阅读与思考 错在哪儿名师课堂实录

人教A版数学《数学（必修五）》P97—100

b a

贺兰回中 何生芳

2014年11月20日

课题：基本不等式

课型：新课（第一课时）

授课人：何生芳

授课班级：高二（2）班

授课时间：2014.11.20 一、教材分析： 本节课选自《普通高中课程标准实验教科书·数学·必修5》（人教A版）中第三章第四节。本节课主要研究基本不等式的几何背景、代数证明和实际生活中的应用。

基本不等式在现实生活中运用比较广泛。本节课通过从生活与几何背景中得到基本不等式、证明不等式与回归生活解决实际问题的思路，体现新课标“数学有用”的理念。同时，运用基本不等式求最值也是数列研究的基本问题。通过对本节的研究，培养学生数形结合的思想方法。 二、学情分析： 在本节课之前学生已经学习了不等关系与不等式和一元二次不等式及其解法，对不等关系的一般性质和不等式的求解证明有了一定的理解，为基本不等式的学习提供了基础。 授课班级为高二（2）班（平行班），我班学生整体基础知识一般、部分学生思维较活跃，能够较好的掌握教材上的内容，但处理、分析问题的能力还有待提高。 三、设计思想： 本课为新授课，积极践行新课程“数学有用”理念，倡导积极主动、勇于探索的学习精神和合作探究式的学习方式；注重提高数学思维能力，在教与学的和谐统一中体现数学思想和文化价值；注重信息技术与数学课程的整合。 四、教学目标： 1、知识与技能： (1) 师生共同探究基本不等式； (2) 了解基本不等式的代数、几何背景及基本不等式的证明；

(3) 会简单运用基本不等式。 2、过程与方法： 通过基本不等式的探索、发现，在知识发生、发展以及形成过程中培养学生观察、联想、归纳、分析、综合和逻辑推理的能力；遵循从特殊到一般的认知规律，让学生在实践中通过观察、尝试、分析、类比的方法导出基本不等式，培养学生数形结合的思维能力。 3、情感、态度与价值观：

(1)培养学生举一反三的逻辑推理能力，并通过不等式的几何解释，丰富学生数形结合的想象力； (2) 通过具体的现实问题提出、分析与解决，激发学生探究的兴趣和欲望，树立学生求

真的勇气和自信心，增强学生学好数学的心理体验，产生热爱数学的情感，体验在学习中获得成功的快乐。 五、教学重点： （1）用数形结合的思想理解并探索基本不等式的证明； （2）运用基本不等式解决实际问题。 教学难点：基本不等式的运用。

重、难点解决的方法策略：

本课在设计上采用了由特殊到一般、从具体图形到抽象代数的教学策略．利用数形结合思想，层层深入，通过学生自主活动探究，分析、整理出推导公式的不同思路，同时，借助多媒体的直观演示，帮助学生理解，并通过范例后的变式训练和教师的点拨引导，师生互动、讲练结合，从而突出重点、突破教学难点。 六、教学方法： 1、教法：根据对教材和学生的分析，针对学校实际情况，采用启发引导式及多媒体

辅助教学方法。 2、学法：学生自主探索，创造机会让学生合作、探究，交流。 这体现一种“给学生一杯水然后教给学生寻找水的方法，使学生能找到一桶水乃至更多活水”的求知、学习方式。

七、结合教材知识内容和教学目标，本课的教学环节及时间分配如下：

创设情境，

提出问题

新课

由图形得出重要

不

数形

探究基本不等式

（

2

7

分钟）

结合

分钟）

引入

等式（（6分钟）

前后

呼应

解决

问题

归纳总结

公式应用

解决问

知识回顾

课堂练习

例一

（5分钟）

题

（10分钟）

分析（10分钟）

八、教学过程

教学环节

一、

课

题

引

入

师生活动

情景1：（生活中实际问题引入）

师：买一辆新车，使用多少年最合算，这是实际生活中必须考虑的现实问题。

情景2：（展示24届国际数学家大会会标）

上图是在北京召开的第24届国际数学家大会的会标，会标是根据中国古代数学家赵爽的弦图设计的，该图不仅代表了古代中国曾经为世界数学的发展做出了重要的贡献，更体现了数学的简洁之美，其中还蕴含着一个重要不等关系。

2a b22ab(aR,bR)的理解

探究一:对重要不等式学生设计意图

活动

观察

设计意图：数学文化

为教学背

景，引入新

课，有效调

动学生的

学习兴趣。

设计意图: 从形和数

两个方面

探讨重要

不等式. 渗透数形

结合的思想.

设计意图 :利用重要

不等式

；由

换元法得

到基本不

等式.

二、

新

授

课

思考：

1、这会标中含有怎样的几何图形？

2、你能否在这个图案中找出一些相等关系或不等关系？

3、大正方形的面积S=__________ 4、四个直角三角形的面积和S’ =____

观察

5、S与S’有什么样的不等关系？

思考

6、那么它们有相等的情况吗？

重要不等式：一般地，对于任意实数a、b，我们有

22（当且仅当a=b时，等号成立）。

思考：你能给出证明吗？请试试。

探索

ab基本

ab(a0,b0)探究二：对基本不等式 的理解

不等

222在ab2ab中式的

以a,b分别代替a,b能得到什么结果?证明

ab基本不等式：如果a,b是正数，那么 (当且仅当法, ab2a=b时，等号成立) 学生

ab说明：(1) 我们称 为正数a，b的算术平均数，称 2ab为以小

正数a，b的几何平均数． 组为

(2)定理可叙述为：两个正数的算术平均数不小于它们的单位

几何平均数．

展开

b a

ab2ab

三、例

题

讲

解

(3)两个正数的等差中项不小于它们的等比中项. 请仿照重要不等式证法给出基本不等式的代数证明。

讨论

探究三：基本不等式的变形

abab2(a>0,b>0) ab2ababab22

思考：

ab___,当且仅当a=b=___时a+b有最___值。

当ab=9时， ab___,当且仅当a=b=___时a+b有最___值。当ab=16时，

___,当且仅当a=b=___时ab有最___值。

当a+b=6时，ab ___,当且仅当a=b=___时ab有最___值。

当a+b=8时，ab 总结：

当ab为定值时，a+b有最 值；

当a+b为定值时，ab有最 值。

探究四：两个定理的应用——求最值

例1：(1)如图,用篱笆围成一个面积为100m2的矩形菜园,问这个矩形的长、宽各为多少时，所用篱笆最短，最短的篱笆是多少？

(2)如图，用一段长为36m的篱笆围成一个矩形菜园，问这个矩形菜园的长和宽各为多少时，菜园的面积最大，最大面积是多少？

小结：应用基本不等式求最值的条件：

一正：a与b为正实数

二定：积定和最小；和定积最大

三相等：若等号成立，a与b必须能够相等

设计意图

：比较异同，

此处旨在让学生对两个不等式加以区别.

设计意图

：并明确基本不等式求最值时应注意的条件。

设计意图 :拓展学生

思维，渗透

数学建模

思想。照应

引入情景，

首尾呼应

。

课

1、这节课我的收获是什么？

堂

2、请大家以两个不等式为线索，整理今天所学的知识。若有疑小问，可以与同学讨论或举手提问.

结：

设计意图

：

学生小结整

理，发现

疑问，当堂

消化，有利

于形成知

识体系。

作课时训练

业：