2.基本不等式教案设计范例

2017-2018学年高二数学学科导学案 使用时间：2018年

月 日 班级： 小组： 姓名： 组内评价： 教师评价： 课题：基本不等式

编写人：马辉 审核人：高立会 审批人： 【学习目标】

（1）理解并掌握重要的基本不等式，不等式等号成立的条件; （2）初步掌握不等式证明的方法

【学习重点】理解并掌握重要的基本不等式，不等式等号成立的条件

【学习难点】初步掌握不等式证明的方法



课前学习

1．不等式的基本性质：

⑴对称性：ab

；

⑵传递性：ab,bc

；

⑶同加性：ab

；

推论：同加性：ab,cd

；

⑷同乘性：ab,c0

，ab,c0

；

推论1：同乘性：ab0,cd0

；

推论2：乘方性：ab0,nN

；

推论3：开方性：ab0,nN

；

推论4：可倒性：ab0

．

2．

比较两数大小的一般方法：比差法与比商法(两正数时)．

3．定理1

如果a,bR, 那么a2b22ab．

当且仅当ab时, 等号成立．

证明: ∵a2b22ab(ab)20,当且仅当ab时, 等号成立．

∴a2b22ab,当且仅当ab时, 等号成立．

4．

定理2（基本不等式）)如果a,bR, 那么ab2ab．

当且仅当ab时, 等号成立．

（1）比较定理1与定理2, 有哪些相同和不同?

（2）如何证明基本不等式?

（3）给出图形如右, 你能解析基本不等式的几何意义吗?

（4）怎样用语言表述基本不等式? 

课中学习

例1在a0，b0的条件下，三个结论：其中正确的个数是（

）

①2abababa2b2b2a2ab2，②22，

③abab，

A．0

B．1

C．2

D．3

2例2设a,bR，求证：（1）

aba2b222

; （2）

a2b2c2abbcac．

例3

（1）

设x0,y0且x2y1，求11xy的最小值.

；

（2）

设x、y是正实数，且x+y=5,则lgx+lgy的最大值是_______________________．

（3）

若正数a,b满足abab3，则ab的取值范围是

．

例4一变压器的铁芯截面为正十字型,为保证所需的磁通量,要求十字应具有45cm2

的面

积，问应如何设计十字型宽x及长y，才能使其外接圆的周长最短，这样可使绕在铁芯上

的铜线最节省．

例5（1）已知a,b是正常数,ab,x,y(0,)，求证：a2b2(ab)2xyxy,指出等号成立的条件；（2）利用（1）的结论求函数f(x)2x9112x（x(0,2)）的最小值，指出取最小值时x的值．



基础练习

1．若a,b均为大于1的正数，且ab＝100，则lga·lgb的最大值是

(

)

A．

0

B．

1

C．

2

D．

52．对一切正整数n，

不等式bn2

11bn2恒成立，则B的范围是

3．设a、b、c是互不相等的正数，则下列等式中不恒成立．．．．的是

（

）

A．|ab||ac||bc|

B．a21a2a1a

C．|ab|1ab2

D．a3a1a2a

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

课后检测

1．设x、yR且xy(xy)1，则

A．xy2(21)

B．xy21

C．xy(21)2

D．xy2(21)

2．若关于x的方程9x(4a)3x40有解，则实数a的取值范围是

A．(，8][0，)

C．[8，4)

B．(，4)

（

）

D．(，8]

1a20，则a的取值范围是

3．若log2a1a

24．f(x)axax1在R上满足f(x)0，则a的取值范围是

5 ．若a1，0b1，且a

6．函数f(x)x2x1x21

8 ．（1）设不等式2x－1＞m(x2－1)对满足|m|≤2的一切实数m的取值都成立，求x的取

值范围；

（2）

是否存在m使得不等式2x－1＞m(x2－1)对满足|x|≤2的一切实数x的取值都成立．

9．已知a0,b0,

logb(2x1)1，则实数x的范围是

．

111a,b的等差中项是, 且a,b,

求的最小值．

ab2的值域为

．

7．为了竖一块广告牌，要制造三角形支架．三角形支架如图，要求∠ACB=60°，BC长度大于

1米，

且AC比AB长0．5米．为了广告牌稳固，要求AC的长度越短越好，求AC最短为多

少米？

且当AC最短时，BC长度为多少米？

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参考答案

课中学习

例1答案：D．解析：可以证明3个不等式都成立．

例3

（1）答案：

322．解析：(x2y)()31x1y2yx322．

xy2n112b25b222．答案：

(,)(1,)．解析：1,,0，即b>1或b．

n2n231b3b1553．答案：

C．因为|ab|acbc|ac||bc|，所以（A）恒成立，

在B两侧同时乘以a2,得

3

a41a3aa0aa1a4a31

（2）答案：2-4lg2．解析：∵x>0,y>0,5=x+y≥2xy,∴xy≤(

当且仅当x=y=52)．

210aa122

aa10

所以B恒成立；在C中，当a>b时，恒成立，a

在D中，分子有理化得课后检测

55时等号成立．

故lgx+lgy=lgxy≤lg()2=2-4lg2．

22

（3）答案: [9,)．解析：abab32ab3,ab3，即ab9．

例4答案：解：设yx2h,由条件知:x4xh4

设外接圆的半径为R，即求R的最小值，

24R2x2(2hx)22(x2hx2h),222恒成立，故选C．

a3a1a2a2245x2,

5,

即h4xxy2

1．答案：A．解析：xy1(xy),(xy)4(xy)40,xy2(21)．

2x2．答案：D．解析：4a344,a8．

3x

2(45x2)8085x2x

2Rf(x)x48x2224

510255x22(0x2R),2R25255,84x113．答案：

(,1)．解析：1a2或1a2，解得a1．

211201a1a2a102a1

仅当5210x2x2,等号成立时，∴当x2时R2最小，即R最小，从而周长l

8x4．答案：4a0．解析：a=0时，f(x)0恒成立，a≠0时，

综上所述4a0．

a0，∴4a0，

0

最小，此时x2cm

.,y2hx(51)；cm115．答案：(,1)

．解析：logb(2x1)0,02x11,x1．

22x2x1xx1113126．答案：

,．解析：f(x)2，令g(x)2,g(x),，

x1x1x1222213

即f(x),．

22a2b2yxyx例5 （1）()(xy)a2b2a2b2a2b22a2b2(ab)2，

xyxyxyxaba2b2(ab)22yb2，即时上式取等号；

故．当且仅当axyxyxyxy2232(232)

⑵由⑴得f(x)．

252x12xx2(1x2)

当且仅当基础检测

1．答案：

B．解析：lgalgb(lgalgb2)1．

21．

c2=a2+b2-2abcos60°, 2111

将c=b-代入得(b-)2=a2+b2-ab, 化简得b(a-1)=a2-．

2247．解析：设BC=a(a>1),AB=c,AC=b,b-c=

∵a>1,∴a-1>0．

13(a1)22a234=4=(a-1)+

b=+2≥a1a14(a1)a2231，即x时上式取最小值，即[f(x)m]in2x12x5．25

3+2．

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2017-2018学年高二数学学科导学案 使用时间：2018年

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当且仅当a-1=33时，取“=”,即a=1+时,b有最小值2+3．

4(a1)28．答案：（1）解：令f(m)＝2x－1－m(x2－1)＝(1－x2)m＋2x－1，

可看成是一条直线，且使|m|≤2的一切实数都有2x－1＞m(x2－1)成立．

1－31＋3＜x＜ f(2)＞0 2x－2x－1＞0

所以，，即，即2

22f(－2)＞0

2x＋2x－3＜0x＜－1－7或x＞－1＋7222

所以，7－1＜x＜3＋1．

22

（2）

令f(x)= 2x－1－m(x2－1)= －mx2+2x+(m－1)，使|x|≤2的一切实数都有2x－1＞m(x2－1)成立．

当m0时，f(x)= 2x－1在1x2时，f(x)0．（不满足题意）

2

当m0时，f(x)只需满足下式：

m0m0m0110

2或20或f(2)mf(2)m00f(2)0

解之得结果为空集．

故没有m满足题意．

11119．答案：5．解析：ab1,ab12ab，∴ab,5．

4abab

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