1.3 二项式定理（通用）教学目标

《二项式定理（一）》教案

教材：人教A版选修2-3第一章第三节

一、教学目标

1.

知识与技能：

（1）理解二项式定理是代数乘法公式的推广．

（2）理解并掌握二项式定理，能利用计数原理证明二项式定理．

2.

数学思考：

通过学生参与和探究二项式定理的形成过程，培养学生观察、分析、概括的能力，以及化归的意识与方法迁移的能力，体会从特殊到一般的思维方式．

3.

解决问题：

引导学生用计数原理进行再思考，分析各项以及项的个数，这也为推导(ab)的展开式提供了一种方法，使学生在后续的学习过程中有“法”可依．

n4.

情感、态度与价值观：

培养学生的自主探究意识，合作精神，体验二项式定理的发现和创造历程，体会数学语言的简洁和严谨．

二、教学重点、难点

重点：用计数原理分析(ab)的展开式，得到二项式定理．

难点：用计数原理分析二项式的展开过程，发现二项式展开成单项式之和时各项系数的规律．

3三、教学过程

（一）创设情景，提出问题

引入：上课，同学们好，请坐下。老师这里带来几个问题，期待同学们用前面所学的计数原理知识来解决．

问题1：

一个箱子装着标有a,b字母的两个大小，形状一样的球，从中摸出一个球，有哪些可能出现的结果？每一种结果有多少种情况？

（可能出现的结果是1个a球，1个b球，出现a球的结果有1种情况，出现b球的结果有1种情况）

问题2：两个箱子均装着标有a,b字母的两个大小，形状一样的球，从每个箱子中摸出一个球，共摸出两个球，有哪些可能的结果？每一种结果有多少种情况？

（可能出现的结果是2个a球，1个a球1个b球，2个b球,出现2个a球的结果有1种情况，出现1个a球1个b球的结果有2种，出现2个b球的结果有1种情况）

问题3：三个箱子均装着标有a,b字母的两个大小，形状一样的球，从每个箱子个摸出一个球，共摸出3个球，有哪些可能结果？每一种结果有多少种情况？

（可能出现的结果是3个a球，2个a球1个b球，1个a球2个b球, 3个b0球，那么出现3个a球的结果有1种情况，这个1表示没摸出b球的情况有C3种，

1出现2个a球1个b球的结果有C3种，出现1个a球2个b球的结果有C32种，3出现3个b球的结果有C32种，bbb表示摸出3个b球的情况有C3种.）

过渡句：

请同学们认真观察每个问题的结果及其结果的种数，是否联想到我们非常熟悉的代数运算公式呢？对，多项式相乘. 下面和老师一起来呈现. (ab)1ab,(ab)2a22abb2，(ab)3a33a2b3ab2b3

我们知道，对于多项式相乘，就是每个括号内任取一个字母相乘构成了展开式中的每一项. 同学们请看，展开式后的每一项对应的是问题中出现的每一种结果，项前面的系数对应的是结果的每一项出现的种数，这时我们看到项与系数完美的吻合。

那么，大家是否迅速地写出(ab)4的展开式呢，很好，写得很对，这时同学们大胆的猜想(ab)n的展开式是什么呢？（请一位同学上台板书猜想）

【设计意图】把数学实验作为教学的出发点，直接引出课题．激发学生的求知欲，明确本课要解决的问题. (二) 归纳类比，提出猜想

0n1n1knkknn猜想：(ab)nCnaCnabCnabCnb(nN*) (三) 说理证明，提炼定理

说理证明：(ab)n是n个(ab)相乘，相当于有n个箱子，从每个箱子摸一个球，共摸出n个球，an是没摸b的情况，an1b是摸出1个b的情况，同学们看这个式子ankbk，这时摸出k个b的情况，一直摸出n个b的情况bn，而每一项对应的系数就是每一种情况对应的种数。从而就出现我们今天所要学习的非常有用的定理-----二项式定理．

0n1n1knkknnCnaCnabCnabCnb这个就是二项式定理的展开式．

【设计意图】通过仿照(ab)3、(ab)4展开式的探究方法，由学生类比得出(ab)n的展开式．二项式定理的证明采用“说理”的方法，从计数原理的角度对展开过程进行分析，概括出项的形式，用组合知识分析展开式中具有同一形式的项的个数，从而得出用组合数表示的展开式．

(四) 熟悉定理，发现特征

通过定理的形式，我们可以直观的看出二项式定理的特征：

1. 项数：共有n1项.

2. 次数：各项的指数和都等于n．

字母a按降幂排列，次数由n递减到0；字母b按升幂排列，次数由0递增到n．

knkk3. 二项展开式的通项: 式中的Cnab叫做二项展开式的通项. 用Tk1表示. knkk即通项为展开式的第k1项: Tk1Cnab

012knk4. 二项式系数: 依次为Cn，这里Cn,Cn,Cn,,Cn,,Cn(k0,1,,n)称为二项式系数.

(五)巩固定理，变式练习

0n1n1knknaCna(b)Cna(b)kCn(b)n(ab)n? Cn01kknnCnxCnxCnx

(1x)n? Cn

例1.

展开(x2). 141(x2)5C50x520C5x2C52x322C53x223C54x124C55x0255解： x10x40x80x80x3245432

1练习1：展开1. x解法一：

10411312213114011C1C1C1C1C444441xxxxxx4641 1234xxxx解法二：

40123411x1414x1xxx10413223140 4C4xC4xC4xC4xC4xx4641 1234xxxx

44

1x的展开式. 练习2：求x解法一：直接展开

654311211013xC6xC6xC6xC6xxxxx66462311156 CxC6xC6xxx1561 x36x215x2023xxx2456解法一：先化简再展开

1x116xx13xxx1060151242

3[C6x(1)C6x(1)C6x(1)x C63x3(1)3C64x2(1)4C652x(1)5C66(1)]1561 x6x15x2023xxx3266

例2.

求(x2y)展开式中的第四项，并指出该项的系数. knkk363解：根据二项式通项Tk1Cnab，得T31C6x2y160x3y3，所以该63项系数为-160 3思考：展开式的第4项的二项式系数是多少？（该项的二项式系数为C620）

练习3：（1）(x1)的展开式的第6项系数是（

D

）

（2）(x1)的展开式的第6项的二项式系数是（

C

）

A.C10

B.C10

C.C10

D.C10

练习4：（1）【2017课标1，理6】(1A．15

B．20

162)(1x)x展开式中的系数为

C

x2

C．30

D．35 66551010

（2）【2017山东，理11】已知(13x)n的展开式中含有x2项的系数是54，

则n 4 .

(六)追溯历史，激发兴趣

这个定理最先有牛顿在1664-1665年间提出，到1811年，高斯对此进行了严格的证明，其实这些二项式系数最早是由我国南宋时期杰出的数学家和教育家杨辉所提出的.系数的发现，在中国比在欧洲要早500年左右，其实中国古代数学史有自己的光辉灿烂的篇章，作为现代的我们需要更好的学习数学，应用数学，大胆地猜想，牛顿说过没有大胆的猜想，就不能有伟大的发现和发明。

(七)作业布置

1、巩固型作业：

课本37页

习题1.3A组 2、3 2、思维拓展型作业：

012kn探究二项式系数Cn有何性质. ,Cn,Cn,,Cn,,Cn