3.三个正数的算术-几何平均不等式教学设计(第一课时)

三个正数的算术-几何平均不等式

一、教学目标

1．探索并了解三个正数的算术-几何平均不等式的证明过程．

2．会用平均不等式求一些特定函数的最大(小)值．

3．会建立函数不等式模型，利用其解决实际生活中的最值问题．

二、教学重点

会用平均不等式求一些特定函数的最大(小)值．

三、教学难点

会建立函数不等式模型，利用其解决实际生活中的最值问题．

四、教学过程：

（一）知识学习：

定理3：如果a,b,cR，那么abc3abc。当且仅当abc时，等号成立。

3a1a2an推广：

≥na1a2an

。当且仅当a1a2an时，等号成立。

n语言表述：n个正数的算术平均数不小于它们的几何平均数。

思考：类比基本不等式，是否存在：如果a,b,cR，那么abc3abc（当且仅当abc时，等号成立）呢？试证明。

（二）例题研究：

例1.已知x,y,zR, 求证：(xyz)27xyz;

例2 ：如下图，把一块边长是a的正方形铁片的各角切去大小相同的小正方形，再把它的边沿名着虚线折转成一个无盖方底的盒子，问切去的正方形边长是多少时，才能使盒子的容积最大？

3333

（三）巩固应用：

应用一：用平均不等式求函数的最值

练习1.当0x1是，求函数yx2(1x)的最大值；

应用二：用平均不等式证明不等式

（)练习2.设a,b,cR,求证：（abc

变式：（2019年全国招生统一考试1卷）

已知a，b，c为正数，且满足abc=1．证明：

（1）1a11）≥9.

bc111a2b2c2；

abc（2）(ab)3(bc)3(ca)324．

应用三：用平均不等式解决实际问题

例：制造容积为立方米的无盖圆柱形桶，用来制作底面的金属板的价格为每平方米30元，2用来制作侧面的金属板的价格为每平方米20元，要使用料成本最低，则圆柱形桶的底面半径和高应各为多少米。

【解】

设圆柱形桶的底面半径为r米，高为h米，则底面积为πr2平方米，侧面积为2πrh平方米．

设用料成本为y元，则y＝30πr2＋40πrh. ππ1∵桶的容积为，∴πr2h＝，∴rh＝. 222r

112033r2＋＋≥10π×33，

∴y＝30πr2＋π＝10πrrr1当且仅当3r2＝时，

r399即r＝时等号成立，此时h＝. 32399故要使用料成本最低，圆柱形桶的底面半径应为米，高为米．

32当且仅当2x2＝1－x2，即x＝[来源学科网]33

3时等号成立．

32323∴y≤，∴y的最大值为. 99五、随堂检测

1．已知x＋2y＋3z＝6，则2x＋4y＋8z的最小值为(

) 33A．36

B．22

C．12

D．125 【解析】

∵x＋2y＋3z＝6，∴2x＋4y＋8z＝2x＋22y＋23z

3＋＋3≥32x·22y·23z＝32x2y3z＝12. 2当且仅当2x＝22y＝23z，即x＝2，y＝1，z＝时，等号成立．

3【答案】

C 12．若a＞b＞0，则a＋的最小值为(

) ba－bA．0

B．1

C．2

D.3 3111【解析】

∵a＋＝(a－b)＋b＋≥3a－b·b·＝3，当且仅当a＝ba－bba－bba－b12，b＝1时取等号，∴a＋的最小值为3.故选D. ba－b【答案】

D 3．函数y＝4sin2x·cos x的最大值为________，最小值为________．

【解析】

∵y2＝16sin2

x·sin2x·cos2x

＝8(sin2x·sin2x·2cos2x) sinx＋sinx＋2cosx3≤83

864＝8×＝，

2727222

64∴y2≤，当且仅当sin2x＝2cos2x，27即tan x＝±2时取等号．∴ymax＝[来源:Z.xx.k.Com][来源学科网ZXXK]

883，ymin＝－3. 99883

－3 99【答案】

六、课堂小结：

通过本节学习，要求大家掌握三个正数的算术平均数不小于它们的几何平均数的定理，并会应用它证明一些不等式及求函数的最值，但是在应用时，应注意定理的适用条件。

七、板书设计

1.1.3 三个正数的算术几何平均数

教材整理1

三个正数的算术-几何平均不等式

教材整理2

基本不等式的推广

教材整理3

利用基本不等式求最值

八、作业布置

同步练习：1.1.3 三个正数的算术几何平均数

九、教学反思

例2：

例3：

学生板演练习

例1：