瑰不能相邻，则这5盆玫瑰花的不同摆放种数是 不相邻排列问题插空法：A323A41234372

3、3名男生3名女生站成两排照相，要求每排3人且3名男生不在同一排，则不同的站法有

正难则反：站成两排照相每排3人，共有A63326种站法，其中3名男生在同一排的站法有A3A3A2，所以三名男生不站在同一排的站法有A6A33263A3A272072648种

4、5男生，2个女生排成一排，若女生不能排在两端但又必须相邻，则不同的排法有

相邻排列问题插空法，特殊元素（位置优先安排）

因为把两名女生捆绑起来共有A222,然后在首尾分别排两名男生A5,那么剩下的男生和整体女生进行全排列即可为A44，利用分步乘法计数原理得到共有960种

5、用0到9这10个数字,可以组成没有重复数字的三位偶数的个数为

数字问题注意首位不为0；

0排在个位是偶数，没有限定；需分类讨论

首先应考虑“0”是特殊元素,当0排在个位时,有A2972

个

当0不排在个位时,有C1C1C1488256

个, 于是由分类加法计数原理,得符合题意的偶数共有72+256=328 个

5、从中选个不同数字，从中选个不同数字排成一个五位数，则这些五位数中偶数的个数为

组合排列可以先选再排

第一步，先从3个奇数中选两个，第二步，从4个偶数中选择3个；第三步，从选出的偶数中选出一个放在个数；其余的数进行全排列即可，所以这些五位数中偶数的个数为C23143C4C3A434324864

6、将6名报名参加运动会的同学分别安排到跳绳、接力，投篮三项比赛中（假设这些比赛都不设人数上限），每人只参加一项，则共有x种不同的方案，若每项比赛至少要安排一人时，则共有y种不同的方案，

xy的值为

元素有重复需用分布计数原理

将6名报名参加运动会的同学分别安排到跳绳、接力，投篮三项比赛中（假设这些比赛都不设人数上限），每人只参加一项，则共有x36729种不同的方案，

分配问题：先分堆再分配，平均分堆要除以均分组数的全排列

若每项比赛至少要安排一人时，则首先将6人分成3组，3组的人数为2,2,2或1,2,3或1,1,4，22211这样无序分组的方法有CC464C2A3C16C25C33C6C5C4A290种，然后将3个小组与3个比赛对32应，又有A333种，则共有y90A3540种不同的方案，所以xy7295401269

例2、(1)[两项展开之积] (1＋2x)3(1－x)4展开式中x项的系数为

.

(2)[三项展开问题] (x2＋x＋y)5的展开式中，x5y2的系数为

. 解：(1)CrCkrk3(2x)r4(x)kC32rC4(1)kxrk

rk1r1，k0或r0,k1

C1100132C4(1)0C320C4(1)12

(2)(x2＋x＋y)5＝[(x2＋x)＋y]5，

含y2的项为T23C5(x2x)3y2

其中(x2＋x)3中含x5的项为C12153(x)2xC3x

所以x5y2的系数为C215C330

例3、(1)某地区空气质量监测资料表明，一天的空气质量为优良的概率是0.75，连续两天为优良的概率是0.6，已知某天的空气质量为优良，则随后一天的空气质量为优良的概率是

.

(1)记“某天的空气质量为优良”为事件A，“随后一天的空气质量为优良”为事件B. 则P(B|A)P(AB)P(A)0.60.750.8

随后一天的空气质量为优良的概率为0.8.

3

（2）如图，EFGH是以O为圆心，半径为1的圆的内接正方形．将一颗豆子随机地扔到该圆内，用A表示事件“豆子落在正方形EFGH内”，B表示事件“豆子落在扇形OHE(阴影部分)内”，

则①P(A)＝________；②P(B|A)＝________. π2圆的面积是π，正方形的面积是2，扇形的面积是，根据几何概型的概率计算公式得P(A)＝，例5、甲、乙两人各进行一次射击，如果两人击中目标的概率都是0.8，计算：

(1)两人都击中目标的概率；

(2)其中恰有一人击中目标的概率；

(3)至少有一人击中目标的概率．

解：记“甲射击一次，击中目标”为事件A，“乙射击一次，击中目标”为事件B.“两人都击中目标”4π11P(AB)＝21P(AB)2π1π＝2π，根据条件概率的公式得P(B|A)＝P(A)＝2＝4. π

例4、某市A,B两所中学的学生组队参加辩论赛，A中学推荐3名男生，2名女生，B中学推荐了3名男生，4名女生，两校推荐的学生一起参加集训，由于集训后队员的水平相当，从参加集训的男生中随机抽取3人，女生中随机抽取3人组成代表队

（1）求A中学至少有1名学生入选代表队的概率.

（2）某场比赛前，从代表队的6名队员中随机抽取4人参赛，设X表示参赛的男生人数，求X得分布列和数学期望.

（1）由题意，参加集训的男女生各有6名.

参赛学生全从B中抽取（等价于A中没有学生入选代表队）的概率为C333C41C33.

6C6100A中学至少1名学生入选的概率为1110099100.

（2）根据题意，X的可能取值为1，2，3.

132231P(X1)C3C3C3C333C41，P(X2)C43，P(X3)CC14，

6565C65所以X的分布列为：

X123p131555

因此，X的期望为E(X)1152353152.

为事件C；“恰有1人击中目标”为事件D；“至少有1人击中目标”为事件E. (1)由于事件A与B相互独立

∴P(C)=P(AB)＝P(A)·P(B)＝0.8×0.8＝0.64.

∴两人都击中目标的概率为0.64. (2)由于事件AB与AB是互斥的

∴P(D)=

P(AB∪AB)＝P(AB)＋P(AB)＝P(A)·P(B)＋P(A)·P(B)＝0.8×(1－0.8)＋(1－0.8)×0.8＝0.16＋0.16＝0.32. ∴其中恰有一人击中目标的概率为0.32. (3)由于事件AB、AB、AB彼此互斥

∴P(E)＝P(AB∪AB∪AB)= P(AB)＋[P(AB)＋P(AB)]＝0.64＋0.32＝0.96. ∴至少有一人击中目标的概率为0.96.

例6、在某次考试中，考生的成绩ξ服从正态分布，即ξ～N(100,102)，已知满分为150分．

(1)试求考试成绩ξ位于区间[80,120]内的概率；

(2)若这次考试共有2 000名考生参加，试估计这次考试及格(不小于90分)的人数．

若Z～N(,2)，则P(Z)=0.6826，P(2Z2)=0.9544. 解：

(1)由ξ～N(100,102)知μ＝100，σ＝10. ∴P(80<ξ≤120)＝P(100－20<ξ≤100＋20)＝0.9544 即考试成绩位于区间(80,120]内的概率为0.9544. (2)P(90<ξ≤110)＝P(100－10<ξ≤100＋10)＝0.6826 ∴P(ξ>110)＝12(1－0.682 6)＝0.1587，∴P(ξ≥90)＝0.682 6＋0.158 7＝0.8413.

4

例7、为了解某地高中生身高情况，研究小组在该地高中生中随机抽出30名高中生的身高制成如图所示的茎叶图(单位：cm)．

若身高在175 cm以上(包括175 cm)定义为“高个子”，身高在175 cm以下(不包括175 cm)定义为“非高个子”．

(1)如果用分层抽样的方法从“高个子”和“非高个子”中共抽取

5人，再从这5人中选2人，求至少有一人是“高个子”的概率；

(2)用样本估计总体，把频率作为概率，若从该地所有高中生(人数很多)中选3人，用ξ表示所选3人中“高个子”的人数，试写出ξ的分布列，并求ξ的数学期望．

(1)有“高个子”12人，“非高个子”18人，

用分层抽样抽取5人，抽中的“高个子”有512302人，“非高个子”有518303人．

(A)1P(A)1C22P3C27C2 510

(2)抽取1名学生，是“高个子”的频率为12230＝5，从该地所有高中生中抽取1名学生，是“高个子”的概率是25.

从该地所有高中生中抽取3名学生可看成进行3次独立重复试验，

于是，ξ服从二项分布B3，25，ξ的所有可能取值为0,1,2,3. P(0)C0(2022735)(15)3125

P(1)C1212543(5)(15)2125

P(2)C222363(5)2(15)1125

P(3)C323283(5)(15)0125

因此，ξ的分布列如下：

ξ

0

1

2

3 P 275436125

125

8125125

所以E(ξ)＝0×27543686125＋1×125＋2×125＋3×125＝5

或Eξ＝3×265＝5. 例8、某银行规定，一张银行卡若在一天内出现3次密码尝试错误，该银行卡将被锁定，小王

到银行取钱时，发现自己忘记了银行卡的密码，但是可以确定该银行卡的正确密码是他常用的6个密码之一，小王决定从中不重复地随机选择1个进行尝试.若密码正确，则结束尝试；否则继续尝试，直至该银行卡被锁定.

（Ⅰ）求当天小王的该银行卡被锁定的概率；

（Ⅱ）设当天小王用该银行卡尝试密码次数为X，求X的分布列和数学期望．

（Ⅰ）设“当天小王的该银行卡被锁定”的事件为A，

则P(A)56431542

（Ⅱ）依题意得，X所有可能的取值是1，2，3

P(X1)16,P(X2)561516,P(X3)5426513

所以X的分布列为

X

1

2

3

P

1

1266

3

所以E(X)11621632352．

例9、为了了解某学校高二年级学生的物理成绩，从中抽取n名学生的物理成绩（百分制）作5

为样本，按成绩分成 5组：[50，60），[60，70），[70，80），[80，90），[90，100]，频率分布直方图如图所示．成绩落在[70，80）中的人数为20．

男生

女生

合计

优秀

不优秀

合计

（Ⅰ）求a和n的值；

（Ⅱ）根据样本估计总体的思想，估计该校高二学生物理成绩的平均数x和中位数m；

（Ⅲ）成绩在80分以上（含80分）为优秀，样本中成绩落在[50，80）中的男、女生人数比为1：2，成绩落在[80，100]中的男、女生人数比为3：2，完成2×2列联表，并判断是否有95%的把握认为物理成绩优秀与性别有关．

参考公式和数据：K2=nadbc2abcdacbd

．

P(K2k)

0.50

0.05

0.025

0.005

k

0.455

3.841

5.024

7.879

（Ⅰ）(0.0050.02a0.0150.01)101,a0.05

n20100.0540

（Ⅱ）由题意，各组的频率分别为0.05,0.2,0.5,0.15,0.1

x550.05650.2750.5850.15950.175.5

设中位数为m,则(m70)0.050.5(0.050.2)，∴m75

众数：75

（Ⅲ）优秀的男生为6人，女生为4人，不优秀的男生为10人，女生为20人，2×2列联表

男生

女生

合计

优秀

6 4 10 不优秀

10 20 30 合计

16 24 40

由表可得K240(620410)2102410302.2223.841

∴没有95%的把握认为物理成绩优秀与性别有关．

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