二 综合法与分析法教学设计和教学实录

二

综合法与分析法

1.理解综合法、分析法证明不等式的原理和思维特点．

2.掌握综合法、分析法证明简单不等式的方法和步骤．

3．能综合运用综合法、分析法证明不等式．

,

[学生用书P28])

1．综合法

一般地，从已知条件出发，利用定义、公理、定理、性质等，经过一系列的推理、论证而得出命题成立，这种证明方法叫做综合法．综合法又叫顺推证法或由因导果法．

2．分析法

证明命题时，从要证的结论出发，逐步寻求使它成立的充分条件，直到所需条件为已知条件或一个明显成立的事实(定义、公理或已证明的定理、性质等)，从而得出要证的命题成立，这种证明方法叫做分析法．这是一种执果索因的思考和证明方法．

1．判断(正确的打“√”，错误的打“×”) (1)综合法和分析法都是直接证明法．(

) (2)分析法是执因索果，形式简洁，易于表达．(

) (3)综合法是执果索因，利于思考，易于探路．(

) (4)分析法寻找的是使不等式成立的充要条件，综合法寻找的是使不等式成立的必要条件．(

) (5)分析法和综合法是思维方向相反的两种思考方法．(

) 答案：(1)√

(2)×

(3)×

(4)×

(5)√

2．要证a2＋b2－1－a2b2≤0，只要证(

) A．2a－1－a2b2≤0 a4＋b4B．a＋b－1－≤0 222（a＋b）2C．－1－a2b2≤0 4D．(a2－1)(b2－1)≥0 解析：选D.因为(a2－1)(b2－1)＝－a2－b2＋1＋a2b2≥0，所以a2＋b2－1－a2b2≤0.

3．设a，b>0，A＝a＋b，B＝a＋b，则A，B的大小关系是(

) A．A＝B

B．A

C．A>B

D．大小不确定

答案：C 4．若a>b>c，则11与的大小关系为________．

b－ca－c11解析：因为a>b>c，所以a－c>b－c>0，所以<.

a－cb－c答案：11<

a－cb－c

用综合法证明不等式[学生用书P28] 11

设a>b>c>0，证明：2a2＋＋－10ac＋25c2≥4. aba（a－b）【证明】

因为a>b>c>0，

11所以2a2＋＋－10ac＋25c2

aba（a－b）11＝(a－5c)2＋a2－ab＋ab＋＋

aba（a－b）11＝(a－5c)2＋ab＋＋a(a－b)＋

aba（a－b）≥0＋2＋2＝4，

当且仅当a－5c＝0，ab＝1，a(a－b)＝1，

即a＝2，b＝22，c＝时，等号成立．

25

综合法证明不等式的关键

(1)综合法证明不等式，揭示出条件和结论之间的因果联系，为此要着力分析已知与求证之间，不等式的左右两端之间的差异与联系．合理进行转换，恰当选择已知不等式，这是证明的关键．

(2)综合法证明不等式主要是应用基本不等式(或重要不等式)来证明，要注意基本不等式(或重要不等式)的变形应用，一般式子中出现平方和与乘积形式时可以考虑用综合法来证明．

1.求证：a2＋b2＋c2≥ab＋bc＋ac. 证明：因为a2＋b2≥2ab，b2＋c2≥2bc.

c2＋a2≥2ac，

以上三式左、右两边分别相加得

2(a2＋b2＋c2)≥2(ab＋bc＋ac)，

所以a2＋b2＋c2≥ab＋bc＋ac(当且仅当a＝b＝c时等号成立)．

111＋1＋≥9. 2．已知x>0，y>0，x＋y＝1，求证xy证明：法一：因为x>0，y>0，1＝x＋y≥2xy，

1所以xy≤.

4111111＋1＋＝1＋＋＋

所以xyxyxyx＋y12＝1＋＋＝1＋≥1＋8＝9.

xyxyxy法二：因为1＝x＋y，

11x＋yx＋y1＋1＋＝1＋所以

1＋xyxy

yxxy2＋2＋＝5＋2＋.

＝xyyxxy又x>0，y>0，所以＋≥2，

yx111＋1＋≥5＋2×2＝9. 所以xy

用分析法证明不等式[学生用书P29] 111

设x≥1，y≥1，证明x＋y＋≤＋＋xy. xyxy证明：由于x≥1，y≥1，

111要证x＋y＋≤＋＋xy，

xyxy只需证xy(x＋y)＋1≤y＋x＋(xy)2.

因为[y＋x＋(xy)2]－[xy(x＋y)＋1]

＝[(xy)2－1]－[xy(x＋y)－(x＋y)]

＝(xy＋1)(xy－1)－(x＋y)(xy－1)

＝(xy－1)(xy－x－y＋1)

＝(xy－1)(x－1)(y－1)，

因为x≥1，y≥1，

所以(xy－1)(x－1)(y－1)≥0，

从而所要证明的不等式成立．

用分析法证明不等式的思路

(1)分析法的思索路线是“执果索因”，即从要证的不等式出发，不断地用充分条件来代替前面的不等式，直至找到已知不等式为止．

(2)用分析法证明数学命题时，一定要恰当地用好反推符号“⇐”或“要证明”“只需证明”“即证明”等词语．

1.求证：3－22<7－6. 证明：要证原不等式成立，只需证3＋6<22＋7，

即证(3＋6)2<(22＋7)2，

展开得15＋66<15＋414，

只需证36<214，即证54<56，

只需证54<56.

因为54<56成立，

所以54<56成立，

所以原不等式成立．

2．设a>0，b>0，2c>a＋b.求证：c－c2－ab

只要证：－c2－ab

即证：|a－c|

也就是证(a－c)2

只要证：a2－2ac<－ab，即证：a2＋ab<2ac.

因为a>0，所以就是证：a＋b<2c，显然成立．

故不等式c－c2－ab

综合法、分析法的综合应用[学生用书P30] 111

若正数x，y，z满足x＋y＋z＝1，证明x－1·y－1z－1≥8. 【证明】

法一：(分析法)

111要证x－1y－1z－1≥8，

只需证1－x1－y1－zxyz≥8，

因为x＋y＋z＝1，

y＋zx＋zx＋y所以，只需证··≥8，

xyz而y＋z≥2yz，x＋z≥2xz，x＋y≥2xy，

故上式可证，即原不等式成立．

法二：(综合法)

因为x＋y＋z＝1，

1－xy＋z1则－1＝＝，

xxx12yz所以－1≥>0.

xx12xz12xy同理可证：－1≥>0，－1≥>0.

yyzz1118xyz将三式相乘，有x－1y－1z－1≥xyz＝8.

1当且仅当x＝y＝z＝时，等号成立，从而原命题得证．

3

(1)用综合法证明时要注意字母取值范围和等号成立的条件．用分析法证明时要注意书写的格式，为了避免出现分析法格式错造成一步不慎全盘皆输的局面，通常用分析法寻找思路，用综合法写出证明过程．

(2)通过等式或不等式的运算，将待证的不等式化为明显的、熟知的不等式，从而使原不等式得到证明；反之，亦可从明显的、熟知的不等式入手，经过一系列的运算而导出待证的不等式，分析法是“执果索因”，综合法是“由因导果”，为沟通联系的途径，证明时往往联合使用分析法与综合法，相辅相成，达到解决欲证不等式的目的．

a＋ba＋b＋c3

已知a，b，c都是正数，求证：2(－ab)≤3. －abc23证明：法一：要证2a＋ba＋b＋c3－ab≤3，

－abc23只需证a＋b－2ab≤a＋b＋c－33abc，

即－2ab≤c－33abc.

移项，得c＋2ab≥33abc，

由a，b，c为正数，得c＋2ab＝c＋ab＋ab≥33abc成立．

所以原不等式成立．

法二：因为a，b，c是正数，

所以c＋ab＋ab≥3cab·ab＝33abc.

即c＋2ab≥33abc.

故－2ab≤c－33abc.

所以a＋b－2ab≤a＋b＋c－33abc.

所以2

1．用综合法证明不等式的逻辑关系

A⇒B1⇒B2⇒…⇒Bn⇒B

由已知逐步推演不等式成立的必要条件，从而得结论．

2．用分析法证明不等式的逻辑关系

A⇐B1⇐B2⇐…⇐Bn⇐B

由结论步步寻求不等式成立的充分条件，从而到已知．

3．综合法和分析法的比较

(1)相同点：都是直接证明．

(2)不同点：综合法：由因导果，形式简洁，易于表达；分析法：执果索因，利于思考，易于探索．

【规范解答】

灵活运用分析、综合法证明不等式

(本题满分12分)已知a，b，c∈R＋，且ab＋bc＋ca＝1. 求证：(1)a＋b＋c≥3；

(2)a＋bcb＋acc≥3(a＋b＋c)．

aba＋ba＋b＋c3－ab≤3.

－abc233【证明】

(1)要证a＋b＋c≥3，由于a，b，c∈R＋，因此只需证(a＋b＋c)2≥3，

即证a2＋b2＋c2＋2(ab＋bc＋ca)≥3，根据条件，只需证a2＋b2＋c2≥1＝ab＋bc＋ca.(3分)

a2＋b2b2＋c2c2＋a22223而这是可以由ab＋bc＋ca≤＋＋＝a＋b＋c(当且仅当a＝b＝c＝2223时取等号)证得的．所以原不等式成立．(2)因为a＋bcb＋ac(6分)

ca＋b＋c＝，

ababc在(1)中已证a＋b＋c≥3，

所以原不等式只需证1≥a＋b＋c，

abc(9分)

也就是只要证abc＋bac＋cab≤ab＋bc＋ca.ab＋acab＋bc而abc＝ab·ac≤，bac≤，

22ac＋bccab≤，

2所以abc＋bac＋cab≤ab＋bc＋ca(当且仅当a＝b＝c＝不等式成立．(12分)

3时取等号)成立．所以原3(1)用分析法将待证不等式转化为证明a2＋b2＋c2≥ab＋bc＋ca.

(2)用综合法证明转化得到的不等式．

(3)用分析法及(1)的结论将待证不等式转化为证明不等式abc＋bac＋cab≤ab＋bc＋ac.

(4)结合基本不等式用综合法证明得到的不等式．

1．已知c>0，用分析法证明c－1＋c＋1<2c. 证明：要证c－1＋c＋1<2c，

只需证(c－1＋c＋1)2<(2c)2，

即证2c＋2c2－1<4c，

即证

c2－1

而c>0，即证c2－1

上式明显成立，不等式得证．

a＋bb＋cc＋a2．若a，b，c是不全相等的正数，求证：lg＋lg＋lg＞lg a＋lg b＋lg c. 222证明：法一：(分析法)lg lga＋bb＋cc＋a＋lg ＋lg ＞lg a＋lg b＋lg c

⇐222a＋bb＋cc＋aa＋bb＋cc＋a＞lg abc⇐··＞abc.因为a，b，c是不全相等的正数，所以显··222222a＋bb＋cc＋a然有··＞abc成立，即证．

222法二：(综合法)因为a，b，c为正实数，

a＋bb＋ca＋c所以≥ab＞0，≥bc＞0，≥ac＞0.

222又a，b，c不全相等，

所以上述三个不等式中等号不能同时成立，

即a＋bb＋cc＋a··

＞abc成立．

222上式两边同取常用对数，得

lga＋bb＋cc＋a2·2·2＞lg abc，

a＋bb＋cc＋a即lg＋lg＋lg＞lg a＋lg b＋lg c. 222,

[学生用书P31])

[A

基础达标] 1．若实数x，y满足不等式xy>1，x＋y≥0，则(

) A．x>0，y>0

B．x<0，y<0 C．x>0，y<0

D．x<0，y>0 解析：选A.因为xy>1>0，所以x，y同号．

又x＋y≥0，故x>0，y>0. 2．对任意的锐角α，β，下列不等关系中正确的是(

) A．sin(α＋β)>sin α＋sin β

B．sin(α＋β)>cos α＋cos β

C．cos(α＋β)>sin α＋sin β

D．cos(α＋β)

解析：选D.因为α，β为锐角，所以0<α<α＋β<π，

所以cos α>cos(α＋β)．

又cos β>0，所以cos α＋cos β>cos(α＋β)．

3．设a，b∈R，且a≠b，a＋b＝2，则必有(

) a2＋b2A．1≤ab≤

2a2＋b2C．ab<<1

22a2＋b2B．ab<1<

2a2＋b2D．<1

222a＋ba＋b解析：选B.ab<2<2(a≠b)，

a2＋b2又a＋b＝2，所以ab<1<. 24．要使3a－3b

) A．ab<0且a>b

B．ab>0且a>b

C．ab<0且a

D．ab>0且a>b或ab<0且a

解析：选D.3a－3b

－33a2b

所以3ab2<3a2b.

33

所以当ab>0时，有3b<3a，即b

当ab<0时，有3b>3a，即b>a. 5．设p＋q＝1，p>0，q>0，则不等式logx(pq)<1成立的一个充分条件是(

) 1A．0

41C．

2p＋q1则由≥pq，得pq≤.

24若x>1，则logx(pq)<0，则logx(pq)<1，故选D. 6．设y＝7－3，x＝6－2，则x，y的大小关系是________．

44解析：y＝7－3＝，x＝6－2＝，

7＋36＋2因为7＋3>6＋2>0，

所以x>y.

答案：x>y

1117．已知a>0，b>0，若P是a，b的等差中项，Q是a，b的正的等比中项，是，的Rab等差中项，则P，Q，R按从大到小的排列顺序为________．

a＋b211解析：因为P＝，Q＝ab，＝＋，

2Raba＋b2ab所以R＝≤Q＝ab≤P＝，

2a＋b当且仅当a＝b时取等号．

答案：P≥Q≥R

8．已知α，β为实数，给出下列三个论断：

①αβ>0；②|α＋β|>5；③|α|>22，|β|>22. 以其中的两个论断为条件，另一个论断为结论，写出你认为正确的命题是________．

解析：因为αβ>0，|α|>22，|β|>22，

所以|α＋β|2＝α2＋β2＋2αβ>8＋8＋2×8＝32>25，

所以|α＋β|>5.

答案：①③⇒②

11B．

42D．x>1 解析：选D.因为p＋q＝1，p>0，q>0，

a＋mb≤a＋mb. 9．已知m>0，a，b∈R，求证：1＋m1＋m证明：因为m>0，所以1＋m>0，

a＋mb2a2＋mb2所以要证≤1＋m，

1＋m只需证(a＋mb)2≤(1＋m)(a2＋mb2)

即证m(a2－2ab＋b2)≥0，

即证(a－b)2≥0.

因为(a－b)2≥0显然成立，

222

a＋mb≤a＋mb成立．

所以1＋m1＋m10．设a>0，b>0，c>0.证明：

114(1)＋≥；

aba＋b111111(2)＋＋≥＋＋. 2a2b2cb＋cc＋aa＋b证明：(1)因为a>0，b>0，

11所以(a＋b)a＋b

≥2ab·21＝4.

ab222114所以＋≥.

aba＋b114(2)由(1)知＋≥，

aba＋b114114同时，＋≥，＋≥，

bcb＋ccac＋a三式相加得：

111444＋＋≥2＋＋abcb＋cc＋aa＋b.

111111所以＋＋≥＋＋. 2a2b2cb＋cc＋aa＋b[B

能力提升] 1．设a>0，b>0，且ab－(a＋b)≥1，则(

) A．a＋b≥2(2＋1)

B．a＋b≤

2＋1 C．a＋b≤(2＋1)2

D．a＋b>2(2＋1) a＋b1解析：选A.因为a>0，b>0，所以ab≤，即(a＋b)2≥ab，

42又ab－(a＋b)≥1，

1所以ab≥(a＋b)＋1，所以(a＋b)2≥(a＋b)＋1，

4所以(a＋b)2－4(a＋b)－4≥0，

所以(a＋b－2)2≥8.

所以a＋b－2≤－22或a＋b－2≥22，

所以a＋b≤2－22或a＋b≥2＋22.

因为a＋b≤2－22<0与a＋b>0矛盾，

所以只有a＋b≥2(2＋1)成立．

11n2．已知a>b>c，n∈N*，且＋≥恒成立，则n的最大值为________．

a－bb－ca－ca－ca－c（a－b）＋（b－c）（a－b）＋（b－c）解析：因为a－c>0，所以n≤＋＝＋a－bb－ca－bb－c2

b－ca－b＝2＋＋恒成立．

a－bb－c又a－b>0，b－c>0，

b－ca－b所以＋≥2a－bb－cb－ca－b·＝2，

a－bb－c所以n≤4，即n的最大值为4.

答案：4 13．在△ABC中，已知△ABC的面积为，外接圆半径为1，三边长为a，b，c，求证：4111a＋b＋c<＋＋. abc1证明：因为△ABC的面积S＝bcsin A，

2a根据正弦定理＝2r，

sin Aaabc1abc所以sin A＝，所以S＝⇒＝，

2r4r44r所以abc＝1，所以c＝1.

aba＋b2ab又因为a＋b≥2ab⇒≥，

abab11所以＋≥2ab1＝2c.

ab1111同理，＋≥2a，＋≥2b.

bcca将三个不等式的两边分别相加得

111＋＋≥a＋b＋c，

abc取等号的条件是a＝b＝c.

3abc＝1⇒a＝1⇒a＝1，若a＝b＝c，则有

a＝2rsin A⇒a＝2sin 60°⇒a＝3.矛盾，故等号不成立．

111所以＋＋>a＋b＋c. abc4．已知f(x)＝|x＋1|＋|x－1|，不等式f(x)＜4的解集为M. (1)求M；

(2)当a，b∈M时，证明：2|a＋b|＜|4＋ab|. 2x，x≥1，解：(1)由题意得f(x)＝2，－1≤x＜1，

－2x，x<－1.①当x≥1时，2x<4，解得1≤x＜2；

②当－1≤x＜1时，显然满足；

③当x＜－1时，－2x<4，解得－2＜x＜－1.

综上，不等式的解集M＝(－2，2)．

(2)证明：要证明原不等式成立，则需证明4(a2＋2ab＋b2)＜a2b2＋8ab＋16，

只需证明a2b2－4a2－4b2＋16＞0，

即需证明(a2－4)(b2－4)＞0.

因为a，b∈(－2，2)，所以a2＜4，b2＜4，

所以a2－4＜0，b2－4＜0，

所以(a2－4)(b2－4)＞0，所以原不等式成立．