小结第二课时教案

[学习目标]

1.理解基本不等式的内容及证明.2.能熟练运用基本不等式来比较两个实数的大小.3.能初步运用基本不等式证明简单的不等式．

知识点一

重要不等式及证明

如果a，b∈R，那么a2＋b2≥2ab(当且仅当a＝b时取“＝”)．请证明此结论．

证明

∵a2＋b2－2ab＝(a－b)2≥0，

∴a2＋b2≥2ab，当且仅当a＝b时取“＝”．

知识点二

基本不等式

1．内容：

a＋bab≤，其中a＞0，b＞0，当且仅当a＝b时，等号成立．

22．证明：

∵a＋b－2ab＝(a)2＋(b)2－2a·b

＝(a－b)2≥0. ∴a＋b≥2ab. a＋b∴ab≤，当且仅当a＝b时，等号成立．

23．两种理解：

(1)算术平均数与几何平均数：

a＋b设a>0，b>0，则a，b的算术平均数为，几何平均数为ab；基本不等式可叙述为两个2正数的算术平均数不小于它们的几何平均数．

(2)几何意义：

如图所示，以长度为a＋b的线段AB为直径作圆，在直径AB上取一点C，使AC＝a，CB＝b，过点C作垂直于直径AB的弦DD′，连接AD，DB，

易证Rt△ACD∽Rt△DCB，则CD2＝CA·CB，即CD＝ab. a＋ba＋b这个圆的半径为，显然它大于或等于CD，即≥ab，当且仅当点C与圆心O重合，22即a＝b时，等号成立．

知识点三

基本不等式的常用推论

a＋ba＋b(1)ab≤2≤2(a，b∈R)；

ba(2)＋≥2(a，b同号)；

abbaba(3)当ab>0时，＋≥2；当ab<0时，＋≤－2；

abab(4)a2＋b2＋c2≥ab＋bc＋ca(a，b，c∈R)．

222

题型一

利用基本不等式比较大小

例1

设0

) a＋ba＋bA．a

22a＋ba＋bC．a

22答案

B a＋b解析

方法一

∵00，即ab>a，2排除D项，故选B. a＋ba＋b方法二

取a＝2，b＝8，则ab＝4，＝5，所以a＜ab＜＜b. 22反思与感悟

若给定的代数式中既有“和式”又有“积式”，这便是应用基本不等式的题眼，可考虑是否利用基本不等式解决；在应用基本不等式时一定要注意是否满足条件，即a＞0，b＞0，同时注意能否取等号．

跟踪训练1

若a，b∈R，且ab＞0，则下列不等式中，恒成立的是(

) A．a2＋b2＞2abB．a＋b≥2ab

112baC.＋＞D.＋≥2 ababab答案

D 解析

对于A，应该为a2＋b2≥2ab，漏等号，故A错误；对于B，当a＜0，b＜0时，ab＞0，但a＋b＜2ab，故B不成立；对于C，当a＜0，b＜0时，ab＞0，故C不成立；对于D，

baba∵ab＞0，则＞0且＞0，∴＋≥2ababD正确．

题型二

用基本不等式证明不等式

baba·＝2.当且仅当＝，即a＝b时，取“＝”，故abab111例2

已知a，b，c为正数，且a＋b＋c＝1，证明：＋＋≥9. abc111a＋b＋ca＋b＋ca＋b＋c证明

＋＋＝＋＋

abcabcbacacb＝3＋(＋)＋(＋)＋(＋)

abacbc≥3＋2＋2＋2＝9.

1当且仅当a＝b＝c＝时，等号成立．

3反思与感悟

在利用基本不等式证明的过程中，常需要把数、式合理地拆成两项或多项或恒等地变形配凑成适当的数、式，以便于利用基本不等式．

跟踪训练2

已知a，b，c为正数，且a＋b＋c＝1，

证明：(1－a)(1－b)(1－c)≥8abc. 证明

(1－a)(1－b)(1－c)＝(b＋c)(a＋c)(a＋b)

≥2bc·2ac·2ab＝8abc.

1当且仅当b＝c＝a＝时，等号成立．

3

1．若0＜a＜1，0＜b＜1，且a≠b，则a＋b，2ab，2ab，a2＋b2中最大的一个是(

) A．a2＋b2B．2ab

C．2abD．a＋b

答案

D 解析

∵0＜a＜1，0＜b＜1，a≠b，

∴a＋b＞2ab，a2＋b2＞2ab.

∴四个数中最大的应从a＋b，a2＋b2中选择．

而a2＋b2－(a＋b)＝a(a－1)＋b(b－1)．

又∵0＜a＜1，0＜b＜1，∴a(a－1)＜0，b(b－1)＜0，

∴a2＋b2－(a＋b)＜0，即a2＋b2＜a＋b，

∴a＋b最大．故选D.

2．设a，b是实数，且a＋b＝3，则2a＋2b的最小值是(

) A．6B．42C．26D．8 答案

B 解析

∵a＋b＝3，

∴2a＋2b≥22a·2b＝22ab＝28＝42. ＋3．不等式a2＋4≥4a中，等号成立的条件为________．

答案

a＝2 解析

令a2＋4＝4a，则a2－4a＋4＝0，

∴a＝2. a＋b14．若a＞b＞1，P＝lga·lgb，Q＝(lga＋lgb)，R＝lg，则它们的大小关系是________．

22答案

R＞Q＞P

解析

∵a＞b＞1，∴lga＞lgb＞0，∴Q＞P，

a＋b11又Q＝(lga＋lgb)＝lgab＝lgab＜lg＝R，

222∴R＞Q＞P.

a＋b＋1．两个不等式a2＋b2≥2ab与≥ab前者a，b∈R，后者a，b∈R；另外它们都是带有2等号的不等式，对于“当且仅当…时，取‘＝’”这句话的含义要有正确的理解．一方面：a＋ba＋b当a＝b时，＝ab；另一方面：当＝ab时，也有a＝b. 222．在应用基本不等式比较大小或证明不等式时，要熟练运用基本不等式的几类变形，同时注意等号成立的条件．