2.3.1 圆的标准方程多媒体教案及点评

2.3.1&2.3.2圆的标准方程与一般方程

【知识回顾】

1.两点间距离公式：设P(x1,y1)，Q(x2,y2)则PQ

.

2.圆的一些简单性质

⑴直径所对的圆周角等于

；

⑵圆心和弦中点的连线

弦；

⑶等弧所对的圆周角或圆心角

；

⑷同弧或等弧中弦相等，则弦心距

. 【新课探究】

圆的定义：平面内到一定点的距离等于定长的点的轨迹是圆。定点是

，定长是

.

（一）圆的标准方程：

1.圆心在C(a,b)，半径为R的圆的标准方程是

.

2.几种特殊的圆的方程

思考：将圆的标准方程(xa)2(yb)2r2左边展开得：

.

其中设D2a,E2b,Fabr，得到

.

1.圆的一般方程:

，配方得：

.

22⑴当DE4F0时，表示

；

⑵当DE4F0时，表示

；

⑶当DE4F0时，表示

. 一般方程的特点：⑴

；⑵

；⑶ .

2.求圆的弦长的方法

⑴直接求出直线与圆的交点坐标，再利用

；

⑵不求交点坐标，利用一元二次方程根与系数的关系得出

；

2222222条件

方程形式

圆心在原点

过原点

圆心在x轴上

圆心在y轴上

圆心在x轴上且过原点

圆心在y轴上且过原点

与x轴相切

与y轴相切

与两坐标轴都相切

圆的直径的端点是

(x，y

11)，（x2，y2）

3.点与圆的位置关系

判断点P(x0，y0)与圆C：(xa)2(yb)2r2的位置关系有两种方法

⑴代数法

点P(x0，y0)在圆C上，则

；点P(x0，y0)在圆C内，则

；

点P(x0，y0)在圆C外，则

；

⑵几何法

点P在圆C上，则

；

点P在圆C内，则

；

点P在圆C外，则

；

【自测自评】

1.圆(x－2)2＋(y＋3)2＝16的圆心坐标为

，半径为

.

2.

到原点的距离等于2的动点的轨迹方程为

. 3.已知圆的方程为(x－1)2＋(y＋2)2＝4，则点P(1,2)与圆的位置关系为 .（二）圆的一般方程：

⑶利用圆中半弦，弦心距，半径构成的

. 【自测自评】

1.方程x2＋y2＋4x－2y＋5m＝0表示圆的条件是(

) A.14

B.m>1

C.m<14

D.m<1 2．已知圆x2＋y2－4mx＋4m2－6m－10＝0的半径为4，则实数m的值为(

) A．1

B．2

C．4

D．8 3．如果方程x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0(D2＋E2－4F＞0)所表示的曲线关于直线y＝x对称，那么必有(

A．D＝E

B．D＝F

C．E＝F

D．D＝E＝F

4．圆x2＋y2－2x＋6y＋9＝0关于原点的对称圆方程为(

) A．(x－1)2＋(y＋3)2＝1

B．(x＋1)2＋(y＋3)2＝1 C．(x＋1)2＋(y－3)2＝1

D．(x－1)2＋(y－3)2＝1 题型1:求圆的标准方程

例1.求满足下列条件的圆的方程．

⑴圆心在原点，半径为4； ⑵圆心在(－4,3)，半径为3；

⑶圆心在(1，－2)，且经过点(2，－1)．

变式训练1.求满足下列条件的圆的方程．

⑴圆心在(1，－2)，且经过原点； ⑵圆心在(－2,3)，且与y轴相切．

例2.已知圆经过原点O和点M(－2,4)，且圆心在直线x＋2y＋3＝0上，求该圆的方程．

)

变式训练2.根据下列条件，求圆的方程．

⑴圆心在点C(1,3)，并且与直线3x－4y－6＝0相切；

⑵圆心在点C(2，－1)，且圆截直线y＝x－1所得弦长为22.

题型2.点与圆的位置关系

例3．已知两点P1(4,9)、P2(6,3)，求以P1P2为直径的圆的方程，并判断点M(6,9)、N(3,3)、Q(5,3)与圆的位置关系．

变式训练3

已知点A(1,3)在圆(x－a)2＋(y＋a－2)2＝5内，求实数a的取值范围．

题型1.二元二次方程表示圆的条件

例1.下列方程能否表示圆，若能表示圆，求出圆心和半径．

(1)2x2＋y2－7x＋5＝0；

(2)x2－xy＋y2＋6x＋7y＝0；

(3)x2＋y2＋4x－6y－12＝0；

(4)4x2＋4y2－8x＋4y－15＝0.

变式训练1.方程：x2＋y2＋4mx－2y＋4m2＋5m＝0表示圆，求m的取值范围．

例2.求经过三点A(1，－1)、B(1,4)、C(4，－2)的圆的方程．

变式训练2.已知△ABC的三个顶点分别为A(－1,5)，B(－2，－2)，C(5,5)，求△ABC外接圆的方程．

题型2.圆的对称问题

例3.已知圆C：x2＋y2－x＋2y＝0，直线l：x＋y－1＝0，求圆C关于直线l的对称圆的方程．

变式训练3.已知圆C：x2＋y2－4x＋6y＋m＝0，直线l：x＋my－4m＋5＝0，若圆C关于直线l对称，求圆C的半径．

题型3.动点轨迹问题

例4.已知O为坐标原点，P在圆C：(x－2)2＋y2＝1上运动，求线段OP中点M的轨迹方程．

变式训练4.定长为8的线段AB的两个端点A、B分别在x轴和y轴上滑动，求线段AB的中点M的轨迹方程．