本章小结教学内容

第二讲

空间几何体的表面积与体积

第1课时

一、考纲解读

考点展示

考查频率

考纲要求

高考命题探究

1.了解棱柱、棱锥、棱台的表面1.内容探究：由三积计算公式．

几何体的表面积、★★★★★

2．了解球的表面积计算公式．

视图得直观图或直体积

5年5考

3．了解棱柱、棱锥、棱台的体观图求表面积、体积是高考热点．

积的计算公式．

4．了解球的体积的计算公式．

2．形式探究：高考中本讲内容多以选择题、填空题形式出现. 组合体的“接”

★★★★☆

会处理棱柱与球的“接”

“切”“切”的综合问题

5年4考

综合问题. 二、知识自主梳理

知识点一

几何体的表面积与体积

1．柱、锥、台和球的侧面积和体积

面积

圆柱

S侧＝2πrh 圆锥

S侧＝_____

圆台

S侧＝π(r1＋r2)l 体积

V＝_____＝πr2h

111V＝3Sh＝3πr2h＝3πr2l2－r2

1V＝3(S上＋S下＋S上·S下) 12h＝3π(r21＋r2＋r1r2)h

V＝_____ 1V＝Sh 31V＝3(S上＋S下＋S上·S下)h 4V＝3πR3

直棱柱

S侧＝_____ 1S侧＝ch′

21S侧＝2(c＋c′)h′

S球面＝_____ 正棱锥

正棱台

球

1

2.几何体的表面积

(1)棱柱、棱锥、棱台的表面积就是_____________．

(2)圆柱、圆锥、圆台的侧面展开图分别是_____、_____、_______；它们的表面积等于_______与底面面积之和．

知识点二

几何体的外接球与内切球

1．长方体的外接球：

(1)球心：体对角线的交点；②半径：r＝_______________(a，b，c为长方体的长、宽、高)．

2．正方体的外接球、内切球及与各条棱相切的球：

(1)外接球：球心是正方体中心；半径r＝__________(a为正方体的棱长)；

(2)内切球：球心是正方体中心；半径r＝_____(a为正方体的棱长)；

(3)与各条棱都相切的球：球心是正方体中心；半径r＝__________(a为正方体的棱长)．

3．正四面体的外接球与内切球(正四面体可以看作是正方体的一部分)：

(1)外接球：球心是正四面体的中心；半径r＝__________(a为正四面体的棱长)；

(2)内切球：球心是正四面体的中心；半径r＝__________(a为正四面体的棱长)．

三、双基自测

1．下列结论正确的个数为

(

) (1)多面体的表面积等于各个面的面积之和．

(2)锥体的体积等于底面积与高之积．

(3)球的体积之比等于半径比的平方．

(4)长方体既有外接球又有内切球．

(5)圆柱的一个底面积为S，侧面展开图是一个正方形，那么这个圆柱的侧面积是2πS.

A．0

B．1

C．2

D．3 [解析]

(2)(3)(4)(5)都不正确，(1)正确，故选B．

2．(2016·全国卷Ⅰ，5分)如图，某几何体的三视图是

三个半径相等的圆及每个圆中两条互相垂直的半径，

28π若该几何体的体积是3，则它的表面积是

(

) A．17π

B．18π

C．20π

D．28π

1[解析]

由三视图可得此几何体为一个球切割掉8后剩

74328下的几何体，设球的半径为r，故8×3πr＝3π，所以r＝2，

73表面积S＝8×4πr2＋4πr2＝17π，选A．

2

3．(2016·全国卷Ⅲ，5分)如图，网格纸上小正

方形的边长为1，粗实线画出的是某多面体的

三视图，则该多面体的表面积为

(

) A．18＋365

B．54＋185

C．90

D．81 [解析]

由三视图可得该几何体是平行六面体，上

下底面是边长为3的正方形，故面积都是9，前后

两个侧面是平行四边形，一边长为3、该边上的高

为6，故面积都为18，左右两个侧面是矩形，边长为35和3，故面积都为95，则该几何体的表面积为2(9＋18＋95)＝54＋185. 4．(2016·全国卷Ⅱ，5分)体积为8的正方体的顶点都在同一球面上，则该球的表面积为

(

) 32A．12π

B．3π

C．8π

D．4π

[解析]

由正方体的体积为8可知，正方体的棱长a＝2.又正方体的体对角线是其外接球的一条直径，即2R＝3a(R为正方体外接球的半径)，所以R＝3，故所求球的表面积S＝4πR2＝12π.

5．(2016·浙江，6分)某几何体的三视图

如图所示(单位：cm)，则该几何体的表

面积是_______cm2，体积是_______cm3. [解析]

由三视图可得该几何体是由一个

长、宽、高分别为4、4、2的长方体和一

个棱长为2的正方体组合而成的，故表面

积为S＝4×4×2＋4×2×4＋2×2×4＝80(cm2)，

体积为V＝4×4×2＋2×2×2＝40(cm3)．

高考预测

(2016·浙江嘉兴模拟)某几何体的三视图

如图(2)所示，则该几何体的体积是

(

) 4π5πA．

B．

332π2π

C．2＋3

D．4＋3

[解析]

由题中三视图可知，该几何体是半

球与半圆柱的组合体，半球的半径为1，

半圆柱的底面半径为1，高为2，

1415π32∴原几何体的体积V＝2×π×1＋×π×1×2＝323.故选B．

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