1.1 回归分析的基本思想及其初步应用优秀教学设计

线性回归方程

学习目标：

1.理解两个变量的相关关系的概念. 2.会作散点图，并利用散点图判断两个变量之间是否具有线性相关关系.3.会求线性回归方程．

知识点一

变量间的相关关系

1．变量之间常见的关系

函数关系

相关关系

变量之间的关系可以用函数表示

变量之间有一定的联系，但不能完全用函数表示

2.相关关系与函数关系的区别与联系

类别

区别

①函数关系中两个变量间是一种确定性关系；②函数是一函数关系

种因果关系，有这样的因，必有这样的果．例如，圆的半径由1增大为2，其面积必然由π增大到4π

①相关关系是一种非确定性关系．例如，吸烟与患肺癌之间的关系，两者之间虽然没有相关关系

确定的函数关系，但吸烟多的①在一定的条件下可以相互转化，对于具有线性相关关系的两个变量来说，当求得其线性回归方程后，可以用一种确定性的关系对这两个变量间的取值进行评估；②相关关系在现实生活中大量存在，从某种意义上讲，函数关系是一种联系

而相关关系人患肺癌的风险会大幅增加，理想的关系模型，两者之间即是一种非确定性的关系；②相关关系不一定是因果关系，也可能是伴随关系

是一种更为一般的情况

知识点二

求线性回归方程

1．回归直线

如果散点图中点的分布从整体上看大致在一条直线附近，就称这两个变量之间具有线性相关关系，这条直线叫做回归直线．

2．线性回归方程与最小二乘法

^^^我们用yi－yi来刻画实际观察值yi(i＝1,2，…，n)与yi的偏离程度，yi－yi越小，偏离越小，^直线就越贴近已知点．我们希望yi－yi的n个差构成的总的差量越小越好，这才说明所找的

^直线是最贴近已知点的．由于把yi－yi这个差量作和会使差量中的正负值相互抵消，因此我们用这些差量的平方和作为总差量，回归直线就是所有直线中Q取最小值的那一条．因为平方又叫二乘方，所以这种使“差量平方和最小”的方法叫做最小二乘法．

用最小二乘法求线性回归方程中的a，b

^这样，线性回归方程的斜率为b，截距为a，即线性回归方程为y＝bx＋a. 例1

5名学生的数学和物理成绩(单位：分)如下：

学生

成绩

数学成绩

物理成绩

判断它们是否具有线性相关关系．

解

以x轴表示数学成绩，y轴表示物理成绩，得相应的散点图如图所示．

A

80

70

B

75

66

C

70

68

D

65

64

E 60 62

由散点图可知，各点分布在一条直线附近，故两者之间具有线性相关关系．

反思与感悟

1.判断两个变量x和y间是否具有线性相关关系，常用的简便方法就是绘制散点图，如果图上发现点的分布从整体上看大致在一条直线附近，那么这两个变量就是线性相关的，注意不要受个别点的位置的影响．

2．画散点图时应注意合理选择单位长度，避免图形过大或偏小，或者是点的坐标在坐标系中画不准，使图形失真，导致得出错误结论．

训练1

某公司利润y(单位：千万元)与销售总额x(单位：千万元)之间有如表对应数据：

x y (1)画出散点图；

(2)判断y与x是否具有线性相关关系．

解

(1)散点图如下：

10

1

15

1.3

17

1.8

20

2

25

2.6

28

2.7

32 3.3

(2)由图知，所有数据点接近直线排列，因此，认为y与x有线性相关关系．

例2

某种产品的广告费支出x(单位：百万元)与销售额y(单位：百万元)之间有如下对应数据：

x y (1)画出散点图；

(2)求线性回归方程．

解

(1)散点图如图所示．

2

30

4

40

5

60

6

50

8 70

(2)列出下表，并用科学计算器进行有关计算. i xi

yi

xiyi

x2i

1

2

30

60

4

x＝5，y2

4

40

160

16

3

5

60

300

25

4

6

50

300

36

5 8 70 560 64

52＝50，xi＝145，xiyi＝1380 i＝1i＝15i＝1xiyi－5x

yx2i－5x525于是可得，b＝i＝11380－5×5×50＝＝6.5，

145－5×52a＝y－bx＝50－6.5×5＝17.5. ^于是所求的线性回归方程是y＝6.5x＋17.5. 反思与感悟

1.求线性回归方程的步骤

(1)列表xi，yi，xiyi. (2)计算x，y，i＝1nx2i，ny2i，xiyi. ni＝1i＝1(3)代入公式计算b，a的值．

^(4)写出线性回归方程y＝a＋bx. 跟踪训练2

如图是我国2008年至2014年生活垃圾无害化处理量(单位：亿吨)的折线图：

注：年份代码分别对应年份2008～2014 (1)由折线图看出，可用线性回归模型拟合y与t的关系，请用相关系数加以说明；

(2)建立y关于t的回归方程(系数精确到0.01)，预测2016年我国生活垃圾无害化处理量．

7i17i1附注：参考数据：∑yi＝9.32，∑tiyi＝40.17，

＝＝2∑（y－y）＝0.55，7≈2.646. i＝n－－7－i1参考公式：相关系数r＝i1∑（ti－t）∑（yi－y）2＝＝i1n－－i＝1n∑（ti－t）（yi－y）－2n－^^^，回归方程y＝a＋bt中斜率和截距的最∑（t－t）（yi－y）－－^i＝1i^^小二乘估计公式分别为：b＝，a＝y－bt. －n2∑（ti－t）＝i1解

(1)由折线图中数据和附注中参考数据得

－7i1－－t＝4，∑

(ti－t)＝28，＝7－2i1－2∑（y－y）＝0.55，

i＝77－2.89∑

(t－t)(y－y)＝∑ty－t∑y＝40.17－4×9.32＝2.89，r≈≈0.99. iiiiii＝1i＝1i＝10.55×2×2.646因为y与t的相关系数近似为0.99，说明y与t的线性相关程度相当高，从而可以用线性回归模型拟合y与t的关系．

7－－－7∑（t－t）（yi－y）2.89－－9.32^i＝1i^^(2)由y＝≈1.331及(1)得b＝＝≈0.103.a＝y－bt≈1.331－－77282∑（ti－t）＝i10.103×4≈0.92. ^所以y关于t的回归方程为y＝0.92＋0.10t. ^将2016年对应的t＝9代入回归方程得y＝0.92＋0.10×9＝1.82.

所以预测2016年我国生活垃圾无害化处理量将约为1.82亿吨．