一 数学归纳法精品学案

数学归纳法

教学目标

1.

数学归纳法的定义以及步骤。

2.

利用数学归纳法证明等式。

教学重点

1.数学归纳法的定义以及步骤。

2.理解证明等式时，从k到k1,左边增加了哪些项？增加了多少项？

教学难点

利用数学归纳法证明等式。

教学过程

一．引入新课

an,已知a11,an1提出问题：对于数列an,n1,2,3,求an的通项公式。1an（利用上节课的一个题目，激发学生兴趣）

a11

1a221a331ann（学生利用上节课学习的知识回答，教师指出这是上节课学的归纳推理，结果不一定准确，从而引出本节课的内容——数学归纳法）

思考 有若干辆自行车摆放，要让所有的自行车倒下，需要什么条

件？

⑴

第一辆自行车倒下；

⑵

任意相邻的两辆自行车，前一辆倒下一定导致后一辆倒下。

两个条件的作用：

条件⑴：奠基；条件⑵：递推关系

（从生活中学生比较熟悉的例子出发，更加贴近生活，激发学生学习兴趣，并由这个例子得到数学归纳法的定义）

二．新课讲解

数学归纳法的定义：

一般地，证明一个与正整数n有关的命题，可以按如下步骤进行：

(1)证明当n取第一个值n（0n0N)时命题成立。

（2）假设当nk(kn0,kN)时命题成立，

证明当nk1时命题也成立。只要完成这个步骤，就可以断定命题对从n0开始的所有正整数n都成立

这种方法我们称它为数学归纳法。

（教师指出n0不一定为1）

an,已知a11,an1对于数列猜想：an1nan,n1,2,3,求an的通项公式。1an1（2）假设当nk（kN）时，猜想成立，则ak，k（1）当n1时，猜想成立。1ak1k那么当nk1时,ak11ak11k1k即nk1时，假设成立。1因此，数列的通项公式是ann

（利用数学归纳法证明本节课刚开始时的问题，一方面向学习解释数学归纳法的步骤，加深学生记忆，另一方面让学生慢慢理解数学归纳法的用法，同时强调证明从k到k1时，一定要用到nk时的假设。）

三．例题解析

n(n1)(2n1）例1：证明：123n（nN)62222（1）当n1时，左边1右边，等式成立。（2）假设当nk（kN）时，等式成立，则122232k2k(k1)(2k1)6

思考:从k到k1，等式左边增加了哪些项？右边应该是什么形式？k(k1)(2k1)那么123k(k1)(k1)26k(k1)(2k1)6(k1)2(k1)(2k27k6)66(k1)(k2)(2k3)(k1)[(k1)1][2(k1)1]，66即当nk1时，等式成立。22222因此，等式对于nN都成立。

变式训练1：用数学归纳法证明：135（2n3)(2n1)(2n3)5312n22n1(n2,nN)(1)当n2时，左边1315，右边8-415左边,等式成立。(2)假设当nk(k2,kN)时，等式成立。即135（2k3)(2k1)(2k3)5312k22k1当nk1时，左边135（2k1)(2k1)(2k1)(2k3)5312k2-2k1(2k1)(2k1)2k22k12(k1)22(k1)1即当nk1时，等式成立因此，等式对于n2,nN都成立。

（一讲一练，加深学生记忆）

四，课堂练习

1.在用数学归纳法证明12(2n1)(n1)(2n1)时，在验证n1成立时，左边所得的代数式为CA.1B.12C.123D.123442nn练习2：在用数学归纳法证明等式：123n2(nN),2当nk1时，左边应该在nk的基础上加（D）A.k21B.(k1)2(k1)4(k1)2C.2D.(k21)(k22)(k1)2

五．课堂小结

(1)用数学归纳法证明需要两个步骤，两个步骤缺一不可。

(2)第二步是难点与关键，在证明nk1时，一定要充分利用nk时的归纳假设。