1.2 独立性检验的基本思想及其初步应用优秀公开课教案

3.2.1

《独立性检验的基本思想及其初步应用》教学设计

洛阳市第九中学 马雪梅

【教学目标】

（1）通过对典型案例的探究，了解独立性检验（只要求列联表）的基本思想、方法及初步应用；

（2）经历由实际问题建立数学模型的过程，体会其基本方法。

【教学重点】

了解独立性检验的基本思想及实施步骤。

【教学难点】

独立性检验的基本思想；随机变量K的含义。

【学情分析】

本节课是在学习了统计、回归分析的基本思想及初步应用后，利用独立性检验进一步分析两个分类变量之间是否有关系，为以后学习统计理论奠定基础。

【教学方式】

多媒体辅助，合作探究式教学。

【教学过程】

一、情境引入，提出问题

请看视频：

[设计意图说明] 好的课堂情景引入，能激发学生的求知欲，是新问题能够顺利解决的前提之一。

问题1、你认为吸烟与患肺癌有关系吗？怎样用数学知识说明呢？

[设计意图说明] 提出问题，引导学生自主探究，指明方向，步步深入。

二、阅读教材，探究新知

2

1.分类变量

对于性别变量，其取值为男和女两种

[设计意图说明] 利用图像向学生展示变量的不同取值，更加形象的表示分类变量的概念。

这种变量的不同“值”表示个体所属的不同类别，像这样的变量称为分类变量。

生活中有很多这样的分类变量如：

是否吸烟

…

宗教信仰

国籍

民族

…

2.列联表

为研究吸烟是否对患肺癌有影响，某肿瘤研究所随机地调查了9965人，得到如下结果： 表3—7 吸烟与患肺癌列联表 单位：人

不吸烟

吸烟

总计

不患肺癌

7775 2099 9874 患肺癌

42 49 91 总计

7817 2148 9965 这样列出的两个分类变量的频数表，称为列联表（一般我们只研究每个分类变量只取两个值，这样的列联表称为22列联表）。

问题1、吸烟与患肺癌有关系吗？

由以上列联表，我们估计①在不吸烟者中患肺癌的比例为________；

②在吸烟者中患肺癌的比例为 。

因此，直观上可以得到结论：吸烟群体和不吸烟群体患肺癌的可能性存在差异。

还有其它方法来判断吸烟和患肺癌有关呢？

3.等高条形图

2

比较图中两个深色条的高可以发现，在吸烟样本中患肺癌的频率要高一些，因此直观上可以认为吸烟更容易引发肺癌。

[设计意图说明]

从具体的事例出发引入概念，有利于帮助学生对概念的理解。

三、小组讨论，合作交流

问题2、你有多大程度判断吸烟与患肺癌有关？用什么方法进行检验呢？

我们先假设 H0:吸烟与患肺癌没有关系。

用A表示不吸烟，B表示不患肺癌，则“吸烟与患肺癌没有关系”等价于“吸烟与患肺癌独立”，即假设H0等价于：P(AB)P(A)P(B)

上述列联表中的数字用字母代替，可得如下列联表： 表3—8 吸烟与患肺癌列联表 单位：人

不吸烟

吸烟

总计

则有

P(AB)不患肺癌

患肺癌

总计

a

c

b

d

bd

ab

cd

abcd

ac

aabcd,P(B)，P(A)，其中nabcd为样本容量

nnnaabcd

nnn所以在H0成立的条件下应该有： 即 (abcd)a(ab)(cd)

即 adbc

探究：adbc的大小能说明了什么？

adbc越小，说明吸烟与患肺癌之间关系越弱；adbc越大，说明吸烟与患肺癌之间关系越强。

为了使不同样本容量的数据有统一的评判标准，基于上面的分析，我们构造一个随机变量

n(adbc)2 K (1) (ab)(cd)(ac)(bd)2其中nabcd为样本容量。

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探究：K的大小能说明什么？

若H0成立，即“吸烟与患肺癌没有关系”，则K应该很小。根据表3—7中的数据，利用公式（1）计算得到K的观测值为

2229965(777549422099)2k56.632 781721489874919965(777549422099)256.632这个值到底能告诉我们什么呢？

探究：k78172148987491统计学家经过研究后发现，在H0成立的情况下，

P(K26.635)0.01 (2) (2）式说明，在H0成立的情况下，K的观测值超过 6. 635 的概率非常小，近似为0.01，是一个小概率事件。

2现在K的观测值k56.632，远远大于6.635，所以有理由断定H0不成立，即认为2“吸烟与患肺癌有关系”。但这种判断会犯错误，犯错误的概率不会超过0.01，即我们有99%的把握认为“吸烟与患肺癌有关系”。

在上述过程中，实际上是借助于随机变量K的观测值k建立了一个判断H0是否成立的规则：

如果k6. 635，就判断H0不成立，即认为吸烟与患肺癌有关系；否则，就判断H0成立，即认为吸烟与患肺癌没有关系。

在该规则下，把结论“H0成立”错判成“H0不成立”的概率不会超过P(K6.635)0.01, 即有99%的把握认为H0不成立。

[设计意图说明] 独立性检验的思想是本节课的教学重点，通过层层设疑，把学生推向问题的中心，学生不仅能够直观感受，更是直接参与讨论和总结，从而让学生理解独立性检验的基本思想，突破本节课难点，培养学生的分析、探究、归纳能力以及小组协作的意识。

四、形成概念，重点精讲

上面解决问题的想法类似于反证法。要判断“两个分类变量有关系”，首先假设该结论

4 22

不成立，即

H0：两个分类变量没有关系

成立。在该假设下我们所构造的随机变量K应该很小。如果由观测数据计算得到的K的观测值k很大，则在一定可信程度上说明H0不成立，即在一定可信程度上认为“两个分类变量有关系”；如果k的值很小，则说明在样本数据中没有发现足够的证据拒绝H0。

怎样判断K的观测值k是大还是小呢？这仅需确定一个正数k0，当kk0时就认为222K2的观测值k大。此时相应于k0的判断规则为：如果kk0，就认为“两个分类变量之间有关系”；否则就认为“两个分类变量之间没有关系”。我们称这样的k0为一个判断规则的临界值。按照上述规则，把“两个分类变量之间没有关系”错误地判断为“两个分类变量之间有关系”的概率不超过P(K2k0)。

在实际应用中，我们把kk0解释为有(1P(K2k0))100%的把握认为“两个分类变量之间有关系”；把kk0解释为没有(1P(K2k0))100%的把握认为“两个分类变量之间有关系”，或者样本观测数据没有提供“两个分类变量之间有关系”的充分证据。

上面这种利用随机变量K来判断“两个分类变量有关系”的方法，称为独立性检验。

根据上述，“独立性检验”的具体做法步骤为：

第一步：根据实际问题需要的可信程度确定临界值k0；

第二步：利用公式计算随机变量K的观测值k；

第三步：比较k与k0的大小得出结论。

在实际应用中，要在获取样本数据之前通过下表确定临界值k0：

表3-11 临界值表

22P(K2k0)

0.50 k0

0.40 0.25 0.15 0.10 0.05 0.025 0.010 0.005 0.001 0.455 0.708 1.323 2.072 2.706 3.841 5.024 6.635 7.897 10.828 五、运用新知，归纳展示

某学校发现有大批学生不进行正常午休，于是开始对学生进行正确教育，并施行了一些奖罚措施，但是仍有些学生不能正确午休，教师进行谈话教育时这些学生总能找到许多理由，如“不午休不影响我的学习，不午休是我多年的习惯，我下午、晚上精力仍然很充沛”等等，

5

使教师的说服教育效果很差，于是一位数学老师就对一次数学考试成绩进行了如下的统计(数据如下表)．单位：人

分数段

69～90

91～100

101～110

111～120

121～130

131～140

141～150

午休

23

47

30

21

14

31

14

不午休

17 51 67 15 30 17 3 那么请你利用这些数据统计分析来说明午休与学习的关系．

【思路启迪】

解决独立性检验问题就是观测值k与临界值k0进行对比，从而确定两个分类变量的关系．

【解】

首先我们可以把考试成绩分成两个方面，及格与不及格．完成列联表：

单位：人

午休

不午休

合计

及格

80

65

145

不及格

100

135

235

合计

180 200 380 80465这时通过表格会发现午休学生的及格率P1＝＝，不午休学生的及格率P2＝＝180920013，显然P1>P2，那么我们有多大的把握承认这个结论？于是进行独立性检验，计算得k＝4038080×135－65×1002≈5.696 1>5.024. 180×200×145×235所以在犯错误的概率不超过0.025的前提下认为午休可以提高学习成绩．因此我们的结论是：适当午休有助于保持我们良好的学习状态，提高我们的学习成绩．

点评：解决独立性检验问题的基本步骤是：(1)指出相关数据，作列联表；(2)求K2的观测值；(3)判断可能性，注意与临界值作比较，得出事件有关的可能性大小．

[设计意图说明] 学以致用，学生对独立性检验进行实际应用。通过学生展示，一方面巩固了知识，体现

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了数学在实际中的应用，另一方面暴露了学生的书写不规范问题，加强规范要求。 六、课堂检测，节节达标

1．在研究吸烟与患肺癌的关系中，通过收集数据、整理分析数据得“吸烟与患肺癌有关”的结论，并且在犯错误的概率不超过0.01的前提下认为这个结论是成立的，下列说法中正确的是(

) A．100个吸烟者中至少有99人患有肺癌

B．1个人吸烟，那么这个人有99%的概率患有肺癌

C．在100个吸烟者中一定有患肺癌的人

D．在100个吸烟者中可能一个患肺癌的人也没有

2．分类变量X和Y的列联表如下，则(

) 总计

y1

y2

A. ad－bc越小，说明X与Y的关系越弱

a＋b

x1

a b B．ad－bc越大，说明X与Y的关系越强

C．(ad－bc)2越大，说明X与Y的关系越强

D．(ad－bc)2越接近于0，说明X与Y的关系越强

x2

总计

c a＋c d b＋d c＋d

a＋b＋c＋d

3．观察下列各图，其中两个分类变量x、y之间关系最强的是(

)

4．在一项中学生近视情况的调查中，某校男生150名中有80名近视，女生140名中有70名近视，在检验这些中学生眼睛近视是否与性别有关时用什么方法最有说服力(

) A．平均数与方差

C．独立性检验

B．回归分析

D．概率

5．下面是调查某地区男女中学生喜欢理科的等高条形图，阴影部分表示喜欢理科的百分比，从图中可以看出(

) A．性别与喜欢理科无关

B．女生中喜欢理科的比为80% C．男生比女生喜欢理科的可能性大些

7

D．男生不喜欢理科的比为60% 6．某班主任对全班50名学生作了一次调查，所得数据如表：

喜欢玩电脑游戏

不喜欢玩电脑游戏

总计

认为作业多

18

8

26

认为作业不多

9

15

24

总计

27 23 50 由表中数据计算得到K2的观测值k≈5.059，于是________(填“能”或“不能”)在犯错误的概率不超过0.01的前提下认为喜欢玩电脑游戏与认为作业多有关．

7.

对本校学生课外活动进行调查，结果整理成下表：

试用你所学过的知识进行分析，能否在犯错误的概率不

体育

文娱

总计

超过0.005的前提下，认为“喜欢体育还是文娱与性别男生

21 23 44 有关系”？

女生

6 29 35

总计

27 52 79

8．为了探究学生选报文、理科是否与对外语的兴趣有关，某同学调查了361名高二在校学生，调查结果如下：理科对外语有兴趣的有138人，无兴趣的有98人，文科对外语有兴趣的有73人，无兴趣的有52人．能否在犯错误的概率不超过0.10的前提下，试分析学生选报文、理科与对外语的兴趣是否有关？

七、归纳小结，提炼精髓

1．了解2×2列联表的意义并能识别等高条形图；

2．了解独立性检验的基本思想；

3．了解独立性检验的操作步骤。

[设计意图说明] 通过回忆、归纳、总结，强调重点知识，体现课标精神，达到教学目的。

八、课后作业，自主学习

1. 为考察某种药物预防疾病的效果,进行动物试验,得到如下列联表

能以97.5%的把握认为药物有效吗?为什么?

患

病

未患病

总

计

41 626 667 用

药

37 296 333 不用药

78 922 1000

总

计

2.

在对人们休闲的一次调查中共调查了124人，其中女性70人，男性54人。女性中有43人主要的休闲方式是看电视，另外27人主要的休闲方式是运动；男性中有21人主要的休闲方式是看电视，另外33人主要的休闲方式是运动。

（1）根据以上数据建立一个

的列联表。

8

（2）能否有97.5%的把握认为性别与休闲方式有关？

【板书设计】

【教学评价与反思】

教学过程始终贯彻以学生为主体的探究式学习，学生思考、探究、讨论，得出解决问题的思路并完成落实，总结出解题的一般步骤，教师只起到提出问题，适时点评、提升的作用。

通过课堂检测，及时反馈学生学习效果，达到了教学目标。课堂上处处以学生为主体，体现高效课堂本质，相比传统课堂效果更好，培养了学生能力，体现课标精神。

3.2.1

独立性检验的基本思想及其初步应用

1、分类变量和列联表

学生展示探究成果

2、图形

3、独立性检验

4、学生活动，自主探究

9