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正态分布2018.4.12

1．在某次学科知识竞赛中（总分100分），若参赛学生成绩服从N（80，

90)内的概率为0.8，则落在[90，100]内的概率为（ ）

A. 0.05

B. 0.1

C. 0.15

D. 0.2 2．已知XN0,62，且P2X00.4，则P(X2)等于（ ）

A. 0.1

B. 0.2

C. 0.6

D. 0.8

23．已知随机变量服从正态分布N2,，且P(4)0.8，

P(02)（

）．

2）(>0)，若在(70，A. 0.6

B. 0.4

C. 0.3

D. 0.2

4．设，，这两个正态分布密度曲线如图所示．下列结论中正确的是（ ）

A．P(Y2)P(Y1)

B．P(X2)P(X1)

C．对任意正数t，P(Xt)P(Yt)

D．对任意正数t，P(Xt)P(Yt)

15．已知三个正态分布密度函数ixe2ixi22i2（, i1,2,3）的图象如图1所示,则（

）

A. B. C. D. ,,,,

26．在某次数学测试中，学生成绩ξ服从正态分布N(100，σ)(σ>0)，若ξ在(80,120)内的概率为0.8，则ξ在(0,80)内的概率为(

)

A．0.05 B．0.1 C．0.15 D．0.2 27．若随机变量X~N,，则PX=________．

28．某校高三年级有1000人，某次数学考试不同成绩段的人数~N127,7．

（1）求该校此次数学考试平均成绩；

（2）计算得分超过141的人数；

（3）甲同学每次数学考试进入年级前100名的概率是名的次数，写出X的分布列，并求期望与方差．

试卷第1页，总2页

1，若本学期有4次考试，

X表示进入前1004

9．从某企业生产的某种产品中抽取500件，测量这些产品的一项质量指标值，由测量结果得如下图频率分布直方图：

（I）求这500件产品质量指标值的样本平均值x和样本方差s2；

（II）由直方图可以认为，这种产品的质量指标Z服从正态分布N,2，其中近似为样本平均数x，

2近似为样本方差s2. （i）利用该正态分布，求P(187.8Z212.2)；

（ii）某用户从该企业购买了100件这种产品，记X表示这100件产品中质量指标值位于区间187.8,212.2的产品件数.利用（i）的结果，求EX. 附:15012.2

10．为了监控某种零件的一条生产线的生产过程，检验员每天从该生产线上随机抽取16个零件，并测量其尺寸（单位：cm）．根据长期生产经验，可以认为这条生产线正常状态下生产的零件的尺寸服从正态分布N(μ,σ2)．

（1）假设生产状态正常，记X表示一天内抽取的16个零件中其尺寸在(μ–3σ,μ+3σ)之外的零件数，求P(X≥1)及X的数学期望；

（2）一天内抽检零件中，如果出现了尺寸在(μ–3σ,μ+3σ)之外的零件，就认为这条生产线在这一天的生产过程可能出现了异常情况，需对当天的生产过程进行检查．

（ⅰ）试说明上述监控生产过程方法的合理性；

（ⅱ）下面是检验员在一天内抽取的16个零件的尺寸：

9.95 10.12 9.96 9.96 10.01 9.92 9.98 10.04 10.26 9.91 10.13 10.02 9.22 10.04 10.05 9.95 11611621162(xix)(xi16x2)20.212xxi9.97s16i116i116i1经计算得，，其中xi为抽取的第i个零件的尺寸，i=1,2,…,16．

ˆ，利用估计值判断是否需对当天用样本平均数x作为μ的估计值，用样本标准差s作为σ的估计值的生产过程进行检查？剔除(3,3)之外的数据，用剩下的数据估计μ和σ（精确到0.01）．

ˆˆˆˆˆ附：若随机变量Z服从正态分布N(μ,σ2)，则P(μ–3σ

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参考答案

1．B 【解析】因为参赛学生成绩服从N802,，所以P070P90100110.80.1，故选B.

2【方法点睛】本题主要考查正态分布的性质与实际应用，属于中档题. 有关正态分布的应用题考查知识点较为清晰，只要掌握以下两点，问题就能迎刃而解：（1）仔细阅读，将实际问题与正态分布“挂起钩来”；（2）熟练掌握正态分布的性质，特别是状态曲线的对称性以及各个区间概率之间的关系.

2．A 【解析】X~N02,,且P2X00.4,P2X20.8，

PX23．C 110.80.1，故选A.

2【解析】∵P(4)0.8，

∴P41P(4)10.80.2，

2由随机变量服从正态分布N2,a知，

正态曲线关于x2对称，

∴P00.2，

P(02)11P(04)10.20.20.3．

22故选C．

4．C

【解析】由正态密度曲线的性质可知，于x、的密度曲线分别关的密度曲线较1、x2对称，因此结合所给图象可得12且的密度曲线“瘦高”，所以012，所以对任意正数t，P(Xt)P(Yt)．

考点：正态分布密度曲线．

5．D 【解析】试题分析：∵正态曲线关于x=μ对称，且μ越大图象越靠近右边，∴μ2＜μ1＜μ3∵σ的值越小图象越瘦长，得到σ1最小，σ2最大，∴σ1＜σ3＜σ2，故答案为：μ2＜μ1＜μ3；σ1＜σ3＜σ2．

答案第1页，总4页

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考点：正态分布曲线的特点及曲线所表示的意义．

6．B

【解析】根据正态曲线的对称性可知，ξ在(80,100)内的概率为0.4，因为ξ在(0,100)内的概率为0.5，所以ξ在(0,80)内的概率为0.1，故选B.

7．1

21. 2【解析】根据正态密度曲线的对称性可得这个概率值是视频

8．（1）23；（2）见解析

2【解析】试题分析：（1）由不同成绩段的人数服从正态分布~N127,7，可知平均成绩；（2）P(141)P(12727)，141分以上的人数为1000P(141)；（3）X的取值范围为0,1,2,3,4，求出相应的概率值，得到分布列及期望与方差．

试题解析：

2（1）由不同成绩段的人数服从正态分布~N127,7，可知平均成绩127.

11P(22)0.0228，

2故141分以上的人数为10000.022823人．

（2）P(141)P(12727)（3）X的取值范围为0,1,2,3,4，

813PX0425622244，

11PX1C4413274643，

2713，

PX2C44128311313，

，

PX3C4PX444644256故X的分布列为：

314X

0

1

2

3

4

P

81

25627

6427

1283

641

25611，

4133方差DXnp1p4．

444期望EXnp4点睛：求解离散型随机变量的数学期望的一般步骤为：

答案第2页，总4页

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第一步是“判断取值”，即判断随机变量的所有可能取值，以及取每个值所表示的意义；

第二步是:“探求概率”，即利用排列组合、枚举法、概率公式（常见的有古典概型公式、几何概型公式、互斥事件的概率和公式、独立事件的概率积公式，以及对立事件的概率公式等），求出随机变量取每个值时的概率；

第三步是“写分布列”，即按规范形式写出分布列，并注意用分布列的性质检验所求的分布列或事件的概率是否正确；

第四步是“求期望值”，一般利用离散型随机变量的数学期望的定义求期望的值，对于有些实际问题中的随机变量，如果能够断定它服从某常见的典型分布(如二项分布X～B(n，p))，则此随机变量的期望可直接利用这种典型分布的期望公式(E(X)＝np)求得.

9．（I）200,150；（II）（i）0.6826；（ii）68.26．

【解析】试题分析：（I）由频率分布直方图可估计样本特征数众数、中位数、均值、方差．若同一组的数据用该组区间的中点值作代表，则众数为最高矩形中点横坐标．中位数为面积等1的点．均值为每个矩形中点横坐标与该矩形面积积的累加值．方差是矩形横坐标与2均值差的平方的加权平均值．（II）（i）由已知得，

Z

分为

P(20012.2Z200

12.2)0.6826；N200,150，故P(187.8Z212.2)（ii）某用户从该企业购买了100件这种产品，相当于100次独立重复试验，则这100件产品中质量指标值位于区间187.8,212.2的产品件数XB100,0.6826，故期望EX1000.682668.26．

试题分析：（I）抽取产品的质量指标值的样本平均值x和样本方差s2分别为

x1700.021800.091900.222300.02

200，

222

2000.332100.242200.08

s2300.02200.09100.2200.331020.242020.083020.02

150．

（II）（i）由（I）知，

Z服从正态分布N200,150，从而P(187.8Z

212.2)P(20012.2Z200

12.2)0.6826．

（ii）由（i）可知，一件产品的质量指标值位于区间187.8,212.2的概率为0.6826，依题意知XB100,0.6826，所以EX1000.682668.26．

【考点定位】1、频率分布直方图；2、正态分布的3原则；3、二项分布的期望．

视频

10．（1）X的数学期望为EX0.0416

（2）详见解析

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【解析】（1）抽取的一个零件的尺寸在(3,3)之内的概率为0.9974，从而零件的尺寸在(3,3)之外的概率为0.0026，故X~B(16,0.0026).因此

P(X1)1P(X0)10.99740.0408.

X的数学期望为EX160.00260.0416.

（2）（i）如果生产状态正常，一个零件尺寸在(3,3)之外的概率只有0.0026，一天内抽取的16个零件中，出现尺寸在(3,3)之外的零件的概率只有0.0408，发生的概率很小.因此一旦发生这种情况，就有理由认为这条生产线在这一天的生产过程可能出现了异常情况，需对当天的生产过程进行检查，可见上述监控生产过程的方法是合理的.

ˆ0.212，由ˆ9.97，的估计值为（ii）由x9.97,s0.212，得的估计值为ˆ3ˆ,ˆ3ˆ)之外，因此需对当天的生产过程进样本数据可以看出有一个零件的尺寸在(行检查.

ˆ3ˆ,ˆ3ˆ)之外的数据9.22，剔除(剩下数据的平均数为因此的估计值为10.02.

1(169.979.22)10.02，15xi1162iˆ3ˆ,ˆ3ˆ)之外的数据9.22，剩160.2122169.9721591.134，剔除(下数据的样本方差为1(1591.1349.2221510.022)0.008，

15因此的估计值为0.0080.09.

答案第4页，总4页