一 数学归纳法教案2

数学归纳法

甘肃省永靖中学

张旭东

学习目标

1.了解数学归纳法的基本原理. 2.了解数学归纳法的应用范围. 3.会用数学归纳法证明一些简单问题．

知识点

数学归纳法

在学校，我们经常会看到这样的一种现象：排成一排的自行车，如果一个同学将第一辆自行车不小心弄倒了，那么整排自行车就会倒下．

思考1

试想要使整排自行车倒下，需要具备哪几个条件？

答案

①第一辆自行车倒下；②任意相邻的两辆自行车，前一辆倒下一定导致后一辆倒下．

思考2

由这种思想方法所得的数学方法叫数学归纳法，那么，数学归纳法适用于解决哪类问题？

答案

适合解决一些与正整数n有关的问题．

梳理

数学归纳法的概念及步骤

(1)数学归纳法的定义

一般地，当要证明一个命题对于不小于某正整数n0的所有正整数n都成立时，可以用以下两个步骤：

①证明当n＝n0时命题成立；

②假设当n＝k(k∈N＋，且k≥n0)时命题成立，证明n＝k＋1时命题也成立．

在完成了这两个步骤后，就可以断定命题对于不小于n0的所有正整数都成立．这种证明方法称为数学归纳法．

(2)数学归纳法适用范围

数学归纳法的适用范围仅限于与正整数有关的数学命题的证明．

(3)数学归纳法的基本过程

类型一

用数学归纳法证明等式

1111n＋1例1

证明：当n≥2，n∈N＋时，(1－)(1－)(1－)…·(1－2)＝. 4916n2n证明

(1)当n＝2时，

2＋1313左边＝1－＝，右边＝＝. 442×24∴当n＝2时，等式成立．

(2)假设当n＝k(k≥2，k∈N＋)时等式成立，即

1111k＋1(1－)(1－)(1－)…(1－2)＝. 4916k2k1111当n＝k＋1时，(1－)(1－)…(1－2)[1－] 49kk＋12＝＝k＋1k＋1kk＋2k＋21[1－·

2]＝2＝2k2kk＋12k＋1k＋1k＋1＋1. 2k＋1∴当n＝k＋1时，等式也成立．

由(1)(2)知，对任意n≥2，n∈N＋等式成立．

反思与感悟

利用数学归纳法证明代数恒等式时要注意两点：一是要准确表述n＝n0时命题的形式，二是要准确把握由n＝k到n＝k＋1时，命题结构的变化特点．并且一定要记住：在证明n＝k＋1成立时，必须使用归纳假设．

1跟踪训练1

用数学归纳法证明1＋22＋32＋…＋n2＝n(n＋1)(2n＋1)．

61×2×3证明

(1)当n＝1时，左边＝12＝1，右边＝＝1，等式成立．

6(2)假设当n＝k(k≥1，k∈N＋)时，等式成立，

kk＋12k＋1即12＋22＋32＋…＋k2＝. 6当n＝k＋1时，12＋22＋32＋…＋k2＋(k＋1)2

＝kk＋12k＋1＋(k＋1)2

6kk＋12k＋1＋6k＋12＝

6k＋12k2＋7k＋6＝

6＝k＋1[k＋1＋1][2k＋1＋1]. 6所以当n＝k＋1时等式也成立．

由(1)(2)可知，等式对任何n∈N＋都成立．

类型二

证明与整除有关的问题

例2

求证：x2n－y2n(n∈N＋)能被x＋y整除．

证明

(1)当n＝1时，x2－y2＝(x＋y)(x－y)能被x＋y整除．

(2)假设n＝k(k≥1，k∈N＋)时，x2k－y2k能被x＋y整除，

那么当n＝k＋1时，x2k2－y2k2

＋＋＝x2·x2k－y2·y2k－x2y2k＋x2y2k

＝x2(x2k－y2k)＋y2k(x2－y2)．

∵x2k－y2k与x2－y2都能被x＋y整除，

∴x2(x2k－y2k)＋y2k(x2－y2)能被x＋y整除．

即当n＝k＋1时，x2k2－y2k＋＋2能被x＋y整除．

由(1)(2)可知，对任意正整数n，命题均成立．

反思与感悟

利用数学归纳法证明整除问题时，关键是整理出除数因式与商数因式积的形式．这往往要利用“添项”与“减项”“因式分解”等变形技巧来凑出n＝k时的情形，从而利用归纳假设使问题得证．

跟踪训练2

用数学归纳法证明：n3＋(n＋1)3＋(n＋2)3能被9整除(n∈N＋)．

证明

(1)当n＝1时，13＋23＋33＝36能被9整除，所以结论成立．

(2)假设当n＝k(k∈N＋，k≥1)时结论成立，

即k3＋(k＋1)3＋(k＋2)3能被9整除．

则当n＝k＋1时，(k＋1)3＋(k＋2)3＋(k＋3)3

＝[k3＋(k＋1)3＋(k＋2)3]＋[(k＋3)3－k3] ＝[k3＋(k＋1)3＋(k＋2)3]＋9k2＋27k＋27 ＝[k3＋(k＋1)3＋(k＋2)3]＋9(k2＋3k＋3)．

因为k3＋(k＋1)3＋(k＋2)3能被9整除，

9(k2＋3k＋3)也能被9整除，

所以(k＋1)3＋(k＋2)3＋(k＋3)3也能被9整除，

即当n＝k＋1时结论也成立．

由(1)(2)知，命题对一切n∈N＋成立．

类型三

用数学归纳法证明几何命题

例3

有n个圆，任意两个圆都相交于两点，任意三个圆不相交于同一点，求证这n个圆将平面分成f(n)＝n2－n＋2个部分(n∈N＋)．

证明

(1)当n＝1时，一个圆将平面分成两个部分，

且f(1)＝1－1＋2＝2，

所以n＝1时命题成立．

(2)假设n＝k(k≥1)时命题成立，

即k个圆把平面分成f(k)＝k2－k＋2个部分．

则当n＝k＋1时，

在k＋1个圆中任取一个圆O，剩下的k个圆将平面分成f(k)个部分，而圆O与k个圆有2k个交点，这2k个点将圆O分成k段弧，每段弧将原平面一分为二，

故得f(k＋1)＝f(k)＋2k＝k2－k＋2＋2k

＝(k＋1)2－(k＋1)＋2. 所以当n＝k＋1时，命题成立．

综合(1)(2)可知，对一切n∈N＋，命题成立．

反思与感悟

(1)数学归纳法证明几何问题的关键在于分析清楚n＝k与n＝k＋1时二者的差异，这时常常借助于图形的直观性，然后用数学式子予以描述，建立起f(k)与f(k＋1)之间的递推关系，实在分析不出的情况下，将n＝k＋1和n＝k分别代入所证的式子，然后作差，即可求出增加量，然后只需稍加说明即可．

(2)利用数学归纳法证明几何问题要注意利用数形结合寻找公式，还要注意结论要有必要的文字说明．

跟踪训练3

平面内有n条直线，其中任何两条不平行，任何三条不共点，求证：这n条直1线把平面分割成(n2＋n＋2)个区域．

2证明

(1)当n＝1时，一条直线把平面分成两个区域，

1又×(12＋1＋2)＝2，

2∴n＝1时命题成立．

1(2)假设当n＝k时，命题成立，即k条满足题意的直线把平面分割成了(k2＋k＋2)个区域．

21那么当n＝k＋1时，k＋1条直线中的k条直线把平面分成了(k2＋k＋2)个区域，第k＋1条直2线被这k条直线分成k＋1段，每段把它们所在的区域分成了两块，

因此增加了k＋1个区域，

11∴k＋1条直线把平面分成了(k2＋k＋2)＋k＋1＝[(k＋1)2＋(k＋1)＋2]个区域．

22∴当n＝k＋1时命题也成立．

由(1)(2)知，对一切的n∈N＋，此命题均成立．

1．用数学归纳法证明“凸n边形的内角和等于(n－2)π”时，归纳奠基中n0的取值应为(

) A．1

B．2

C．3

D．4 答案

C

解析

边数最少的凸n边形为三角形，故n0＝3. 2．用数学归纳法证明1＋a＋a＋…＋a边所得的项为(

) A．1

C．1＋a

答案

B 解析

当n＝1时，n＋1＝2，故左边所得的项为1＋a＋a2. 3．某个命题：

(1)当n＝1时，命题成立；

(2)假设当n＝k(k≥1，k∈N＋)时成立，可以推出n＝k＋2时也成立，则命题对________成立．

答案

正奇数

解析

由题意知，当k＝1时，k＋2＝3；当k＝3时，k＋2＝5，依此类推知，命题对所有正奇数成立．

4．用数学归纳法证明1＋3＋…＋(2n－1)＝n2(n∈N＋)．

证明

(1)当n＝1时，左边＝1，右边＝1，等式成立．

(2)假设当n＝k(k≥1)时，等式成立，

即1＋3＋…＋(2k－1)＝k2，

那么，当n＝k＋1时，

1＋3＋…＋(2k－1)＋[2(k＋1)－1]＝k2＋[2(k＋1)－1]＝k2＋2k＋1＝(k＋1)2. 所以当n＝k＋1时等式成立．

由(1)和(2)可知等式对任意正整数n都成立．

1．应用数学归纳法时应注意的问题

(1)第一步中的验证，对于有些问题验证的并不是n＝1，有时需验证n＝2，n＝3. (2)对n＝k＋1时式子的项数以及n＝k与n＝k＋1的关系的正确分析是应用数学归纳法成功证明问题的保障．

(3)“假设n＝k时命题成立，利用这一假设证明n＝k＋1时命题成立”，这是应用数学归纳法证明问题的核心环节，对待这一推导过程决不可含糊不清，推导的步骤要完整、严谨、规范．

2．判断利用数学归纳法证明问题是否正确．

(1)是要看有无归纳基础．

(2)是证明当n＝k＋1时是否应用了归纳假设．

3．与n有关的整除问题一般都用数学归纳法证明．其中关键问题是从当n＝k＋1时的表达式中分解出n＝k时的表达式与一个含除式的因式或几个含除式的因式，这样才能得出结论成立．

B．1＋a＋a2

D．1＋a＋a2＋a3

2n＋11－an2＝(n∈N＋，a≠1)，在验证n＝1成立时，左1－a＋

课时作业

一、选择题

1．已知命题1＋2＋22＋…＋2n1＝2n－1及其证明：

－(1)当n＝1时，左边＝1，右边＝21－1＝1，所以等式成立．

(2)假设当n＝k(k≥1，k∈N＋)时等式成立，即1＋2＋22＋…＋2k1＝2k－1成立，则当n＝k＋－1时，1＋2＋2＋…＋22k－11－2k1k＋1＋2＝＝2－1，所以n＝k＋1时等式也成立．

1－2＋k由(1)(2)知，对任意的正整数n等式都成立．判断以上评述(

) A．命题、推理都正确

B．命题正确、推理不正确

C．命题不正确、推理正确

D．命题、推理都不正确

答案

B 解析

推理不正确，错在证明当n＝k＋1时，没有用到假设当n＝k时的结论，命题由等比数列求和公式知正确．

2．在数列{an}中，a1＝2－1，前n项和Sn＝n＋1－1先算出数列的前4项的值，再根据这些值归纳猜想数列的通项公式是(

) A．an＝n＋1－1

C．an＝2n－n

答案

D 解析

∵a1＝2－1，S2＝3－1，

∴a2＝S2－S1＝3－2，

a3＝S3－S2＝4－3，

a4＝S4－S3＝5－4，

猜想：an＝n＋1－n. 3．用数学归纳法证明“当n为正奇数时，xn＋yn能被x＋y整除”，第二步归纳假设应写成(

) A．假设n＝2k＋1(k∈N＋)时正确，再推n＝2k＋3时正确

B．假设n＝2k－1(k∈N＋)时正确，再推n＝2k＋1时正确

C．假设n＝k(k∈N＋)时正确，再推n＝k＋1时正确

D．假设n＝k(k∈N＋)时正确，再推n＝k＋2时正确

答案

B 解析

∵n为正奇数，

B．an＝nn＋1－1 D．an＝n＋1－n

∴在证明时，归纳假设应写成：

假设当n＝2k－1(k∈N＋)时正确，再推出当n＝2k＋1时正确，故选B. 11114．设f(n)＝＋＋＋…＋(n∈N＋)，那么f(n＋1)－f(n)等于(

) 2nn＋1n＋2n＋31A.

2n＋111C.＋

2n＋12n＋2答案

D 111解析

因为f(n)＝＋＋…＋，

2nn＋1n＋211111所以f(n＋1)＝＋＋…＋＋＋，

2n2n＋12n＋2n＋2n＋3111所以f(n＋1)－f(n)＝＋－

2n＋12n＋2n＋1＝11－. 2n＋12n＋21B.

2n＋211D.－

2n＋12n＋215．如果1×2×3＋2×3×4＋3×4×5＋…＋n(n＋1)(n＋2)＝n(n＋1)(n＋a)(n＋b)对一切正整4数n都成立，则a，b的值可以等于(

) A．a＝1，b＝3

C．a＝1，b＝2

答案

D 解析

令n＝1,2得到关于a，b的方程组，解得即可．

6．某个命题与正整数n有关，若当n＝k(k∈N＋)时该命题成立，那么可推得当n＝k＋1时该命题也成立，现已知当n＝5时该命题不成立，那么可推得(

) A．当n＝6时该命题不成立

B．当n＝6时该命题成立

C．当n＝4时该命题不成立

D．当n＝4时该命题成立

答案

C 解析

由已知得当n＝k时成立⇒n＝k＋1时成立．

∴当n＝k＋1时不成立⇒当n＝k时不成立．

∴由当n＝5时不成立知，当n＝4时不成立．

二、填空题

7．若f(n)＝12＋22＋32＋…＋(2n)2，则f(k＋1)与f(k)的递推关系式是________________．

答案

f(k＋1)＝f(k)＋(2k＋1)2＋(2k＋2)2

B．a＝－1，b＝1 D．a＝2，b＝3

解析

∵f(k)＝12＋22＋…＋(2k)2，

∴f(k＋1)＝12＋22＋…＋(2k)2＋(2k＋1)2＋(2k＋2)2，

∴f(k＋1)－f(k)＝(2k＋1)2＋(2k＋2)2，

即f(k＋1)＝f(k)＋(2k＋1)2＋(2k＋2)2. 8．观察式子1＝1,1－4＝－(1＋2)，1－4＋9＝1＋2＋3，…，猜想第n个式子应为________________．

－－nn＋1答案

1－4＋9－16＋…＋(－1)n1n2＝(－1)n1·

29．记凸k边形的内角和为f(k)，则凸k＋1边形的内角和f(k＋1)＝f(k)＋________. 答案

π

解析

由凸k边形变为凸k＋1边形时，增加了一个三角形图形，故f(k＋1)＝f(k)＋π.

10．观察下列等式：

(1＋1)＝2×1，

(2＋1)(2＋2)＝22×1×3，

(3＋1)(3＋2)(3＋3)＝23×1×3×5，

…，

照此规律，第n个等式可为____________________．

答案

(n＋1)(n＋2)…(n＋n)＝2n×1×3×…×(2n－1) 解析

由已知，得第n个等式左边为(n＋1)(n＋2)…(n＋n)，右边为2n×1×3×…×(2n－1)．

所以第n个等式为(n＋1)(n＋2)…(n＋n)＝2n×1×3×…×(2n－1)．

三、解答题

11．用数学归纳法证明：(3n＋1)7n－1(n∈N＋)能被9整除．

证明

(1)当n＝1时，4×7－1＝27能被9整除，命题成立．

(2)假设当n＝k时命题成立，即(3k＋1)·7k－1能被9整除．

当n＝k＋1时，[(3k＋3)＋1]·7k1－1 ＋＝(3k＋1＋3)·7·7k－1 ＝7·(3k＋1)·7k－1＋21·7k

＝[(3k＋1)·7k－1]＋18k·7k＋6·7k＋21·7k

＝[(3k＋1)·7k－1]＋18k·7k＋27·7k，

由归纳假设(3k＋1)·7k－1能被9整除，

又因为18k·7k＋27·7k也能被9整除，

所以[3(k＋1)＋1]·7k1－1能被9整除，

＋即当n＝k＋1时命题成立．

由(1)(2)可知，对所有正整数n命题成立．

1112n12．求证：1＋＋＋…＋＝(n∈N＋)．

1＋21＋2＋31＋2＋3＋…＋nn＋1证明

(1)当n＝1时，

2×1左边＝1，右边＝＝1，

1＋1所以左边＝右边，等式成立．

(2)假设当n＝k(k≥1，k∈N＋)时等式成立，

即1＋1112k＋＋…＋＝. 1＋21＋2＋31＋2＋3＋…＋kk＋1则当n＝k＋1时，

1111＋＋＋…＋＋

1＋21＋2＋31＋2＋3＋…＋k1

1＋2＋3＋…＋k＋k＋1＝＝2k1＋

k＋11＋2＋3＋…＋k＋k＋12k2＋

k＋1k＋1k＋22k＋122k＋1＝＝. k＋1k＋2k＋1＋1所以当n＝k＋1时，等式也成立．

由(1)(2)可知，对任何x∈N＋等式都成立．

13．请观察以下三个式子：

1×2×9(1)1×3＝；

62×3×11(2)1×3＋2×4＝；

63×4×13(3)1×3＋2×4＋3×5＝，

6归纳出一般的结论，并用数学归纳法证明该结论．

解

结论：1×3＋2×4＋3×5＋…＋n(n＋2) ＝nn＋12n＋7. 6证明：①当n＝1时，左边＝3，右边＝3，所以命题成立．

②假设当n＝k(k≥1，k∈N＋)时，命题成立，

即1×3＋2×4＋3×5＋…＋k(k＋2) ＝kk＋12k＋7，

6当n＝k＋1时，1×3＋2×4＋…＋k(k＋2)＋(k＋1)(k＋3)

＝＝＝＝＝kk＋12k＋7＋(k＋1)(k＋3) 6k＋12(2k＋7k＋6k＋18) 6k＋12(2k＋13k＋18) 6k＋1k＋22k＋9

6k＋1[k＋1＋1][2k＋1＋7]，

6所以当n＝k＋1时，命题成立．

由①②知，命题成立．

四、探究与拓展

n2n2＋114．用数学归纳法证明1＋2＋…＋(n－1)＋n＋(n－1)＋…＋2＋1＝时，由n＝32222222k的假设到证明n＝k＋1时，等式左边应添加的式子是________．

答案

(k＋1)2＋k2

解析

当n＝k时，左边＝12＋22＋…＋(k－1)2＋k2＋(k－1)2＋…＋22＋12. 当n＝k＋1时，左边＝12＋22＋…＋k2＋(k＋1)2＋k2＋(k－1)2＋…＋22＋12，

所以左边添加的式子为(k＋1)2＋k2. 1111115．已知数列，，，，…，，…，计算数列和S1，S2，1×44×77×1010×133n－23n＋1S3，S4，根据计算结果，猜想Sn的表达式，并用数学归纳法进行证明．

11112解

S1＝＝，S2＝＋＝，

44×771×44213314S3＝＋＝，S4＝＋＝. 77×10101010×1313n上面四个结果中，分子与项数n一致，分母可用项数n表示为3n＋1，于是可以猜想Sn＝.3n＋1其证明如下：

111(1)当n＝1时，左边＝S1＝，右边＝＝，猜想成立．

43×1＋14(2)假设当n＝k(k∈N＋，k≥1)时猜想成立，

即111k＋＋…＋＝成立，

1×44×73k－23k＋13k＋1则当n＝k＋1时，

111＋＋…＋＋

1×44×73k－23k＋1

1

[3k＋1－2][3k＋1＋1]＝k1＋

3k＋13k＋13k＋43k2＋4k＋1＝

3k＋13k＋4＝3k＋1k＋1k＋1＝，

3k＋13k＋43k＋1＋1所以当n＝k＋1时，猜想成立．

n由(1)(2)知，猜想对任意n∈N＋，Sn＝都成立．

3n＋1