2.2.4 点到直线的距离优质课一等奖

【课题】8．3

两条直线的位置关系（二）

【教学目标】

知识目标：

（1）掌握两条直线交点的概念；

（2）了解点到直线的距离公式．

能力目标：

（1）通过解方程组求两条直线的交点坐标；

（2）利用公式计算点到直线距离，

（3）通过相关问题的计算，培养学生的计算技能及分析和解决问题的能力．

情感目标：

（1）体验“数形结合”研究问题的便捷，感受科学思维方法．

（2）经历合作学习的过程，尝试探究与讨论，树立团队合作意识．

【教学重点】

两条直线的位置关系，点到直线的距离公式．

【教学难点】

两条直线的位置关系的判断及应用．

【教学设计】

与倾角的定义相类似，本教材将两条直线夹角的定义建立在任意角定义的基础上．两条直线相交所形成的最小正角叫做这两条直线的夹角．同时规定，两条直线平行或重合时两条直线的夹角为零角，这样两条直线的夹角的范围是0,90．

教材采用“数形结合”、“看图说话”的方法，导入两条直线垂直的条件，过程简单易懂．两条直线垂直的实质就是这两条直线的夹角为90．运用垂直条件时，要注意斜率不存在的情况．

例4是巩固性题目．属于基础性题．首先将直线的方程化为斜截式方程，再根据斜率判断两条直线垂直是本套教材判断两条直线垂直的主要方法．

例5是利用垂直条件求直线的方程的题目，属于基础性题．首先利用垂直条件求出直线的斜率，然后写出直线的点斜式方程，最后将方程化为一般式方程．这一系列解题程序，蕴含着“解析法”的思想方法．

需要强调，点到直线的距离公式中的直线方程必须是一般式方程．

【教学备品】

教学课件．

第8章

直线和圆的方程（教案）

【课时安排】

2课时．(90分钟) 【教学过程】

教

学

过

程

*揭示课题

教师

学生

教学

时行为

行为

意图

间

介绍

质疑

引导

分析

了解

思考

启发

学生思考

0

5

8．3

两条直线的位置关系（二）

*创设情境

兴趣导入

【问题】

平面内两条既不重合又不平行的直线肯定相交．如何求交点的坐标呢？

图8－12 *动脑思考

探索新知

如图8－12所示，两条相交直线的交点P0，既在l1上，又在l2上．所以P因0的坐标(x0,y0)是两条直线的方程的公共解．此解两条直线的方程所组成的方程组，就可以得到两条直线交点的坐标．

观察图8－13，直线l1、l2相交于点P，如果不研究终边相同的角，共形成四个正角，分别为1、2、3、4，其中

讲解

说明

讲解

思考

思考

带领

学生

分析

1与3，2与4为对顶角，而且1+21800．

第8章

直线和圆的方程（教案）

教

学

过

程

教师

学生

教学

时行为

行为

意图

间

说明

理解

思考

理解

记忆

带领

学生

分析

引导

式启

发学

生得

出结

果

20

图8－13 我们把两条直线相交所成的最小正角叫做这两条直线的夹角，记作．

引领

规定，当两条直线平行或重合时，两条直线的夹角为零角，分析

显然，在图8－13中，1（或3）是直线l1、l2的夹角，

即1．

当直线l1与直线l2的夹角为直角时称直线l1与直线l2垂

直，记做l1l2．观察图8－14，显然，平行于x轴的直线l1与

平行于y轴的直线l2垂直，即斜率为零的直线与斜率不存在的

直线垂直．

仔细

因此，两条直线夹角的取值范围为[0,90]．

分析

讲解

关键

词语

图8－14

*创设情境

兴趣导入

带领

第8章

直线和圆的方程（教案）

教

学

过

程

【问题】

如果两条直线的斜率都存在且不为零，如何判断这两条直线垂直呢？

*动脑思考

探索新知

【新知识】

设直线l1与直线l2的斜率分别为k1和k2（如图8－15），若教师

学生

教学

时行为

行为

意图

间

质疑

讲解

说明

引领

分析

仔细

分析

讲解

思考

思考

理解

记忆

学生

分析

带领

学生

分析

引导

式启

发学

生得

出结

果

观察

思考

通过例题进一步领会

25

35

l1l2，则

l2

l1

8－15 BC，

k1tan1ABk2tan2tan(1803)tan3即

k1k21．

AB．

BC上面的过程可以逆推，即若k1k21，则l1l2．

由此得到结论（两条直线垂直的条件）：

关键

（1）如果直线l1与直线l2的斜率都存在且不等于0，那么

词语

l1l2k1k21．

（2）斜率不存在的直线与斜率为0的直线垂直．

*巩固知识

典型例题

例3

求直线x2y10与直线yx2交点的坐标．

说明

x2y10,解

解方程组

xy20,得

强调

引领

第8章

直线和圆的方程（教案）

教

学

过

程

x1,

y1,教师

学生

教学

时行为

行为

意图

间

讲解

说明

说明

强调

引领

讲解

说明

引领

讲解

说明

主动

求解

观察

思考

主动

求解

思考

主动

求解

通过例题进一步领会

注意

观察

学生

是否

理解

知识

点

45

所以两条直线的交点坐标为(1,1)．

【试一试】

已知直线3x4ya与直线2x5y10的交点在x轴上，你是否能确定a的值，并求出交点的坐标？

2例4

判断直线yx与直线6x4y10是否垂直．

322解

设直线yx的斜率为k1，则k1．

33直线6x4y10的斜率为k2．由6x4y10有

31yx，

24故

3k2．

2由于k1k21,所以l1与l2垂直．

【试一试】

请你判断，直线x2y10与直线xy1是否垂直？

【知识巩固】

例5

已知直线l经过点M(2,1)，且垂直于直线2xy10，求直线l方程．

解

设直线2xy10的斜率为k1，则k12．设直线l的斜率为k．由于l1l2，故k1k1，即

2k1，

由此得

1

k．

2又直线l过点M(2,1)，故其方程为

1

y1(x2)，

2即

x

– 2y

– 4 = 0．

*运用知识

强化练习

第8章

直线和圆的方程（教案）

教

学

过

程

1．判断下列各对直线是否相交，若相交，求出交点坐标：

（1）l1:x2y0，与

l2:2xy10；

（2）l1:yx1，与l2:xy40；

（3）l1:3x2y，与l2:y教师

学生

教学

时行为

行为

意图

间

提问

巡视

指导

思考

求解

及时

了解

学生

知识

掌握

得情

况

50

55 4x1．

32. 已知直线l经过点M(2,2)，且垂直于直线xy20，求直线l方程．

*创设情境

兴趣导入

【问题】

如何求出点P(2,3)到直线l:2xy10的距离d．

如图8－16所示，过点P作x轴与y轴的平行线，分别交直线l与点A、B，则A(1,3)，B(2,3)．容易求得

AP3，PB6，AB326235．

质疑

引导

分析

思考

启发

学生思考

所以，APB的面积为

11APPB369. 22因此P(2,3)到直线l:2xy10的距离为

S93d．

AB355Sy4321–4–3–2–12x-y-1=0BO–1–2–3–41234xCAdP

图8－16

理解

记忆

带领

学生

*动脑思考

探索新知

用同样的方法（过程略），可以求得点P0(x0,y0)到直线

总结

AxByC0的距离为

归纳

第8章

直线和圆的方程（教案）

教

学

过

程

A2B2公式（8.7）叫做点到直线的距离公式．

注意

应用公式（8.7）时，直线的方程必须是一般式方程．

Ax0By0C教师

学生

教学

时行为

行为

意图

间

总结

58

d （8．7）

*巩固知识

典型例题

例6

求点P0(2,3)到直线yx1的距离．

2分析

求点到直线的距离时，首先要检查直线方程是否为引领

一般式方程，若不是，则应先将直线的方程化为一般式方程，

然后利用公式（8.7）进行计算．

1解

直线方程yx化成一般式方程为

2讲解

2x2y10．

说明

由公式（8.6）有

222(3)132

．

d4

2222

例7

试求两条平行直线3x4y0与3x4y10之间

的距离．

引领

分析

由平面几何的知识知道，两条平行线间的距离，是

其中一条直线上的任意一个点到另一条直线的距离．为运算方

便，尽量选择坐标的数值比较简单的点．

解

点O(0,0)是直线3x4y0上的点，点O到直线讲解

3x4y10的距离为

说明

11d,

22534

1故这两条平行直线之间的距离为．

5

B(0,1)、C(1,1)，*例8

设△ABC的顶点坐标为A(6,3)、说明

求三角形的面积S．

强调

思考

主动

求解

思考

主动

求解

观察

思考

通过例题进一步领会

图8－17 解 由点A(6,3)、B(0,1)可得

AB(60)(31)213，

22

第8章

直线和圆的方程（教案）

教

学

过

程

直线AB的斜率为

k直线AB的方程为

教师

学生

教学

时行为

行为

意图

间

引领

分析

主动

求解

注意

观察

学生

是否

理解

知识

点

68 132，

0632

y(1)(x0)，

3即

2x3y30，

又AB边上的高为点C到直线AB的距离

2(1)3138．

d221323故三角形面积为

S182138．

213*运用知识

强化练习

1．根据下列条件求点P0到直线l的距离：

（1）P0(1,0)，直线4x3y10；

（2）P0(2,1)，直线2x3y0；

13（3）P0(2,3)，直线

yx．

222．求两条平行直线x3y60和x3y40之间的距离．

*理论升华

整体建构

思考并回答下面的问题：

两条直线垂直的条件？点到直线的距离公式？

提问

巡视

指导

思考

求解

及时

了解

学生

知识

掌握

得情

况

73

质疑

结论：

两条直线垂直的条件：

（1）如果直线l1与直线l2的斜率都存在且不等于0，那么

l1l2k1k21．

（2）斜率不存在的直线与斜率为0的直线垂直．

归纳点P0(x0,y0)到直线l：AxByC0的距离公式为

强调

dAx0By0CA2B2

回答

及时了解学生知识掌握情况

．

*归纳小结

强化思想

本次课学了哪些内容？重点和难点各是什么？

*自我反思

目标检测

本次课采用了怎样的学习方法？你是如何进行学习的？

引导

提问

回忆

反思

78

83

检验

学生

第8章

直线和圆的方程（教案）

教

学

过

程

你的学习效果如何？

*继续探索

活动探究

(1)读书部分：教材

(2)书面作业：教材习题8.3 A组（必做）；8.3 B组（选做）

(3)实践调查：编写一道两条平行直线的距离的问题并求解

【教师教学后记】

项目

教师

学生

教学

时行为

行为

意图

间

巡视

指导

说明

动手

求解

记录

学习

效果

分层次要求

88

90 反思点

学生是否真正理解有关知识；

学生知识、技能的掌握情况

是否能利用知识、技能解决问题；

在知识、技能的掌握上存在哪些问题；

学生是否参与有关活动；

学生的情感态度

在数学活动中，是否认真、积极、自信；

遇到困难时，是否愿意通过自己的努力加以克服；

学生是否积极思考；

思维是否有条理、灵活；

学生思维情况

是否能提出新的想法；

是否自觉地进行反思；

学生是否善于与人合作；

学生合作交流的情况

在交流中，是否积极表达；

是否善于倾听别人的意见；

学生是否愿意开展实践；

能否根据问题合理地进行实践；

学生实践的情况

在实践中能否积极思考；

能否有意识的反思实践过程的方面；

第8章

直线和圆的方程（教案）

第8章

直线和圆的方程（教案）