1.3 二项式定理（通用）ppt配套的教学设计方案

二项式定理（一）教学设计

教学内容分析

在多项式的运算中，把二项式展开成单项式之和的公式，即二项式定理有着非常重要的地位，它是带领我们进入微分学领域大门的一把金钥匙，只是在中学阶段还没有充分显示的机会。二项式定理是初中乘法公式的推广，是排列组合知识的具体运用，是学习随机变量及其分布的基础。另外，由于二项式系数是一些特殊的组合数，由二项式定理可以导出一些组合数的恒等式，这对深化组合数的认识有好处。通过二项式定理的学习，要求学生掌握“抽象、猜想、归纳、论证”等数学思想。同时在求展开式、其通项、证恒等式、近似计算等方面形成技能，进一步体会过程分析与特殊化方法等的运用。二项式定理的推导是一个教学难点，推导中比较抽象，需要恰当地运用组合数的性质。总之，二项式定理是综合性较强的，具有联系不同内容作用的知识，本节课起到了承上启下的作用。

学生学情分析

二项式定理是初中学习的多项式乘法的继续，学生在初中是从具体的式子感知多项式的展开。在高中前面的数学学习后，在数学符号化、公理化、抽象化等方面得到了有效的锻炼，逻辑推理能力、转化与化归等数学思想方法得到了训练，特别是在前一节学习了计数原理后，对该节推导二项式定理奠定了基础。又教师根据学生情况从实际问题出发，又很好的遵循了现阶段学生思维的特点。

教学目标

（1）了解二项式定理的形成过程，了解二项式系数、字母的幂次、展开式项数的规律。

(2 ) 能够应用定理对所给的二项式进行正确的展开。

（3）通过学生自主参与和探究二项式定理的推导过程，培养学生的观察归纳能力，抽象思维和逻辑思维能力，以及化归的意识与方法迁移的能力，体会从特殊到一般的思维方式。

教学重点：二项展开式的通项公式。

教学难点：二项式定理的推导过程。

教学方法：引导探究式。

课时安排：第一课时（共2课时）。

教学过程：

一：通过实例，引入课题

请根据高中学过的组合知识，解决问题：

引例（请用组合数表示）

1两个盒子内各有一红一白大小和质量完全相同的小球，先从每个盒子里各取出一个球，有几种不同的取法？每种取法各有多少种？

2上题条件中的“两个盒子”改为“三个盒子”，“四个盒子”，

有几种不同的取法？每种取法各有多少种？

学生刚学过排列组合知识，对引例会跃跃欲试。思考片刻后，请一位同学回答，教师用PPT展示答案。“两个盒子”改为“三个盒子”，“四个盒子”后，全班同学一起回答，教师1仍然用PPT展示答案，并请一位同学解释

这种取法的答案为什么是C4。

二：设置问题，合作探究

请学生展开

(ab)2，(ab)3（再用组合数表示各项系数）。

学生基本上用初中学过的多项式乘法法则展开这两个式子，对再用组合数表示各项系数感到茫然，只有极个别同数能联想到引例、但也无法很好地进行抽象与说明。

针对此现象，连续性地抛出几个思考题：

思考1：展开式中的项数有什么特点？

学生：分别是3项，4项。教师引导：跟每个展开式中的次数有什么关系？

学生：等于次数+1. 思考2：展开式中各项的次数有什么特点？

学生：第一个展开式中每项都是2次，第二个展开式中每项都是3次。

思考3：以(ab)2为例，为什么展开式中每一项的次数都是2？

学生：(ab)2相当于有2个(ab)因子相乘，在每个因子里要么取a，要么取b，展开当然是2次。

哦！明白了！有些学生恍然大悟（还只是小部分）。他们联想到引例：2个(ab)因子相当于2个盒子, a,b相当于红白小球，如a²相当于2个因子都不取b。教师再加以引导和梳理，然后(ab)2和(ab)3的系数用组合数表示，全班一起回答。

接下来对(ab)4、(ab)7进行展开。

01234先从系数角度解释C4，C4，C4，C4，C4的由来，教师用幻灯片展示下面图片：

0C41C42C43C44C4

(ab)(ab)(ab)(ab)(ab)4

a4

a3b

a2b2

ab3

b4

学生通过观察并结合前面不难得到：4个(ab)因子相当于4个盒子, a,b相当于红白01小球。a相当于4个因子都不取b，即C4。请一位同学解释ab的系数C4。另外几个系43数全班一起回答。

接下来是(ab)7的系数的确定，全班一起回答。以ab为例，请一位学生解释一下系数的由来。

最后请学生对(ab)n进行展开。有了前面的铺垫，学生会非常轻松地得到二项式定理，并能解释系数的由来。

（教师板书）

n1n12n22(ab)nC0bCnabnaCnankkCkbnannCnb34(nN*)

三：内化知识，深化认识

请学生观察(ab)n的二项展开式，教师提问：

①

二项式定理展开式项数、次数的特点是什么？

②

二项式定理展开式系数的特点是什么？

③

二项式定理展开式的结构特征是什么？哪一项最具有代表性？

学生自己总结，发现规律，得到二项式系数、通项公式等概念。

（教师板书）

（1）

n1项；

（2）

各项的次数都等于n，

字母a的指数由n递减到0，同时，字母b的指数由0递增到n；

knkk（3）

通项公式：Tk1Cnab(k0,1,2,k（4）

二项式系数：Cn(k0,1,2,,n.)；

,n.). 教师：我们已经探究得到(ab)n的展开，那(ab)n能展开吗？需要重新探究吗？

学生：不用！把(ab)n中的b看成(b)代入展开式中就行了（请一位学生回答）。

（幻灯片展示）

0n1n12n22(ab)nCnaCnabCnabknkk(1)kCnabnn(1)nCnb

教师：那(1x)n如何展开呢？

学生：把1看成a，把x看成b代入展开式中就行了（请一位学生回答）。

（幻灯片展示）

0122(1x)nCnCnxCnxkkCnxnnCnx

通过这两个式子，学生会感悟到字母a,b只是一种符号，实际上它们可以是数、式子等。只要具备二项式的形式，就可以用定理写出展开式，学生对二项式定理的认识就更加深化了。

四：例题示范，学会应用

例1

求(a2b)的展开式

本题教学采用学生回答，教师板书的互动式教学法。

例2

求(2x5本题教学采用一学生板书，其他同学在草稿纸上练习，教师根据学生的板书进行讲评；14)的展开式（要求学生用二项式定理直接展开）

x

然后点出此题也可以先化简再利用二项式定理展开，最后总结对于比较复杂的二项式,有时先化简再展开会更方便。

教师追问：展开式的倒数第二项，第二项的系数、第二项的二项式系数和x的系数分别是多少？帮助学生对容易混淆的知识点的理解。

五：归纳小结，反思提高

（1）本节课我们主要学习了二项式定理；以及展开式中的通公式；

（2）要正确区别“项的系数”和“二项式系数”；

（3）将二项式定理中的字母赋上适当的值，就可以求一些特殊的组合多项式的值。