1.3 二项式定理（通用）优秀教案案例

“杨辉三角”与二项式系数的性质

一、教学目标

1.知识与技能

(1)掌握二项展开式中的二项式系数的基本性质及其推导方法；

(2)了解“杨辉三角”的特征，让学生尝试并发现二项式系数规律；

（3）通过探究，掌握二项式系数的性质，并能用它计算和证明一些简单的。

2.过程与方法

通过对杨辉三角中蕴含的数字规律初步探究，培养学生发现问题、提出问题、经过分析——猜想——证明提高解决问题的能力，激励学生自主创新。通过不同的角度观察杨辉三角，培养学生要从多角度看问题的意识，提高学生解决实际问题的能力。

3.情感、态度与价值观

要启发学生认真分析书本提供的信息，从特殊到一般，归纳猜想，合情推理得到二项式系数的性质再给出严格的证明；鼓励学生在学习中学会交流、合作，培养学生团结协作的精神。同时，通过了解我国古代数学的伟大成就，培养学生的爱国情感。

二、教学重难点

1.重点

掌握二项展开式中二项式系数的性质，探讨“杨辉三角”中蕴含的数字规律，培养学生发现问题并运用所学的知识解决问题的能力。

2.难点

如何灵活运用展开式、通项公式、二项式系数的性质解题。

三、教学与教法

采用讲授法、讨论法、练习法、小组合作学习相结合的教学方法，学生更加感受到在互助中学习的重要性，突出学生的学，以学为本，因学论教。

四、教学用具

多媒体教学

五、教学过程

1

（一）温故知新

学生活动：学生回忆前面学过的相关知识，集体完成问题。

1．组合数的性质

2.二项式定理及其特例：

0n1n（1）(ab)nCnaCnab1（2）(1x)n1CnxrnrrCnabnnCnb(nN)，

rrCnxxn. rnrr3．二项展开式的通项公式：Tr1Cnab

4．求常数项、有理项和系数最大的项时，要根据通项公式讨论对r的限制；求有理项时要注意到指数及项数的整数性

设计意图：通过对学生已有的相关知识的调动，对本节课的学习起到承上启下的作用。

（二）新课讲授

1.“杨辉三角”

学生活动：学生独立完成问题一，主动发表自己的见解。

【问题一】计算(ab)展开式的二项式系数并填入下表

n 1 2 3 4 5 6 n(ab)

n展开式的二项式系数

设计意图：从学生已有二项式定理的知识及二项式系数的运算出发让学生通过填表发现二项式系数具有一定的规律。同时也让学生发现，这样的表格不利于发现二项式系数的其它性质，由此引发思考：如何对表格进一步整理，得到更方便观察二项式系数的数字规律的表格，由此自然引出“杨辉三角”。

2

通过填表，你发现了什么规律？

经过对表格中的数据整理后，我们得到一张形如三角形的非常优美的表。

这样的二项式系数表，早在我国南宋数学家杨辉1261年所著的《详解九章算法》一书里就出现了，我们把它叫做“杨辉三角”。

【问题二】观察“杨辉三角”，你能得到哪些数字规律？上表经过整理得到如下形式：

3

观察上表，你能得到表中蕴含的哪些数字规律？请把最后一行空缺的数据补充完整。

【问题三】请与同组的其它同学交流你的想法，并试着证明你们的猜想。

从不同的方向观察杨辉三角，你能发现什么数字规律？

【活动四】请各小组派代表发表你们的看法。

2、二项式系数的重要性质

（1）对称性：二项展开式中，与首末两端“等距离”的两项的二项式系数相等；即Cn=Cnmnm[来源:]

（2）增减性与最大值：二项式系数先增大后减小，中间取最大。

提示：（1）讨论Cn与Cn（2）讨论kk1的大小关系。 (nk1)与1的大小关系。

k（3）各项二项式系数的和：( a+b) n的展开式中的各个二项式系数的和为2n

分析：赋值法的应用。

3.典例分析

展题1．在(ab)n的展开式中，奇数项的二项式系数的和等于偶数项的二项式系数的和

0n1n证明：在展开式(ab)nCnaCnabrnrrCnabnnCnb(nN)中，0123令a1,b1，则(11)nCnCnCnCnn，

(1)nCn0213即0(CnCn)(CnCn)，

02∴CnCn13CnCn，

即在(ab)n的展开式中，奇数项的二项式系数的和等于偶数项的二项式系数的和．

02说明：由性质（3）及例1知CnCn13CnCn2n1. 展题2．已知(12x)7a0a1xa2x2a7x7，求

（1）二项式系数和 （2）奇数项的二项式系数和 （3）系数和

（4）a1a2a7； （5）a1a3a5a7； （6）|a0||a1||a7|.

4

解：（1）由性质（3）可得二项式系数和2n

（2）由例1可得，奇数项的二项式系数和为2n-12664

（3）当x1时，(12x)7(12)71，展开式右边为

a0a1a2a7∴a0a1a2a71，

（4）当x1时，(12x)7(12)71，展开式右边为

a0a1a2∴a0a1a2a7

a71，

a7112，

当x0时，a01，∴a1a2（5）令x1，

a0a1a2a71 ① 令x1，a0a1a2a3a4a5a6a737 ②

137①②

得：2(a1a3a5a7)13，∴

a1a3a5a7. 27（6）由展开式知：a1,a3,a5,a7均为负，a0,a2,a4,a8均为正，

∴由（2）中①+②

得：2(a0a2a4a6)137，

137∴

a0a2a4a6， 2∴|a0||a1||a7|a0a1a2a3a4a5a6a7

(a0a2a4a6)(a1a3a5a7)37

展题3：在(x2y)7的二项展开式中，（1）二项式系数最大的项 （2）系数最大的项

4解：（1）当n7时，C37与C7中间的两项最大

rnrrr4（2）通项公式Tr1Cn

x(2y)r，所以系数为Cn224C7点评:要把“二项式系数的和”与“各项系数和”,“奇(偶)数项系数和与奇(偶)次项系数和”严格地区别开来,“赋值法”是求系数和的常规方法之一. 4.课堂小结

本节课我们学习了以下内容：

（1）“杨辉三角”的数字规律；

5

（2）二项式系数的性质：

性质1：对称性，递推性，

性质2：各二项式系数的和，

性质3：二项式系数的增减性与最值

5.板书设计

2.1 “杨辉三角”与二项式系数的性质

一、“杨辉三角”

二、二项式系数的性质

1.对称性，递推性

2.各二项式系数的和

3.二项式系数的增减性与最值

三、应用

展题一

展题二

展题三

四、小结

六、课后作业

1.同步课时练第24-25页。

2.（2016年高考课标全国卷1）

(2xx)5的展开式中，x3的系数是_______（用数字填写答案）

七、课后延伸

杨辉三角奥秘无穷，只要大家从不同角度运用合情推理，一定会发现更多的规律。

八、教学后记

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二项展开式中的二项式系数都是一些特殊的组合数，它有三条性质，要理解 和掌握好，同时要注意“系数”与“二项式系数”的区别，不能混淆，只有二项式系数最大的才是中间项，而系数最大的不一定是中间项，尤其要理解和掌握“取特值”法，它是解决有关二项展开式系数的问题的重要手段。

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