3.三个正数的算术-几何平均不等式优质课教案设计

1.1.3 三个正数的算术-几何平均值不等式

【学习目标】

1. 掌握三个正数的算术-几何平均值不等式；

2. 会用三个正数的算术-几何平均值不等式证明不等式、求最值. 【自主学习】

1. 教材是如何引导提出三个正数的算术-几何平均值不等式的？

2. 请你分别用文字语言和数学符号语言叙述三个正数的算术-几何平均值不等式内容. 3. 三个正数的算术-几何平均值不等式的具体证明过程是什么？

4. 对照使用二个正数的算术-几何平均值不等式求最值的基本要求体会使用三

个正数的算术-几何平均值不等式求最值的注意事项？

【自主检测】

1. 已知a,b,cR, 求证：a3b3c3______.当且仅当_____________时, 等号成立. 如果a,b,cR, 那么abc________, 当且仅当____________时, 等号成3立. 2.已知a,b,c0

，且abc1，则abc的最小值为_______________. 3. 已知x0，则xxx27与4的大小关系为_______________. 3333x【典型例题】

例1.已知a,b,c0，求证：

1. bca11132. abca2b2c29abc 3. 333abc23

abcabc

例2 用一块边长为a的正方形白铁皮，在它的四个角各剪去一个小正方形，制成一个无盖的盒子．要使制成的盒子的容积最大，应当剪去多大的小正方形？

3例3 求函数y2x2,(x0)的最大值，指出下列解法的错误,并给出正确解x法. 解一:y2x232x211332x212334. ∴ymin334．

xxxxx333312232解二:y2x22x26x当2x即x时, ymin26122331226324．

xxx222正解:

【课堂检测】

1.设a,b,cR，且a,b,c不全相等，则不等式a3b3c33abc成立的一个充要条件是 ( ) A. a,b,cR B. a+b+c0 C. a+b+c0 D. a,b,c0

2. 函数fxx1x2x0,1的最大值是______________. 3.已知圆柱的轴截面周长为6，体积为V，则V的最大值为 . 4.制造容积为立方米的无盖圆柱形桶，用来做底面的金属板的价格为每平米230元，做侧面的金属板的价格为每平米20元，要使用料成本最低，求此圆柱形桶的底面半径和高为多少？

【总结提升】

1.n个正数a1,a2,,an，则a1a2a1a2nanna1a2an等号成立当且仅当an，这是算术平均数≥几何平均数不等式的一般情形.目前只要求掌握n=2和n=3的情形 . 2. 算数-几何平均数不等式是针对n个正数而言的，否则不一定成立. 3.利用算数-几何平均数不等式求最值依然遵循“一正二定三相等原则”，这三条只要一条不满足都不行. 4．利用算数-几何平均数不等式求和的最小值，关心积是否为定值；求积的最大值，关心和是否为定值.这是进行数学变形必须要把握的原则.