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专题讲解：处理球的“内切”“外接”问题

外接球内切球问题专题一

一、球与棱柱的组合体问题：

1正方体的内切球：

设正方体的棱长为a，求（1）内切球半径；（2）外接球半径；（3）与棱相切的球半径。

（1）截面图为正方形EFGH的内切圆，得Ra；

2（2）与正方体各棱相切的球：球与正方体的各棱相切，切点为各棱的中点，如图4作截面图，圆O为正方形EFGH的外接圆，易得R2a。

2（3）

正方体的外接球：正方体的八个顶点都在球面上，如图5，以对角面AA1作截面图得，圆O为矩形AA1C1C的外接圆，易得RA1O

图3 图4 图5 2.在球面上有四个点P、A、B、C.如果PA、PB、PC两两互相垂直，且PAPBPCa,求这个球的表面积是______. 【构造直三角形，巧解正棱柱与球的组合问题

正棱柱的外接球，其球心定在上下底面中心连线的中点处，由球心、底面中心及底面一顶点构成的直角三角形便可得球半径。】

3.已知底面边长为a正三棱柱ABCA1B1C1的六个顶点在球O1上，又知球O2与此正三棱柱的5个面都相切，求球O1与球O2的体积之比与表面积之比。

分析：先画出过球心的截面图，再来探求半径之间的关系。

解：如图6，由题意得两球心O1、O2是重合的，过正三棱柱的一条侧棱AA1和它们的球心作截面，设正三棱柱底面边长为a，则R23a

23a，正三棱柱的6

1 图6

高为h2R23a，由RtA1D1O中，得

3222333552222a2，

R1aR2aaRaS:SR:R112125:1，3631212V1:V255:1

二

棱锥的内切、外接球问题

4 .正四面体的外接球和内切球的半径是多少？ 分析：运用正四面体的二心合一性质，作出截面图，通过点、线、面关系解之。

解：如图1所示，设点O是内切球的球心，正四面体棱长为a．由图形的对称性知，点O也是外接球的球心．设内切球半径为r，外接球半径为R．

362222r2，在RtBEO中，BOBEEO，即R得Ra，a34得R3r

【点评】由于正四面体本身的对称性可知，内切球和外接球的两个球心是重合的，为正四面体高的四等分点，即内切球的半径为高)，且外接球的半径之间的关系。

5.正三棱锥SABC，底面边长为3，侧棱长为2，则其外接球和内切球的半径是多少

6. 正四棱锥SABCD，底面边长为2，侧棱长为3，则其外接球和内切球的半径是多少

练习：1.（球内接正四面体问题）一个四面体的所有棱长都为2，四个顶点在同一球面上，

则此球的表面积为 2. （球内接长方体问题）一个长方体的各顶点均在同一球的球面上，且一个顶点上的三条棱的长分别为1，2，3，则此球的表面积为 。

3．设P,A,B,C是球O面上的四点,且PA,PB,PC两两互相垂直,若PAPBPCa, 则球心O到截面ABC的距离是 .

4.（球内接正三棱锥问题）在正三棱锥SABC中，侧棱SC侧面SAB，侧棱SC2，则此正三棱锥的外接球的表面积为 5.（球内接棱柱问题）

若一个底面边长为2h ( h为正四面体的4图1 3h，从而可以通过截面图中RtOBE建立棱长与半径43，棱长为6的正六棱柱的所有顶点都在一个平面上，则此2球的体积为 ．

6.（正三棱柱内切球、外接球问题）一个正三棱柱恰好有一个内切球(球与三棱柱的两个底面和三个侧面都相切)和一个外接球(球经过三棱柱的6个顶点),则此内切球与外接球表面积之比为 。

7.（球内接正四棱锥问题）半径为R的球内接一个各棱长都相等的正四棱锥．则四棱锥的体积为 ．

2

8.（正三棱锥球内切问题）

正三棱锥的高为3，底面边长为83，正三棱锥内有一个球与其四个面相切．则球的表面积与体积分别为 ． 9. 三棱锥ABCD的两条棱ABCD6,其余各棱长均为5，求三棱锥的内切球半径.

说明：球与正三棱锥四个面相切，实际上，球是正三棱锥的内切球，球心到正三棱锥的四个面的距离相等，都为球半径R．这样求球的半径可转化为求球心到三棱锥面的距离，而点面距离常可以用等体积法解决．

1 3；2 14；3 92642563 a；4 12；5 

；6 1:5；7 R3；8 ;239816外接球内切球问题专题二

1. （陕西理•6）一个正三棱锥的四个顶点都在半径为1的球面上，其中底面的三个顶点在该球的一个大圆上，则该正三棱锥的体积是（ ）

33333 B． C．

D． 34124答案

B

A．2.

直三棱柱ABCA1B1C1的各顶点都在同一球面上，若ABACAA12,BAC120，则此球的表面积等于

。

解:在ABC中ABAC2,BAC120,可得BC23,由正弦定理,可得ABC

外接圆半径r=2,设此圆圆心为O，球心为O，在RTOBO中，易得球半径R为4R20.

25，故此球的表面积23．正三棱柱ABCA1B1C1内接于半径为的球，若A,B两点的球面距离为，则正三棱

柱的体积为

．

答案

8 4.表面积为23

的正八面体的各个顶点都在同一个球面上，则此球的体积为

A．12222 B． C． D．

3333答案

A 3a2【解析】此正八面体是每个面的边长均为a的正三角形，所以由823知，

4a1，则此球的直径为2，故选A。

32，那么正方体的棱长等于（

）

5.已知正方体外接球的体积是3A.22

B.234243

C.

D.

3333

答案

D 6.（2006山东卷）正方体的内切球与其外接球的体积之比为

(

)

A. 1∶3

B. 1∶3

C. 1∶33

D. 1∶9 答案

C

7.（2008海南、宁夏理科）一个六棱柱的底面是正六边

形，其侧棱垂直底面．已知该六棱柱的顶点都在同一个球面上，且该六棱柱的体积为则这个球的体积为

．

答案

9，底面周长为3，84

38. （2007天津理•12）一个长方体的各顶点均在同一球的球面上，且一个顶点上的三条棱

的长分别为1，2，3，则此球的表面积为

．

答案

14π

9.（2007全国Ⅱ理•15）一个正四棱柱的各个顶点在一个直径为2 cm的球面上。如果正四

棱柱的底面边长为1 cm，那么该棱柱的表面积为

cm2. 答案

242

P

C D E F 10.（2006辽宁）如图，半径为2的半球内有一内接正六棱锥PABCDEF，则此正六棱

锥的侧面积是________．

答案

67

11.（辽宁省抚顺一中2009届高三数学上学期第一次月考）

棱长为2的正四面体的四个顶点都在同一个

球面上，若过该球球心的一个截面如图，则图中

三角形(正四面体的截面)的面积是 . 答案

2

B

A 12.（2009枣庄一模）一个几何体的三视图如右图所示，则该几何体外接球的表面积为

（

）

A．3

B．2

C．16

3D．以上都不对

答案C

2313.(吉林省吉林市2008)设正方体的棱长为，则它的外接球的表面积为（

）

3

A．

B．2π

C．4π

答案C 1 ．（2012新课标理）已知三棱锥SABC的所有顶点都在球O的求面上,ABC是边长为1的正三角形,SC为球O的直径,且SC2;则此棱锥的体积为

（

）

83D．

432

A．6

B．3

6C．2

34 D．22

B．25．（2012辽宁文）已知点P,A,B,C,D是球O表面上的点,PA⊥平面ABCD,四边形ABCD是边长为23正方形.若PA=26,则△OAB的面积为______________. 外接球内切球问题专题三

1.一个正三棱锥的四个顶点都在半径为1的球面上，其中底面的三个顶点在该球的一个大圆上，则该正三棱锥的体积是（ ）

33333 B． C．

D． 34124答案

B

A．2. 直三棱柱ABCA1B1C1的各顶点都在同一球面上，若

ABACAA12,BAC120，则此球的表面积等于

。

解:在ABC中ABAC2,BAC120,可得BC23,由正弦定理,可得ABC

外接圆半径r=2,设此圆圆心为O，球心为O，在RTOBO中，易得球半径R为4R20.

25，故此球的表面积23．正三棱柱ABCA1B1C1内接于半径为的球，若A,B两点的球面距离为，则正三棱

柱的体积为

．

答案

8 4.表面积为23

的正八面体的各个顶点都在同一个球面上，则此球的体积为

A．12222 B． C． D．

3333答案

A 3a2【解析】此正八面体是每个面的边长均为a的正三角形，所以由823知，

4a1，则此球的直径为2，故选A。

32，那么正方体的棱长等于（

）

5.已知正方体外接球的体积是3A.22

B.234243

C.

D.

333答案

D 6.（2006山东卷）正方体的内切球与其外接球的体积之比为

(

)

A. 1∶3

B. 1∶3

C. 1∶33

D. 1∶9 答案

C

7.（2008海南、宁夏理科）一个六棱柱的底面是正六边

5

形，其侧棱垂直底面．已知该六棱柱的顶点都在同一个球面上，且该六棱柱的体积为则这个球的体积为

．

答案

9，底面周长为3，84

3P 8. （2007天津理•12）一个长方体的各顶点均在同一球的球面上，且一个顶点上的三条棱

的长分别为1，2，3，则此球的表面积为

．

答案

14π

9.（2007全国Ⅱ理•15）一个正四棱柱的各个顶点在一个直径为2 cm的球面上。B

如果正四

A 2棱柱的底面边长为1 cm，那么该棱柱的表面积为

cm. 答案

24C D E F 2

10.（2006辽宁）如图，半径为2的半球内有一内接正六棱锥PABCDEF，则此正六棱

锥的侧面积是________．

答案

67

11.（辽宁省抚顺一中2009届高三数学上学期第一次月考）

棱长为2的正四面体的四个顶点都在同一个

球面上，若过该球球心的一个截面如图，则图中

三角形(正四面体的截面)的面积是 . 答案

2

12.（2009枣庄一模）一个几何体的三视图如右图所示，则该几何体外接球的表面积为

（

）

A．3

B．2

C．

16

3D．以上都不对

答案C

2313.(吉林省吉林市2008届上期末)设正方体的棱长为，则它的外接球的表面积为（

）

3

A．

B．2π

C．4π

83D．

43答案C 1 ．（2012新课标理）已知三棱锥SABC的所有顶点都在球O的求面上,ABC是边长为1的正三角形,SC为球O的直径,且SC2;则此棱锥的体积为

（

）

A．2

6B．3

6C．2

3D．2

225．（2012辽宁文）已知点P,A,B,C,D是球O表面上的点,PA⊥平面ABCD,四边形ABCD是边长为23正方

6

形.若PA=26,则△OAB的面积为______________.

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