2.基本不等式ppt专用说课稿内容

第一讲

不等式和绝对值不等式

2

基本不等式

[学习目标] 1.理解并掌握定理1、定理2，会用两个定理解决函数的最值或值域问题. 2.能运用平均值不等式(两个正数的)解决某些实际问题. [知识链接] a＋b1.利用基本不等式2≥ab，求最值的条件是什么？

提示

“一正、二定、三相等”，即：(1)各项或各因式为正；(2)和或积为定值；(3)各项或各因式能取得相等的值. 2.如何证明下列不等式？

(1)a2＋b2≥2ab(a，b∈R)；

a＋b(2)2≥ab(a＞0，b＞0). 提示

(1)∵a2＋b2－2ab＝(a－b)2≥0，∴a2＋b2≥2ab. (2)∵a＋ba＋b－2ab（a－b）2a＋b－ab＝＝≥0(a＞0，b＞0)，∴≥ab. 2222[预习导引] 1.定理1(重要不等式) 如果a，b∈R，那么a2＋b2≥2ab，当且仅当a＝b时，等号成立. 2.定理2(基本不等式) a＋b如果a，b是正数，那么2≥ab，当且仅当a＝b时，等号成立. a＋b我们常把2叫做正数a，b的算术平均，把ab叫做正数a，b的几何平均，所以基本不等式又可叙述为：两个正数的算术平均不小于(即大于或等于)它们的几何平均. 3.关于用不等式求函数最大值、最小值

(1)若x＞0，y＞0，且xy＝p(定值)，则当x＝y时，x＋y有最小值2p. s2(2)若x＞0，y＞0，且x＋y＝s(定值)，则当x＝y时，xy有最大值4.

教学过程设计

要点一

利用基本不等式证明不等式

例1

设a，b，c∈R＋，求证：a2＋b2＋b2＋c2＋c2＋a2≥2(a＋b＋c). 证明

∵a2＋b2≥2ab，

∴2(a2＋b2)≥(a＋b)2. 22又a，b，c∈R＋，∴a2＋b2≥2|a＋b|＝2(a＋b). 22同理：b2＋c2≥2(b＋c)，c2＋a2≥2(a＋c).三式相加，得a2＋b2＋b2＋c2＋c2＋a2≥2(a＋b＋c). 当且仅当a＝b＝c时取等号. 规律方法

用基本不等式证明不等式时，应首先依据不等式两边式子的结构特点进行恒等变形，使之具备基本不等式的结构和条件，然后合理地选择基本不等式或其变形进行证明. a＋bb＋cc＋a跟踪演练1

若a、b、c是不全相等的正数，求证：lg2＋lg2＋lg2＞lg a＋lg b＋lg c. 证明

∵a＞0，b＞0，c＞0，

a＋bb＋cc＋a∴2≥ab＞0，2≥bc＞0，2≥ac＞0. 且上述三个不等式中等号不能同时成立. a＋bb＋cc＋a∴2·2·2＞abc. a＋bb＋cc＋alg2＋lg2＋lg2＞lg a＋lg b＋lg c. 要点二

利用基本不等式求函数最值

51例2

已知x＜4，求函数y＝4x－2＋的最大值. 4x－55解

∵x＜4，∴5－4x＞0. ∴y＝4x－2＋1

4x－5

1＝－5－4x＋5－4x＋3≤－2＋3＝1. 当且仅当5－4x＝1，

5－4x即x＝1时上式等号成立. ∴当x＝1时，y的最大值为1. 规律方法

在应用基本不等式求最值时，分以下三步进行：

(1)首先看式子能否出现和(或积)的定值，若不具备，需对式子变形，凑出需要的定值；

(2)其次，看所用的两项是否同正，若不满足，通过分类解决，同负时，可提取(－1)变为同正；

(3)利用已知条件对取等号的情况进行验证.若满足，则可取最值，若不满足，则可通过函数的单调性或导数解决. 12跟踪演练2

(1)若x>0，求f(x)＝x＋3x的最小值；

12(2)若x<0，求f(x)＝x＋3x的最大值. 解

(1)x＞0，由基本不等式，

12得f(x)＝x＋3x≥212当且仅当3x＝x，

即x＝2时，f(x)取最小值12. (2)∵x＜0，∴－x＞0，

1212则f(x)＝x＋3x＝－－x－3x

12＝－－x＋（－3x）≤－2即x＝－2时，f(x)取最大值－12. 要点三

基本不等式的实际应用

例3

某国际化妆品生产企业为了占有更多的市场份额，拟在2015年某运动会期间进行一系列促销活动，经过市场调查和测算，化妆品的年销量x(万件)与年促销费t(万元)之间满足3－x与t＋1成反比例的关系，如果不搞促销活动，化妆1212－x·（－3x）＝－12，当且仅当＝－3x，

－x123x＝236＝12. x·

品的年销量只能是1万件，已知2015年生产化妆品的设备折旧、维修等固定费用为3万元，每生产1万件化妆品需要投入32万元的生产费用，若将每件化妆品的售价定为其生产成本的150%与平均每件促销费的一半之和，则当年生产的化妆品正好能销完. (1)将2015年的利润y(万元)表示为促销费t(万元)的函数；

(2)该企业2015年的促销费投入多少万元时，企业的年利润最大？

解

(1)由题意可设3－x＝将t＝0，x＝1代入，

得k＝2.∴x＝3－2. t＋1k(k≠0)，

t＋1当年生产x万件时，∵年生产成本＝年生产费用＋固定费用，

23－∴年生产成本为32x＋3＝32＋3.当销售x(万件)时，年销售收入为t＋121150%323－t＋1＋3＋2t. 由题意，生产x万件化妆品正好销完，由年利润＝年销售收入－年生产成本－促－t2＋98t＋35销费，得年利润y＝(t≥0). 2（t＋1）－t2＋98t＋35t＋132≤50－2(2)y＝＝50－2＋t＋12（t＋1）t＋132当且仅当2＝，

t＋1即t＝7时，等号成立，ymax＝42，

∴当促销费定在7万元时，年利润最大. 规律方法

解答不等式的实际应用问题，一般可分为如下四步：

(1)阅读理解材料：应用题所用语言多为“文字语言、符号语言、图形语言”并用，而且多数应用题篇幅较长.阅读理解材料要达到的目的是将实际问题抽象成数学模型.这就要求解题者领悟问题的实际背景，确定问题中量与量之间的关系，初步形成借用数学模型解决问题的思路，明确解题方向. (2)建立数学模型：根据(1)中的分析，把实际问题用“符号语言”“图形语言”抽象成数学模型，并且建立所得数学模型和已知数学模型的对应关系，以便确立t＋132

2×t＋1＝50－216＝42，

下一步的方向. (3)讨论不等关系：根据题目要求和(2)中建立起来的数学模型，讨论与结论有关的不等关系，得出有关理论参数的值. (4)作出问题结论：根据(3)中得到的理论参数的值，结合题目要求得出问题的结论. 跟踪演练3

如图，将一矩形花坛ABCD扩建成一个更大的矩形花坛AMPN，要求点B在AM上，点D在AN上，且对角线MN过点C，已知AB＝3 m，AD＝2 m. (1)要使矩形AMPN的面积大于32 m2，则AN的长应在什么范围内？

(2)当AN的长度是多少时，矩形AMPN的面积最小？并求最小面积；

(3)若AN的长度不小于6 m，则当AN的长度是多少时，矩形AMPN的面积最小？并求出最小面积. 解

(1)设AN＝x m(x＞2)，则ND＝(x－2)m. x－2NDANx3x∵＝AM，∴3＝AM，∴AM＝，

x－23x∴·x＞32，∴3x2－32x＋64＞0，

x－28∴(3x－8)(x－8)＞0，∴2＜x＜3或x＞8. 8∴AN的长的范围为2，3∪(8，＋∞). 23x23（x－2）＋12（x－2）＋12(2)由(1)知，S矩形AMPN＝＝

x－2x－2＝3(x－2)＋12＋12≥236＋12＝24. x－2当且仅当x＝4时取等号.∴当AN的长度为4 m时，矩形AMPN的面积最小，矩形AMPN的最小面积为24 m2. (3)由(2)得，S矩形AMPN＝3(x－2)＋12则S矩形AMPN＝3t＋t＋12(t≥4). 12设f(t)＝3t＋t＋12(t≥4)，

12＋12(x≥6)，令x－2＝t(t≥4)，

x－2

12则f′(t)＝3－t2，当t≥4时，f′(t)＞0，

∴函数f(t)在[4，＋∞)上单调递增，

∴f(t)min＝f(4)＝27，此时x＝6. ∴若AN的长度不小于6 m，则当AN的长度是6 m时，矩形AMPN的面积最小，最小面积为27 m2.

1.由基本不等式变形得到的常见的结论

22a＋b2a＋b≤(1)ab≤2；

2a＋b(2)ab≤2≤a2＋b22(a，b∈R＋)；

ba(3)a＋b≥2(a，b同号)；

11(4)(a＋b)a＋b≥4(a，b∈R＋)；

(5)a2＋b2＋c2≥ab＋bc＋ca. 2.利用基本不等式求最值，关键是对式子恰当的变形，合理构造“和式”与“积式”的互化，必要时可多次应用基本不等式.注意一定要求出使“＝”成立的自变量的值，这也是进一步检验是否存在最值的重要依据.