1.3 二项式定理（通用）教案及板书设计

编号：选修2-3-007

江门一中2019届2017—2018学年度高二数学导学案

二项式定理

[学习目标]

1.能用计数原理证明二项式定理(难点)．

2.会用二项式定理解决与二项展开式有关的简单问题(重点、难点)．

[知识提炼·梳理] 二项式定理

概念

n1n1nkknn公式(a＋b)n＝C0b＋…＋Ckb＋…＋Cnb(n∈N*)na＋Cnana－－称为二项式定理

k二项式系数

各项的系数Cn(k＝0，1，2，…，n) n1n1nkkn二项展开式

C0b＋…＋Ckb＋…＋Cnna＋Cnananb

－－nkknkk展开式通项

Ckb是展开式中的第k＋1项，可记作Tk＋1＝Ckb

nana－－备注

在二项式定理中，令a＝1，b＝x，则得到公式

22kkn(1＋x)n＝1＋C1nx＋Cnx＋…＋Cnx＋…＋x

[思考尝试·夯基] 1．思考判断(正确的打“√”，错误的打“×”)．

(1)(a＋b)10的展开式中共有10项．(

) nkk(2)Ckb是(a＋b)n展开式的第k项．(

) na－(3)(a＋b)n与(a－b)n的展开式的二项式系数相同．(

) 解析：(1)错，(a＋b)10的展开式中共有11项．

nkk(2)错，Ckb是(a＋b)n展开式的第(k＋1)项．

na－k(3)对，这两个展开式的二项式系数都是Cn.

答案：(1)×

(2)×

(3)√

2．(x＋2)n的展开式共有12项，则n等于(

) A．9

B．10

C．11

D．8 解析：因为(a＋b)n的展开式共有n＋1项，而(x＋2)n的展开式共有12项，所以n＝11.

答案：C 3．化简(x－1)4＋4(x－1)3＋6(x－1)2＋4(x－1)＋1得(

) A．(x－1)4

B．x4

C．(x＋1)4

D．x5

解析：原式＝[(x－1)＋1]4＝x4.

答案：B 4．(1－i)10(i为虚数单位)的二项展开式中第七项为________________．

66解析：由通项公式得T7＝C610·(－i)＝－C10＝－210.

答案：－210

5．(2015·广东卷)在(x－1)4的展开式中，x的系数为________．

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解析：由题可知Tr＋1＝Cr4(x)2开式中x的系数为C24(－1)＝6.

4－r4－r4－r(－1)r＝(－1)rCr＝1，解得r＝2，所以展4x2，令2答案：6

类型1

求二项展开式中的特定项或其系数(自主研析) 2x－展开式中第三项的系数比第二项的系数大162，求：

[典例1]

已知x(1)n的值；

(2)展开式中含x3的项；

(3)求二项展开式的常数项；

(4)求二项式的展开式的所有有理项．

解：(1)因为T3＝C2n(x)n－2nn－6222－＝4Cnx2，

xn－31T2＝Cn(x)n－1－2＝－2C1nx2，

x1依题意得4C2n＋2Cn＝162，

2所以2Cn＋C1n＝81，

所以n2＝81，n＝9.

(2)设第(r＋1)项含x3项，则

Tr＋1＝Cr9(x)9－r9－3rr2rr－＝(－2)C9x2，

x9－3r所以＝3，r＝1，

2所以第二项为含x3的项：

33T2＝－2C19x＝－18x.

(3)因为Tr＋1＝(－2)r·Cr9x9－3r2，若Tr＋1为常数项，则9－3r＝0，所以r＝3，因此常数项为第4项(－2)3C39＝－672.

(4)因为Tr＋1＝(－2)rCr9x9－3r2，

9－3r若Tr＋1为有理项，当且仅当为整数．

2因为0≤r≤9，r∈N，所以r＝1，3，5，7，9，即展开式中的有理项共5项，它们是T2＝－18x3，T4＝－672，T6＝－4 0324 6085123，T8＝－6，T10＝－9. xxx

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归纳升华

1.求二项展开式的特定项的常用方法：

(1)对于常数项，隐含条件是字母的指数为0(即0次项)；

(2)对于有理项，一般是先写出通项公式，其所有的字母的指数恰好都是整数．解这类问题必须合并通项公式中同一字母的指数，根据具体要求，令其属于整数，再根据数的整除性来求解；

(3)对于二项展开式中的整式项，其通项公式中同一字母的指数应是非负整数，求解方式与求有理项一致．

2．正确区分二项式系数与该项的系数．

二项式系数与项的系数是两个不同的概念，前者仅与二项式的指数及项数有关，与二项式无关，后者与二项式、二项式的指数及项数均有关．

[变式训练]

(1)(2016·全国Ⅰ卷)(2x＋x)5的展开式中，x3的系数是________(用数字填写答案)．

x＋a84(2)若3的展开式中x的系数为7，则实数a＝________．

xrr－5－r解析：(1)Tr＋1＝Cr·(x)r＝25rCrx5－，令5－＝3，得r＝4，所以T5＝10x3，5(2x)5·22所以x3的系数为10.

(2)由8－rTr＋1＝Cr8xar44r3＝Cr8a·x8－r.令8－r＝4，

33x13所以r＝3，则x4的系数为C38a＝7.解之得a＝. 21答案：(1)10

(2)

2类型2

二项式定理的正用、逆用

14[典例2]

(1)二项式3x－的展开式为_______．

xn1n1n2nk(2)化简：C0＋C2－…＋(－1)kCk＋…＋(－1)nCnn(x＋1)－Cn(x＋1)n(x＋1)n(x＋1)n. －－－14112041322(1)解析：3x－＝C4(3x)＋C4(3x)－＋C4(3x)－＋C34(3 xxx13141214x)－＋C4－＝81x2－108x＋54－＋2.

xxxx答案：81x2－108x＋54－121＋

xx2－－－n1n12nk(2)解：原式＝C0(－1)＋Cn(x＋1)n2(－1)2＋…＋Ck(－1)kn(x＋1)＋Cn(x＋1)n(x＋1)nnn＋…＋Cnn(－1)＝[(x＋1)＋(－1)]＝x.

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归纳升华

1.展开二项式可以按照二项式定理进行．展开时注意二项式定理的结构特征，准确理解二项式的特点是展开二项式的前提条件．

2．对较复杂的二项式，有时先化简再展开会更简便．

3．对于化简多个式子的和时，可以考虑二项式定理的逆用．对于这类问题的求解，要熟悉公式的特点，项数、各项幂指数的规律以及各项的系数．

[变式训练]

(1)二项式(x＋2y)4的展开式为______________________；

2nn(2)化简：1＋2C1n＋4Cn＋…＋2Cn＝________．

41322233444322解析：(1)(x＋2y)4＝C04x＋C4x(2y)＋C4x(2y)＋C4x(2y)＋C4(2y)＝x＋8xy＋24xy＋32xy3＋16y4.

22nnnn(2)原式＝1＋2C1n＋2Cn＋…＋2Cn＝(1＋2)＝3. 答案：(1)x4＋8x3y＋24x2y2＋32xy3＋16y4

(2)3n

类型3

混淆二项式系数与项的系数致误(误区警示) 1[典例3]

设(x－2)n展开式中，第二项与第四项的系数之比为，则含x2的项是2________．

易错提示：若将“二项展开式中的二项式系数”与“二项展开式中项的系数”混为一谈，则会出现错解．

*防范措施：二项式(a＋bx)n的展开式的二项式系数是Crn(r∈N，r≤n)，它们是一组仅与二项式的幂的指数n有关的(n＋1)个组合数，而与a，b无关，即展开式的第(r＋1)项的二项式系数Crn与第(r＋1)项的系数是不同的概念．明白了这一区别则不会出现错误．

n11n[规范解答]

(x－2)n展开式的第二项与第四项分别为T2＝C1(－2)＝－2Cnxnx－－1n3n3，T4＝C3(－2)3＝－22C3.

nxnx－－－2C11n2依题意得3＝2，即n－3n－4＝0，解得n＝4(舍去n＝－1)．

－22Cn4r设(x－2)4展开式中含x2的项为第(r＋1)项，则Tr＋1＝Cr(－2)r.

nx－由4－r＝2，得r＝2.

222故(x－2)4展开式中含x2的项为T3＝C24x(－2)＝12x. 答案：12x2

12x2＋的展开式中第3项的二项式系数是____________，[类题尝试]

二项式第4项x的系数是________．

－25－r110－3r解：二项式的通项公式为Tr＋1＝Cr(2x)x＝25rCr，故第3项的二项式系数为55x5r23C25＝10，第4项的系数为2C5＝4×10＝40.

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答案：10

40

1．注意区分项的二项式系数与系数的概念．

nkk2．要牢记Ckb是展开式的第(k＋1)项，不要误认为是第k项．

na－3．求解特定项时必须合并通项公式中同一字母的指数，根据具体要求，令其为特定值．

A级

基础巩固

一、选择题

1．化简多项式(2x＋1)5－5(2x＋1)4＋10(2x＋1)3－10(2x＋1)2＋5(2x＋1)－1的结果是(

) A．(2x＋2)5

C．(2x－1)5

B．2x5

D．32x5

解析：原式＝[(2x＋1)－1]5＝(2x)5＝32x5. 答案：D x＋12．在3的展开式中，x的幂指数是整数的项共有(

) xA．3项

C．5项

解析：Tr＋1＝Cr24xB．4项

D．6项

24－rr52·x－＝Cr24·x12－r，则r分别取0，6，12，18，24时，x3624的幂指数为整数，所以x的幂指数有5项是整数项．

答案：C x－13．若3的展开式中第四项为常数项，则n＝(

) 2xA．4

C．6

解析：由二项展开式可得Tr＋1＝Crn(B．5 D．7 x)n－rnn－r－1rrr－rr3＝(－1)2Cnx2·x－3，从而T42x＝T3＋1＝(－1)2答案：B 3－3C3nxn－5n－52，由题意可知＝0，n＝5. 24．在(1－x3)(1＋x)10的展开式中，x5的系数是(

)

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编号：选修2-3-007

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学号：

姓名：

A．－297

C．297

B．－252 D．207 2解析：(1－x3)(1＋x)10＝(1＋x)10－x3(x＋1)10展开式中含x5的项的系数为：C510－C10＝207. 答案：D

12nn5．若Cnx＋C2nx＋…＋Cnx能被7整除，则x，n的值可能为(

) A．x＝5，n＝5

C．x＝4，n＝4

B．x＝5，n＝4 D．x＝4，n＝3 22nnn解析：C1nx＋Cnx＋…＋Cnx＝(1＋x)－1，检验得B正确．

答案：B 二、填空题

6．(2016·北京卷)在(1－2x)6的展开式中，x2的系数为________(用数字作答)．

6rr解析：Tr＋1＝Cr·(－2x)r＝(－2)rCr6·16·x，令r＝2，

－222得T3＝(－2)2C26x＝60x.故x的系数为60.

答案：60

2－17.3的展开式中的第四项是________．

x116033－解析：T4＝C623＝－.

xx160答案：－

x36321n8．如果x＋的展开式中，x2项为第三项，则自然数n＝________．

x3解析：Tr＋1＝Crn(答案：8 三、解答题

19．在2x－的展开式中，求：

x(1)第3项的二项式系数及系数；

(2)含x2的项及项数．

解：(1)第3项的二项式系数为C26＝15，

4－12又T3＝C2(2x)＝24C6x，

6x26x)2n－r2n－5rr1r＝Cnx3，由题意知r＝2时，2n－5r＝2，所以n＝8. x3所以第3项的系数为24C26＝240.

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k1－k6－k3－k－(2)Tk＋1＝Cn(2x)＝(－1)k26kCr，

6xx令3－k＝2，得k＝1.

所以含x2的项为第2项，且T2＝－192x2. 31n的展开式中，前三项系数的绝对值成等差数列．

x－10．在二项式32x(1)求展开式的第四项；

(2)求展开式的常数项．

3解：Tr＋1＝Crn(x)n－r－1r1rr123＝－2Cnx3n－3r.

2x由前三项系数的绝对值成等差数列，

得C0n＋112－1Cn＝2×C，

22n2解得n＝8或n＝1(舍去)．

(1)展开式的第四项为：

23133－C8x3＝－7x2.

T4＝282(2)当－r＝0，即r＝4时，

33135－C4常数项为＝. 828B级

能力提升

23x2－3的展开式中含有非零常数项，则正整数n的最小值为(

) 1．如果xA．3

C．6

nn4B．5 D．10 r222n－rn－rr2n－5r3x2－3展开式的通项表达式为Cr－3＝Cr解析：(3x)·3(－2)x，若Crnnnxx3nr(－2)rx2n－－5r5为非零常数项，必有2n－5r＝0，得n＝r，所以正整数n的最小值为5. 2答案：B 2．设二项式x－的值是________．

a(a＞0)的展开式中，x3的系数为A，常数项为B，若B＝4A，则ax62442244解析：A＝C26(－a)，B＝C6(－a)，由B＝4A知，C6(－a)＝C6(－a)，

解得a＝2(舍去a＝－2)．

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编号：选修2-3-007

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答案：2

3．如果f(x)＝(1＋x)m＋(1＋x)n(m，n∈N*)中，x项的系数为19，求f(x)中x2项系数的最小值．

1解：x项的系数为C1m＋Cn＝19，即m＋n＝19，

当m，n都不为1时，x2项的系数为

2C2m＋Cn＝m（m－1）（19－m）（18－m）＋

22＝m2－19m＋171

1919m－＋171－，

＝24因为m∈N*，所以当m＝9或10时，x2项的系数最小，为81.

当m为1或n为1时，x2项的系数为C218＝153>81，

所以f(x)中x2项系数的最小值为81.

22

8