二 一般形式的柯西不等式ppt课件配套教案内容

选修4-5学案 §3.1.1柯西不等式(1) 姓名 ☆学习目标：

1. 认识二维柯西不等式的几种形式，理解它们的几何意义;

2. 会证明二维柯西不等式及向量形式

☻知识情景：

1.

定理1

如果a,bR, 那么a2b22ab.

当且仅当ab时, 等号成立.

当a0,b0时，由ab2ab基本不等式：

22 2. 如果a,b,c,dR, 那么a2b22ab，c2d22cd(a2b2)(c2d2) 另一方面，有(acbd)2a2c2b2d22abcd

问题：(a2b2)(c2d2)

(acbd)2

???

☻新知建构：

1.

柯西不等式：若a,b,c,dR，则(a2b2)(c2d2) 当且仅当 时, 等号成立. (acbd)2. 此即二维形式的柯西不等式. 0

证法1.（综合法）(a2b2)(c2d2)a2c2a2d2b2c2b2d2

()2()2(acbd)2

当且仅当

时, 等号成立.

0

证法2.（构造法）

分析：(acbd)22(a2b2)(c2d2)[2(acbd)]24(a2b2)(c2d2)22220

而[2(acbd)]4(ab)(cd)的结构特征

那么，

证：设f(x)(a2b2)x22(acbd)xc2d2，

∵

f(x)(axc)2(bxd)2

0 恒成立.

∴

. 得证. 证法3.（向量法）设向量m(a,b)，n(c,d)，

则|m| ∵ mn0，|n|. ，且mn|m||n|cosm,n，有|mn||m||n|. ∴ . 得证. 2. 二维柯西不等式的变式：

变式10.若a,b,c,dR，则a2b2c2d2|acbd|

或a2b2c2d2

acbd；R变式20.

若a,b,c,d，则a2b2c2d2(ac)2(bd)2

；

(x1x2)2(y1y2)2.

变式30. 若x1,y1,x2,y2R，则x12y12x22y22

几何意义:

- 1 -

3. 二维柯西不等式的应用：

例1 已知a,b为实数,证明(a4b4)(a2b2)(a3b3)2

例2 设a,bR*,ab1,

11求证4

ab例3 求函数y5x1102x的最大值

例4

若2x3y1,求4x29y2的最小值,并求最小值点.

- 2 -

选修4-5练习 §3.1.1柯西不等式(1) 姓名 1.若a,bR,且a2b210,则ab的取值范围是( )

A.-25,25

已知xy1,那么2x23y2的最小值是( )

562536 D.

A. B. C.6536253.函数y21x2x1的最大值为______

2.4,5.B.2

10,210C.10,



10D.5,5



. 设实数x,y满足3x22y26,则P2xy的最大值是______

11若ab1,则(a)2(b)2的最小值是______

ab

6、

求函数y3x1102x的最大值？；

7、已知3x2y1，求x2y2的最小值.

8、若x,yR，xy2，求证：

1x12.

y

9、已知x,y,a,bR，且

- 3 - axb1，则xy的最小值.

y

10、若a>b>c，求证：

114. abbcac11、

已知点0x0,y0及直线l:

xyC0

用柯西不等式推导点到直线的距离公式

220

12、已知a1b2b1a21,求证：a2b21。

13、解方程x212x12x1x1221

xx1

- 4 -

参考答案: 例1 例2

例3 解:由柯西不等式(4x29y2)(1212)(2x3y)21,14x29y2.2例4

当且仅当2x13y1,即2x3y时取等号.

1xx3y得4由212x3y1y61114x29y2的最小值为,最小值点为(,)246练习 1．A 2、B

3．3 4．11

5．25

2

6．分析：如何变形？

→

构造柯西不等式的形式

→

板演

→

变式：y3x1102x

→

推广：yabxcdefx,(a,b,c,d,e,fR)

7．（凑配法）x2y21211(xy2)(3222)(3x2y)2. 1313138．分析：如何变形后利用柯西不等式？

（注意对比

→

构造）

要点：111111112(xy)()[(x)2(y)2][()2()]…

xy2xy2xyaxby9．要点：xy()(xy)….

→

其它证法

10、要点：(ac)(1111)[(ab)(bc)]()(11)24

abbcabbc

11、设点1x1,y1是直线l上的任意一点，

则x1x1C0

（1）

点P0,P1两点间的距离:

p0p1x0x1y0y122

（2）

p0p1的最小值就是点p0到直线l的距离，

∵

22x0x1y0y122x0x1y0y1

x0y0Cx1y1C

由（1）（2）得：

- 5 -

22p1p2x0y0C

即p1p2x0y0C22

（3）

当且仅当

y0y1:x0x1

p1p2l

（3）式取等号

即点到直线的距离公式即p1p2x0y0C22

12.

证明：由柯西不等式，得a1b2b1a2a21a2b21b21

1b2

当且仅当时，上式取等号，

2a1ab

ab1a21b2,

a2b21a21b2,

于是

ab1

。

13.解：22x212xx12x21x12

= x212x21x12x1

2由柯西不等式知

12x1x12x1

x2xx1x1x即

1112(x1)2,22x(x1)

x(x1)x2

112(x1)x2(x1)221x(x1)

当上式取等号时有x(x1)1成立，即

x(x1)x2x10（无实根）

或x2x10，即

x1515，经检验，原方程的根为x

22

- 6 -