2.2.1 综合法和分析法教学实录

第一章 推理与证明

第二节 综合法与分析法

综合法

教学目标

1．理解综合法的思维过程及其特点；

2．掌握运用综合法证明数学问题的一般步骤，能运用综合法证明简单的数学问题。

教法指导

在充分理解综合法的特点的基础上，体会综合法证题的思维过程和步骤；并通过例题的学习和练习逐步学会运用综合法进行简单的数学证明。

事实上，我们对综合法应该很熟悉，以前进行的几何、不等式、三角恒等式的证明，大多运用的都是综合法，数学的解答题的解答过程也是运用综合法进行表述的。

重点: 理解综合法的思维过程和特点；

难点：运用综合法证（解）题时，找出有效的推理“路线”；

教学过程：

学生探究过程：

合情推理分归纳推理和类比推理，所得的结论的正确性是要证明的，数学中的两大基本证明方法-------直接证明与间接证明。

若要证明下列问题：

已知a,b>0,求证a(bc)b(ca)4abc

教师活动：给出以上问题，让学生思考应该如何证明，引导学生应用不等式证明。教师最后归结证明方法。

学生活动：充分讨论，思考，找出以上问题的证明方法

设计意图：引导学生应用不等式证明以上问题，引出综合法的定义

[来源:学+科+网Z+X+X+K]2222证明:因为bc2bc,a0, 所以a(bc)2abc, 因为ca2ac,b0, 所以b(ca)2abc. 因此, a(bc)b(ca)4abc. P表示已知条件、已有的定义、定理、公理等,Q表示要证明的结论

1.

综合法

综合法：利用某些已经证明过的不等式（例如算术平均数与几何平均数定理）和不等式的性质推导出所要证明的不等式成立，这种证明方法叫做综合法

用综合法证明不等式的逻辑关系是：

222222222222PQ1(Q1Q2)Q2Q3.....QnQ

综合法的思维特点是：由因导果，即由已知条件出发，利用已知的数学定理、性质和公式，推出结论的一种证明方法

例1、在△ABC中,三个内角A,B,C的对边分别为a,b,c,且A,B,C成等差数列, a,b,c成等比数列,求证△ABC为等边三角形. 分析：将 A , B , C 成等差数列，转化为符号语言就是2B =A + C; A , B , C为△ABC的内角，这是一个隐含条件，明确表示出来是A + B + C =； a , b，c成等比数列，转

1

化为符号语言就是bac．此时，如果能把角和边统一起来，那么就可以进一步寻找角和边之间的关系，进而判断三角形的形状，余弦定理正好满足要求．于是，可以用余弦定理为工具进行证明．

证明：由 A, B, C成等差数列，有 2B=A + C ．

① 因为A,B,C为△ABC的内角，所以A + B + C=．

⑧ 由①②

，得B=2.3[来源:学#科#网]

2由a, b，c成等比数列，有bac. 由余弦定理及③，可得

b2a2c22accosBa2c2ac. 22再由④，得acacac. (ac)20, 因此ac. 从而A=C. 由②③⑤，得

A=B=C=. 3所以△ABC为等边三角形．

解决数学问题时，往往要先作语言的转换，如把文字语言转换成符号语言，或把符号语言转换成图形语言等．还要通过细致的分析，把其中的隐含条件明确表示出来．

例2、已知a,bR,求证abab.

本题可以尝试使用差值比较和商值比较两种方法进行。 证明：1) 差值比较法：注意到要证的不等式关于a,b对称，不妨设ab0.

abbaab0ababab(ab2）商值比较法：设ab0,

abbabbabab)0，从而原不等式得证。

aaabba1,ab0,

ba()ab1.故原不等式得证。

bbab注：比较法是证明不等式的一种最基本、最重要的方法。用比较法证明不等式的步骤是：作差（或作商）、变形、判断符号。

讨论：若题设中去掉x1这一限制条件，要求证的结论如何变换？

典例分析

例1 设a0,b0,ab1，求证：

分析：左边乘以“11118

ababab”，然后运用均值不等式。

111a+ba+ba+bba11证明：∵++=++=1++1+++

ababababababababba4118

4abab变式练习1 111

aba+ba+b1ba证明：左边=+=++≥1

4a4b24a4b已知a0,b0,ab4，求证：例2已知二次函数

f(x)ax2bxc（a,b,c均为实数），满足f(1)0，对于任意的实数

2

x1。

x都有f(x)x0，并且x0,2时，总有f(x)2（1）求2f(1)的值；[来源学*科*网Z*X*X*K]

（2）证明：a（3）当x0,c0；

m0或m1。f(x)mx（其中m为实数），是单调的，求证：

21,1时函数g(x)x1对x0,2恒成立，用x1即可求得f(1)，这是用不等式求

分析：注意到xf(x)2值的一般思路。运用条件：“对于任意的实数x都有利用二次函数的单调区间。

f(x)x0”可证（2），（3）的证明思路就是变式练习2 11，求证：（1）f(x)为偶函数；（2）f(x)0

x2121例3.已知a，b，c都是实数，求证：a2＋b2＋c2≥(a＋b＋c)2≥ab＋bc＋ca. 3已知：f(x)x解题导引

综合法证明不等式，要特别注意基本不等式的运用和对题设条件的运用．这里可从基本不等式相加的角度先证得a2＋b2＋c2≥ab＋bc＋ca成立，再进一步得出结论．

证明

∵a2＋b2≥2ab，b2＋c2≥2bc，c2＋a2≥2ca，

三式相加得a2＋b2＋c2≥ab＋bc＋ca，

∴3a2＋3b2＋3c2≥(a2＋b2＋c2)＋2(ab＋bc＋ca) ＝(a＋b＋c)2. 1∴a2＋b2＋c2≥(a＋b＋c)2；

3∵a2＋b2＋c2≥ab＋bc＋ca，

∴a2＋b2＋c2＋2(ab＋bc＋ca) ≥ab＋bc＋ca＋2(ab＋bc＋ca)，

∴(a＋b＋c)2≥3(ab＋bc＋ca)．

∴原命题得证．

变式迁移1

证明

∵a，b，c>0，根据基本不等式，

a2b2c2有＋b≥2a，＋c≥2b，＋a≥2c. bca222abc三式相加：＋＋＋a＋b＋c≥2(a＋b＋c)．

bca222abc即＋＋≥a＋b＋c. bca

变式迁移1

设a，b，c>0，证明：

a2b2c2＋＋≥a＋b＋c. bca变式迁移1

证明

∵a，b，c>0，根据基本不等式，

3

a2b2c2有＋b≥2a，＋c≥2b，＋a≥2c. bca222abc三式相加：＋＋＋a＋b＋c≥2(a＋b＋c)．

bca222abc即＋＋≥a＋b＋c. bca

基础训练

11．(12分)(2011·宁波月考)已知a、b、c>0，求证：a3＋b3＋c3≥(a2＋b2＋c2)(a＋b＋c)．

31．证明

∵a2＋b2≥2ab，a、b、c>0，

∴(a2＋b2)(a＋b)≥2ab(a＋b)，(3分) ∴a3＋b3＋a2b＋ab2≥2ab(a＋b)＝2a2b＋2ab2，

∴a3＋b3≥a2b＋ab2.(6分) 同理，b3＋c3≥b2c＋bc2，a3＋c3≥a2c＋ac2，

将三式相加得，

2(a3＋b3＋c3)≥a2b＋ab2＋b2c＋bc2＋a2c＋ac2.(9分) ∴3(a3＋b3＋c3)≥(a3＋a2b＋a2c)＋(b3＋b2a＋b2c)＋(c3＋c2a＋c2b)＝(a＋b＋c)(a2＋b2＋c2)．

1∴a3＋b3＋c3≥(a2＋b2＋c2)(a＋b＋c)．(12分) 3

2.求证：是函数f(x)sin(2x4的一个周期。

)f(x)sin2(x)sin(2x2)sin(2x)f(x)444证明：

∴由函数周期的定义可知：是函数f(x)sin(2x4的一个周期。

)22xxaxbxc0(a0,b4ac0)的两个123.（韦达定理）已知和是一元二次方程bcx1x2,x1x2aa。

根。求证：[来源学科网]bb24acbb24acx1,x2;2a2a证明：由题意可知：

bb24acbb24acbx1x2,2a2aa∴[来源学科网ZXXK]

bb24acbb24acb2(b24ac)4accx1x22.22a2aa

4a4a

4

x4.已知：x,y,z为互不相等的实数，且111yz,yzx求证：x2y2z21.

x11证明：根据条件yyz,可得

xy11yzyzyz.

又由x,y,z为互不相等的实数，

yzyz所以上式可变形为

xy.

xyxyzxzx同理可得

zx,yz,

x2y2z2yzxyzx所以

xyzxyz1.

课堂小结

1．综合法的思考过程（如图）：

2．综合法的特点：

①综合法的证题过程是从“已知”看“可知”，再由“已知（包括上一步的结果）”看“可知”，……，最后推导出“未知”的“由因导果”的过程；

②由于已知条件有不同组合，每个组合又有不同的中间结果出现，这些中间结果不是对解题都有用，因此如何找到有效的推理“路线”是运用综合法的难点，换言之：运用综合法解题有一定的盲目性。

③运用综合法解题，步骤严谨，逐层递进，条理清晰，宜于表达。是我们在解题中的主要的表达方式。

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