一 比较法教学实录

普通高中课程标准实验教科书数学 选修 4-5人民教育出版社A版

不等式选讲

第二讲 证明不等式的基本方法

第一课时

《比较法》教学设计

贵州省大方县第三中学 林义雄

深入挖掘数学学科的核心价值，树立以发展学生数学核心素养为导向的教学意识，将数学学科核心素养的培养贯穿于教学活动的全过程——这是我教学设计的根本宗旨.本节课我的教学重点是用比较法证明不等式，设计的一大亮点就是由一个游戏导入展开本节课的全部内容. 一 教学内容解析

比较法在本讲中的位置

比较法作为第二讲证明不等式的基本方法的第一课时，体现出在证明不等式的方法中，比较法是最基本，最重要的方法之一，不容忽视.

比较法在本节知识结构

二 教学目标的设置

首先，基于实数大小的基本事实, 不等式的基本性质寻找证明不等式的方法比较法，认识到比较法是证明不等式的最基本的方法之一，明确比较法分为两

类，在证明过程中进一步熟练其依据与步骤. 其次，本节以比较法作为载体，为渗透类比的思想,转化化归的思想,归纳推理的思想.还有提高数学推理论证能力，深刻理解数学的严谨性. 另外，培养学生探究新方法解决新问题，树立敢于质疑.善于思考严谨求实的科学精神. 系统的去思考比较法证明不等式的重要性,必要性,合理性,优越性.进一步去理解比较法的内涵与外延.同时培养学生的学习习惯,增强同学之间相互交流,取长补短,形成良好的学习氛围，达到学生主动，全面，健康发展. 教学目标

知识与技能：

（1）了解不等式的证明方法之比较法的基本思想；

（2）

会用比较法证明不等式，熟练并灵活地选择作差或作商法证明不等式：

（3）明确用比较法证明不等式的依据，步骤以及“转化”

的数学思想. 过程与方法核心素养及能力要求：

（1）通过讨论寻找到证明不等式的方法及其理论依据; （2）通过证明不等式培养学生的逻辑推理论证能力，数学运算能力; （3）通过证明不等式训练学生的观察, 比较 ,抽象 , 概括的能力（直观想象与数学建模的能力）；

（4）通过证明不等式重点训练学生思维的灵活性. 情感态度与价值观：

（1）通过游戏与讨论来激发学生学习的内在动机；

（2）通过展示自我与独立练习培养学生的良好行为学习习惯. 三 学情分析

本次上课班级为高三（4）班，是一个普通的文科班，学生基础较差，动手与动脑的能力都需要培养.基于前一讲学习了关于实数大小的基本事实，不等式的基本性质，基本不等式，含有绝对值的不等式的性质的基础上级，本讲学习证明不等式的基本方法.学生很容易用作差与作商来证明简单的不等式，于是导出在证明不等式的方法中，比较法是证明不等式的最基本,最重要的方法，它所依据的就是实数大小的基本事实.用这一方法证明不等式，关键要有较强的恒等变换技能.这既是学生的弱点，也是需要突破的重点.把重点放在以简单不等式问题为载体介绍比较法，引导学生理解这些证明的数学思想. 教学的重点与难点

教学的重点：

（1）会用比较法证明不等式；

（2）深刻理解比较法的理论依据及其步骤：

（3）体会恒等变形的重要性. 教学的难点：

（1）会用比较法证明不等式；

（2）理解比较法的理论依据及其步骤：

（3）恒等变形的过程. 四 教学策略分析

本节课采用一个有趣的数学竞赛游戏导入，然后提出质疑.采用问题式驱动式教学，学生讨论交流 ,学生探究 ,学生总结 ,学生讲授 ,学生独立练习与总结相结合.结合多媒体与手机辅助教学，围绕这样的问题链展开.

利用启发诱导教学，引发学生探究性思维活动，使学生在思考，讨论，交流与独立完成练习中经历利用比较法证明不等式的依据与步骤，进一步规范证明解答的过程，提升良好的学习习惯. 五

教学过程设计

活动

设计意图

师生活动

活动一

比比谁最快

判断下列不等式是否成立，成立的在后面的括号内画“√”，不成立的画“×”.

有趣的游戏引入，以激发学生学习数学的兴趣为2021目的.培养其独立(1).

（

）.

思考的能力. 21222(2).若xR,则(x1)(x3)(x1)（）.

(3).若xR,则(2x1)(3x2)(5x9)(x2).

(

)

(4).若xR,则(

)

教师介绍游戏规则由两名同学共同完成，比比谁又快准确率又高.

让他们分别说出自己的判断方法.

对他们的判断方法提出质疑. x23x1.

4

52(5).若xR,则1-xx.4(

) (6).若xR,则x33x.(

) 2

设计意图

师生活动

活动二

小组讨论

畅所欲言

对上述提出的教师提出问题，思考：用什么方法能证明下列不等式，依据是什质疑进行思考. 小组讨论并给出答么？

以小组讨论的案，教师注意引导.

形式展开，利用集32(1).当x1时，x1.

xx体的智慧寻找证32明不等式的基本(2)xx1.方法及其理论依4

11据. 3(3).loglog2.23

以培养学生团

结协作与合作交流的能力. 活动

学习目标的设置；核心素养与能力要求；德

让学生明确通育目标

过本节课的学习我们应该掌握什么？哪些地方应该引起重视.

教师展示学习目标，核心素养与能力要求，德育目标. 让学生齐读一遍. 观看微课视频，回顾与总结

进一步明确在上述讨论中存在的问题.

明确比较法证明不等式的理论依据及其步骤及其关键.

加深对用比较法证明不等式的理解.

为下一步学生独立证明不等式做铺垫.

教师组织观看视频.

以思维导图的形式提出问题.

教师提出问题引导学生独立思考与总结.

教师应该让每一个学生都能够理解用比较法证明不等式的理论依据及其步骤.

活动

活动三

我的世界我做主

设计意图

师生活动

先由学生独立思考.再由学生讲解.

教师引导学生分析用比较法证明不等式的思路，由学生独立分析讲解并写出证明过程，再由教师提出问题，教师认真听讲其不足之处给于补充说明.

在证明过程中要强调推理的严谨性和书写格式的规范性. 在分析证明思路时，主要应当引导学生独立思考如何应用基本事实和基本性质. 有意识培养学生的逻辑推理论证能力，数学运算能力. 有意识训练学生的观察, 比较 ,抽象 , 概括的能力（直观想象与数学建模的能力）.

熟悉比较法证明不等式的应用. 例1.

已知a,b都是正实数，且ab,

能够根据不等式的特征选择作3322差法与作商法. ba.

求证：

在证明的过程

中让学生去寻找

自己的不足.

辨析作差法与

作商法的选择.

加深对用比较

法证明不等式的

理解，掌握证明不

等式的基本方法

之一比较法. 例2.

如果用akg白糖制出bkg糖溶液，

掌握作差法的a理论依据与步骤则糖的质量分数为.若在上述溶液中再加及其关键. bam

掌握作商法的.mkg白糖，此时糖的质量分数增加到bm理论依据与步骤. 将这个事实抽象为数学问题，并给出证明.

挖掘出比较法

证明不等式的内

涵与外延.加深理

解“转化”

的数

学思想.

培养学生的逻

辑推理论证能力，

数学运算能力.

训练学生的

观察, 比较

,抽

象

,

概括的能

力（直观想象与数例3.

已知a,b是正数，

学建模的能力）. abab求证：aabbabb.

a

活动

活动

四

我也能行

课堂练习：

设计意图

达到巩固的目的. 进一步辨析作差法与作商法的选择.

更加加深对用比较法证明不等式的理解，掌握证明不等式的基本方法之一比较法.

熟练掌握作差法的理论依据与步骤及其关键.

熟练掌握作商法的理论依据与步骤.

更进一步挖掘出比较法证明不等式的内涵与外延.加深理解“转化”

的数学思想.

引导学生及时归纳比较法证明不等式的基本思想.让学生学会与别人一起分享自己的体会.

师生活动

由学生独立思考完成，写出证明过程. 教师用手机把学生的完成情况拍照上传. 教师有针对性的进行分析讲解. 进一步归纳作差法与作商法的区别及其应用.

1.已知ab,求证abab(ab).

332.若a,b>0,求证：a2ab2b(ab)ab.

活动五

回顾与总结

通过本节课的学习你收获了什么？

教师引导学生归纳总结，由学生总结把自己学到的分享.

让学生明确自己通过这一节课的学习收获了什么. 课后作业安排

板书设计

课题：比较法

比较法

例1

例2

例3

课堂练习

1 作差法

学生板演

学生板演

学生板演

依据

步骤

2 作商法

依据

步骤

课后作业

六

教学反思

不等式的证明题型多变，方法多样，技巧性强，没有固定的程序和统一的方法.证明不等式的一般方法有作差比较法；作商比较法；综合法；分析法.其它方法有反证法；放缩放；换元法和判别式法.而对这些方法的使用要根据不等式的结构特征，去分析条件与结论之间的内在联系，不断总结规律，选择合理有效的证明方法. 比较法是证明不等式最基本，最重要的方法，它所依据的就是实数大小的基本事实.用这一方法证明不等式，关键要有较强的恒等变换技能.比较法又分为作差比较和作商比较. 作差比较法的基本步骤是：作差→变形→定号→下结论.其中“变形”是关键.通常需要配方，因式分解，通分，分母有理化.将差变形为几个因式的积或配成几个平方和的形式，有些形式也可用判别式法来判别符号. 作商比较法的基本步骤是：作商→变形→判断商与1的大小关系→下结论. a其中作商首先确定a,b的符号.通过比较与1的大小关系来判断a与b的大小b关系.

一般地证明幂指数不等式时通常作商比较法.证明对数不等式时常用作差比较法，当“商”或“差”式中含有参数时，通常都要对参数的取值进行分析.应引起注意的是比较法证明不等式问题经常借助函数的单调性.