信息技术应用 μ，σ对正态分布的影响教案和学案内容

2.4 正态分布（一）

德庆县孔子中学

龙彪

【教学目标】

1. 利用实际问题的直方图，了解正态曲线的特征和正态曲线所表示的意义．

2．能借助正态曲线的图象理解正态曲线的性质及意义．

3．会根据正态曲线的性质求随机变量在某一区间的概率．

【重点难点】

重点：正态曲线的特点及其所表示的意义；利用正态分布解决实际问题．

难点：求随机变量在某一区间内的概率．

【教学策略与方法】

讲述法、讲练结合法

【教学过程】

教学流程

环节一：创设情景

教师活动来源学科网

学生活动

教师：给出小球分布的频率分布直方图。

学生：分组讨论，共同回忆有关频率分布直方图的知识。

教师：总结学生回答的有关频率分布直方图的知识，并动态演示组距减小，组数增多，频率分布直方图的外形就越来越趋向与一条光滑的曲线。

教师：邀请学生上台做实验。

学生：两名同学上台操作，其他同学认真观看。

设计意图

因为本节课的内容是建立在频率分布直方图的知识的基础上，所以让学生感受温故知新。分组讨论，能激发学生去探讨问题思考问题的潜能，并培养合作交流的能力。动态演示，能让学1、以频率分布直方图为引入对象，给出200棵花高度的频率分布直方图，并问：若将直方图上端的中点都连接起来整个直方图给我们什么样的感觉？

2、高尔顿板模拟试验：

（1）球会掉入哪个球槽内？

（2）球会掉入哪个球槽内的概率高？

（3）槽内小球堆积的高度特征？

生体会到极限的思想，最关键的是得到这节课要学习的正态曲线，从而引出课题。

环节二：

一、正态曲线的定义

观察总体密度曲线的形状，它具有教师：总结定义，并强调正态分布的写法，明确正态分布中两个虽然概念较抽象，但通过上述问题串的形式来处理，使学生不会觉得太突然，更使学生在已有知识的基础上，螺旋上升、逐步提高，接受正态分布的定义。

“两头低，中间高，左右对称”的特征，参数的意义。

具有这种特征的总体密度曲线一般可用下面函数的图象来表示或近似表示：

错误！未找到引用源。

式中的实数错误！未找到引用源。、错误！未找到引用源。是参数，分别表示总体的平均数与标准差，错误！未找到引用源。的图象为正态分布密度曲线,简称正态曲线．

由正态曲线的函数表达式学生：记忆正态分布的概念、写法、参数的意义

1,(x)e2(x)222

,x(,)（1）当x时，函数值为最大；

（2）函数的值域为(0,12]；

（3）函数的图像关于x对称；

（4）当x(,]时，其图像为增函数；

当x(,)时，其图像为减函数；

例1、下列函数是正态密度函数的是（ ）

学生在老师的正确引导下，积极A.f(x)是实数

B. f(x)

本环节让学生能巩固学生所学的知识，把握正态曲线函数的的特征.

讲课时教师12(x)2思考问题，分析问题并解决问e22,,(0)都题.

221ex22

(x1)24通过老师对例题的分析，学生独立完成练习1 的求解

，并在老

师的引导下由学生归纳出解决此类问题的规律. C. f(x)2212eeD. f(x)答案：B. x22

教师：提示学生根据图象，解析式和概率的性质来探究正态曲线的特点。

二、标准正态曲线

正态曲线的函数表达式1,(x)e2(x)222

,x(,)当0,1时，标准正态曲线的函数表学生：分组讨论，认真观察图象，可以应用几解析式并结合概率的性质来探何画板，形象、美观地画出三条正态曲线的图形，结合前面均示式：f(x)12ex22.[来源:学科网]

究正态曲线的特点。讨论完之后并让学生上台讲述小组的讨论结果。

通过固定其中一个值，讨论均值与标准差对于正态曲线的影响

教师：及时的给予评价和鼓励，值与标准差更能激发其他同学的参与热情。

对图形的影

响，引导学生观察总结正态曲线的性质

[ 根据上述探究可得出正态曲线的性质：

（1）曲线在x轴的上方，与x轴不相交

来源:Z#xx#k.Com]

（2）曲线关于直线x=μ对称

（3）当x=μ时，曲线位于最高点

教师：演示几何画板

学生：观察，并总结参数对正态曲线的影响

教师展示五个特点：

让学生的思维在相互讨论中碰撞、在相互学习中完善，最后达成统一，总结出正态曲（4）当x＜μ时，曲线上升（增函数）；当x＞μ时，曲线下降（减函数）

并且当曲线向左、右两边无限延伸时，以x轴为渐近线，向它无限靠近

（5）μ一定时，曲线的形状由σ确定

σ越大，曲线越“矮胖”，总体分布越分散；

σ越小．曲线越“瘦高”．总体分布越集中：

练一练：1、设两个正态分布

N(1,1)(10)和N(2,2)(20)的密度函数图象如图所示，则有(

) A．μ1<μ2，σ1<σ2

B．μ1<μ2，σ1>σ2

C．μ1>μ2，σ1<σ2 D．μ1>μ2，σ1>σ2

教师：给出习题

学生：独立完成

在教师的引导下，学生进行小组讨论，总结补充归纳出其解题的规律与技巧.

线的前4条性质，培养学生发现问题，解决问题的能力，充分体现合作力量的强大，并让学生从中感受到成功的喜悦。

通过该题的设置，深化学生对正态分布密度曲线的特点的理解与认识。

2、如图，是一个正态曲线，试根据图象写出其正态分布密度函数的解析式，求出总体随机变量的均值和方差。

三、正态分布的定义

如果对于任何实数ab，随机变量X满足

P(aXb),(x)dx，则称X的ab分布为正态分布.正态分布常记作：N(,2). 随机变量X服从正态分布，则记为XN(,). 正态曲线下的面积规律：

（1）正态曲线下面积的意义：正态曲线下一定区间内的面积代表变量值落在该区间2

的概率。整个曲线下的面积为1，代表总概率为1。曲线下面积的求法：定积分法和标准正态分布法；

（2）对称区域面积相等。

3原则主要

四、回归实际

1、3个特殊区间的概率

区间

取值概率

（μ－σ，μ＋σ）

68.3% （μ－2σ，μ＋2σ）

95.4% （μ－3σ，μ＋3σ）

99.7% 2、3σ原则

若X~N(，2)，则对任何a0，

教师：给出三个区间上的概率，应用工业生并讲解3原则在工业生产中的应用。

学生：认真听老师讲解，并感受3原则在工业生产中的应用。

产，让学生体会到数学来源于生活又服务于生活的学科魅力。

(-aX≤a)aa,(x)dx

Pa＜Xbba,xdx

概率(aXa),(x)dx.

aa特别地，

(-X≤)0.6826

(-2X≤2)0.9544

(-3X≤3)0.9974态总体在正(-3,3)

以外取值的概率只有0.0026. 3、操作应用，巩固新知

例1、(1)在某次数学考试中，考生的

X~N(90，100)，考试成绩X位于区间

(70,110)上的概率

是 .

(2)设离散型随机变量X~N(0，1),则

P(X0)

,

教师：给出题目，师生共同完成P(2X2) . (3)已知随机变量X服从正态分布此题，教师并向学生展示完整的解题步骤。

X~N(2，)，P(X<4)=0.84则P(X<0)等于( ) A.0.16 B.0.32 C.0.68 D.0.84 环节三：

2例2、某地区数学考试的成绩服从正态分布，

其密度函数曲线如下图：

y

通过一个贴近生活的实例，利用数学知识来解决，使学生感到数学就在身

边，培养学生应用所学知识解决实际问题的能力，激发学习热情。在解决问题中，让学生体会到，转化化归，数形结合的数学思182

x

[来源:学|科|网Z|X|X|K]

学生自己动手演算，亲身体会其演算过程.

O

20

40

60

80

100

1、写出的分布密度函数；

2、求成绩位于区间(52,68]的概率是多少？

3、求成绩位于区间(60,68]的概率是多少？

4、若该地区有10000名学生参加考试，从

理论上讲成绩在76分以上的考生有多少人？

想。

来源学科网解析：根据对称轴可知60，根据峰值可知8，代入正态曲线表达式可得：

,(x)182e(x60)2128，由60，

8知，P(52X68)0.6826，

1P(60X68)P(52X68)0.3413

21P(X76)P(X44)[1P(44X76)]

21(10.9544)0.0228，所以

2

0.022810000228.

让学生独立完成不仅检测了学生对知识的掌握，而且可以让学生在解题的过程中，加深对知识的变式1、设正态总体落在区间(,1)

教师：给出题目，并要求学生独立完成，并让同学上

黑板板演和区间(3,)内的概率相等，落在区间

解题过程。

(2,4)内的概率99.74%为，求该正态总体对应的正态曲线的最高点的坐标。

变式2、某年级的一次信息技术测验成绩近似的服从正态分布N(70如果规定低，102)，于60分为不及格，求：

（1）成绩不及格的人数占多少？

（2）成绩在80~90内的学生占多少？

解：(1)设学生的得分情况为随机变量X，

X～N(70,102)，则μ＝70，σ＝10. 在60～80之间的学生的比为：

P(70－10

学生：独立完成此题。

教师：给出题目

学生：独立完成

所以不及格的学生的比为(1－0.6826)＝0.1587，即成绩不及格的学生占15.87%. (2)成绩在80～90内的学生的比为

[P(70－2×10

(0.9544－0.6826)＝0.1359. 即成绩在80～90间的学生占13.59%. 环节四：

归纳总结,知识回顾

1．正态总体函数解析式

建立数学模型

1f(x)e2(x)222理解，并深刻体会到数形结合思想的应用。

教师：引导各学习小组讨论、总结本节课的主要内容

总结本节课的知识重点，学生：组内展开讨论，共同总结。理清知识脉，x(,)

并大声朗读

正态分布形似钟，

络，使学生在整体对本节课有全面的认识. 用口诀的形式总结本节课的内容，加深学生对知识的记忆和理解。

2．正态曲线

y μ= -1 σ=0.5 μ=0 σ=1 -3 -2 -1 0 1 2 x -3 -2 -1 0 1 2 3 x μ=1 y y 概率计算积分型。

均值变化左右动，

σ=2 -3 -2 -1 0 1 2 3 4 x

高矮胖瘦方差控。

胖大瘦小有规律，

面积始终都是一。

3原则作用大，

3．正态曲线的性质

（1）曲线在x轴的上方，与x轴不相交. （2）曲线关于直线x=μ对称. （3）曲线在x=μ时位于最高点. （4）当 x<μ时，曲线上升；当x>μ时，曲线下降. 并且当曲线向左、右两边无限延伸时，以轴为渐近线，

向它无限靠近. (5)当μ一定时，曲线的形状由σ确定 . σ越大，曲线越“矮胖”，表示总体的分布越分散；

σ越小，曲线越“瘦高”，表示总体的分布越集中. 工业生产需要它。

4、3s原则

【直击靶心】

1. 分别求正态总体N(μ，σ)在区间(μ-σ，μ+σ)、(μ-2σ，μ+2σ)、(μ-3σ，μ+3σ)内取值的概率。

【答案】0.683，0.954，0.997. 【解析】

()()因为F()(1),F()(1),所以正态总体N(μ，σ)在(μ-σ，22μ+σ) 内的取值概率是F(μ+σ)-F(μ-σ)=Φ(1)-Φ(-1)=2Φ(1)-1=2×0.8413-10.683；

同理，正态总体N(μ，σ)在(μ-2σ，μ+2σ) 内的取值概率是

F(μ+2σ)-F(μ-2σ)=Φ(2)-Φ(-2)0.954；

正态总体N(μ，σ)在(μ-3σ，μ+3σ) 内的取值概率是F(μ+3σ)-F(μ-3σ)=Φ(3)-Φ(-3)0.997。

2.

某厂生产的圆柱形零件的外径ε～N（4，0.25）.质检人员从该厂生产的1000件零件中随机抽查一件，测得它的外径为5.7cm.试问该厂生产的这批零件是否合格？

【答案】这批产品是不合格的. 【解析】欲判定这批零件是否合格，由假设检验基本思想可知，关键是看随机抽查的一件产品的尺寸是否在（μ-3σ，μ+3σ）内，还是在（μ-3σ，μ+3σ）之外. 由于圆柱形零件的外径ε～N（4，0.25），由正态分布的特征可知，正态分布N（4，0.25）在区间(4-3×0.5，4+3×0.5)即(2.5，5.5)之外取值的概率只有0.003，而5.7(2.5,5.5)，这说明在一次试验中，出现了几乎不可能发生的小概率事件，认为该厂这批产品是不合格的.

作业：课本练习

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