2.3.4 圆与圆的位置关系课时教学实录

圆和圆的位置关系

河北衡水中学 刘静祎

教学背景：高一学生正处于形象思维向抽象思维过渡的阶段，过分抽象的问题，学生往往感到乏味而难以准确的理解。而多媒体具有形象、直观的特点，利用它为学生构建思维想象的平台，营造良好的学习氛围，充分调动学生学习的自觉性，引导学生积极地开展思维活动，主动地获取知识。符合学生认知规律。从具体事物到抽象理论。通过学生的直接感知去理解知识，用以达到以快乐的形式去追求知识的目的。

设计理念：学生的发展是新课程标准实施的出发点和归宿，课程改革的重点是面向全体学生，以学生的发展为主体，转变学生的学习方式。“圆与圆的位置关系”这一课题，以全新的自主的学习方式让学生接受问题挑战，充分展示自己的观点和见解，给学生创设一种宽松、愉快、和谐、民主的科研氛围，让学生感受“两圆位置关系”的探究发现过程，体验成功的快乐，为终身学习与发展打下基础。

教学目标：1、掌握通过圆心距d和两圆半径R、r的关系来确定两圆的位置关系，

2、解决在两圆不同的位置关系下，有关圆的问题。

能力目标：1、通过本节课的学习，可培养学生空间想象能力，观察能力、探索能力、数形结合能力、归纳概括能力，并以以上能力为载体培养学生思维能力及创新能力。

2、培养学生运用运动变化的观点来分析、探讨问题的能力。

情感目标：1、通过合作交流、自主评价，改进学生的学习方式，及学习质量，激发学生的兴趣，唤起他们的好奇心与求知欲，点燃起学生智慧的火花，使学生积极思维，勇于探索，主动地去获取知识。

2、让学生在猜想与探究的过程中，体验成功的快乐，培养他们主动

参与、合作意识，勇于创新和实践的科学精神。

教学重点：1、圆与圆位置关系的发现及确定方法。

2、解决在两圆不同的位置关系下，有关圆的问题。

教学难点:

圆与圆位置关系的数量关系的发现及应用。

教学过程：

一.复习提问

1．

提问：已知直线l:AxByC0和圆x2y2DxEyF0请同学们想想我们怎么样来确定直线和圆的位置关系？

2．

学生回答，并用多媒体显示直线和圆的三种位置关系：

rOdL图1图2Od=rL图3rOdL

3．由学生的回答并和学生一起总结出下列表格：

名称

几何关系

方程组

公共点

直线l

通过复习提问学生探索“圆与圆的位置关系”的判别方法作铺垫。

二.新课导入

1．用多媒体制作“日食”的变化过程。

2．提问这种现象是怎样产生的。让学生们讨论在变化过程中有哪些几何变化。

3．当学生答出现象产生的原因后，用动画演示“日食”形成的过程。

通过导入，使我们的数学课寓趣味于其中，既体现了与地理学科的整合又能激发学生的兴趣，唤起他们的好奇心与求知欲。

三.探索新知

图1 相离

d ＞r 无解

0

图2 相切

d ＝r 一解

1 切线

图3 相交

d ＜r 两解

2 割线

1、如果把月亮与太阳看成在同一平面内的两个圆，那么两个圆在作相对运动

的过程中有几种位置关系产生呢？请同学们回答。得到“相离，外切，相交，内切，内含”五种位置关系。

2、由多媒体演示两圆从外离到内含的五种位置关系的全过程。让学生们清晰

直观的理解两圆从相离到内含的变化过程，让学生们自己讨论可以用什么方法去判断两圆位置关系，去发现里面存在着哪些内在的联系。的关键点是要弄清圆心距与两圆半径之间的关系。

3让学生在猜想与探究的过程中，体验成功的快乐，培养他们主动参与、合作意识，勇于创新和实践的科学精神。

4通过分类，在多媒体中显示五种位置关系。

RO1rO2O1RrO2RO1rO2图1图2图3RrO1O2RO1rO2rRO1O2图4图5图6

图3 相交

名称

几何关系

公共点

名称

几何关系

公共点

图1 外离

图2 外切

O1O2Rr

0 图4 内切

O1O2Rr

1 图5 内含

RrO1O2Rr

2 图6 同心圆

O1O2Rr

1 0O1O2Rr

0 O1O20

0 5、结合学生自己的分析，确定判断两圆位置关系的关键是要弄清圆心距与两圆

半径之间的关系。

四．例题讲解

1：判断下列两圆的位置关系：

2（1）(x2)2(y2)21与（x2）(y5)216

（2）x2y26x70与x2y26y270

分析：要判断两圆的位置关系，关键是找到圆心距和两圆半径的数量关系。

解（1）：根据题意得，两圆的半径分别为r11和r24，两圆的圆心距d2(2)2(52)25

因为dr1r2，

所以两圆外切。

解（2）：将两圆的方程化成标准方程，得

x32y216，x2(y3)236

故两圆的半径分别为r14和r26，两圆的圆心距

d(03)2(30)232

因为4r1r2dr1r210

所以两圆相交。

通过本题使学生进一步巩固判断两圆位置关系的方法，并总结解题步骤。

CA(0,6)MO22yx例2：求过点A(0,6)且与圆C:xy10x10y0切与原点的圆方程。

分析：如图，所求圆经过原点和点A(0,6),且圆心必在已知圆的圆心和切点的连线上，根据这三个条件可确定圆的方程。

解：设所求圆的方程为(xa)2(xb)2r2

将圆C化为标准方程，得(x5)2(y5)250

则圆心为C(-5,-5),半径为52，

所以经过已知圆的圆心和切点的直线方程为所以经过已知圆的圆心和切点的直线方程为xy0。

由题意知，O(0,0),A(0,6)在所求圆上，且圆心(a,b)在直线xy0上，

(0a)2(0b)2r2a3.则有(0a)2(6b)2r2 解得b3.

ab0r32.所以所求圆的方程为：(x3)2(y3)218。

在例题讲解过程中尽可能让学生参与进来，让学生来讲，让学生去讨论，通过合作交流、自主评价，改进学生的学习方式，及学习质量，激发学生的兴趣，唤起

他们的好奇心与求知欲，点燃起学生智慧的火花，使学生积极思维，勇于探索，主动地去获取知识。

五．能

力

拓

展

1、

求点A(1,2)之距为1，且点B(3,1)之距为2的直线共有 2 条。

分析：因为到A点距离为1的直线都是以A为圆心，以1半径的圆的切线，到B点距离为2的直线都是以B圆心，以2半径的圆的切线，所以本题就转化为求两圆的公切线条数，因为两圆相交，显然，满足题意的直线有2条。

课堂练习：

1、若圆x2y2m与圆x2y26x8y110相交，求实数m的范围 1

L1YABxL2

2、已知以C(-4,3)为圆心的圆与圆x2y21相切，求圆C的方程。

解得：当两圆外切时(x4)2(y3)216.

当两圆内切时(x4)2(y3)236.

六．课堂小结

圆心距和半径的名称

公共点

两圆位置

关系

一圆在另一

相离

0 圆的外部

一圆在另一

外切

相交

内切

1 圆的外部

2 1 圆的内部

一圆在另一

内含

0 圆的内部

d

一圆在另一

d=R-r R-r

d>R+r