复习题特级教师教学实录

北师大版数学

八上第七章

««平行线的证明»»»习题课

教学设计

沈阳市第一二六中学

秦巍松

北师大版数学

八上第七章

«平行线的证明»习题课教学设计

一．教学目标

知识与技能

理解证明的必要性和设置基本事实的必要性,体会演绎推理的严谨性和结论的确定性,初步树立步步有据的推理意识,发展推理能力. 过程与方法

经历两直线平行的有关判定定理、两直线平行的有关性质定理、三角形内角和定理及其推论的证明过程,初步掌握综合法证明的格式;能利用这些定理解决简单的问题.

情感态度与价值观

初步感受公理化思想,以及公理化方法对数学发展和促进人类文明进步的价值.

二.教材分析

《标准》在“图形的性质”的有关要求中,比较多地使用了“探索并证明……”的表述,也就是要在一定的情境中,引导学生借助已有的知识和经验,借助图形的直观,通过操作、实验,运用合情推理或图形运动等方法,探索发现图形可能具有的性质,由于学生在七年级（下）已经学***行线的性质及判定，而且这些判别条件也比较简单，学生遗忘的可能性不大，因此，本章复习课主要是让学生们在自己熟悉的题型中找到一题多解和多题一解的思考方法，由以题论题过渡到以题论法，另外重视教材，重视基础知识的夯实和提炼也是本节课教学的宗旨，因此，不论是典型题型还是拓展习题一律要求学生先在教材去寻找，发现和提升。我想这也是我们基础教育工作者应该有的教育教学理念。从教材中来，回教材中去，由初学到总结，不是由刷题的方式让学生感受数学，而是在积极思考和主动寻找的过程中认识数学，感受数学，提高数学素养。

三．重难点分析

本节重点是1.在习题演练和推理证明的过程中明确证明的必要性和步步有据的证明方法。2.平行线的判定和性质和三角形内角和定理及推论的灵活应用。

难点是1.准确证明命题或定理.2.知识点之间的整合和在复杂的图形条件中对基本图形的辨识，了解由基本数学事实和定义和定理构建的基本几何模型。

四．教学建议

本章的多数结论之前已经探究过，因此推理能力的发展应贯穿于整个数学学习过程中,本章侧重于发展学生的演绎推理能力,但并不意味着不要关注合情推理,在解决问题的过程中,两种推理的功能不同,相辅相成.合情推理用于探索思路、发现结论;演绎推理用于证明结论.数学中关注这两种能力的发展,在关注证明的同时,也应尽可能创设探究活动、实践活动,在活动中发展学生的合情推理能力.因此应该对个别题目的解决既能举一反三，又能有效联想，在证明的初始阶段，要引导学生明确证明的出发点有哪些基本事实，概念，法则和定理，养成“步步有据”的证明习惯，了解并开始熟悉数学的语言系统，同时，要求学生认真阅读教材，整理知识点，归纳例题和习题，在寻找一道典型例题的过程中，即尊重学生的主体地位，又激发学生的主动参与，同时也深化了学生的学习体验。

五．教学过程设计

第一环节 知识回顾

师：同学们，我们刚刚结束了第七章平行线的证明的学习。今天这节课，我们一起来复习这一章的内容。按照复习课的常规要求，我们布置了两个作业。1阅读教材，整理知识结构图。在之前收集的作业中，我找到了比较有代表性的三个同学的作业。下面我们请三位同学和大家分享一下自己的知识结构图。

生：根据自己的理解整理思维导图，学生理解各异，但都能讲出自己的道理，并且可以互相比较交流，在比较的过程中优化自己的知识储备，学生在自我鉴赏和比较中强化了知识，体验了学习的乐趣。

师：以提问的方式总结旧知，或者借助学生整理的知识网络图，就势复习以下内容

1.请说出三个学过的定义，定理。

2.请说出本章涉及的三个互逆定理。（平行线的性质定理和判定定理）

3.三角形内角和定理是什么？如何证明的？（平行线的作用，可以把分散的元素集中在一个顶点处）

4.关于三角形的外角的定理定理有哪些？它有什么作用？（能解决角之间的不等关系，能表示分散的角之间的数量关系......）

设计意图：

学会研究教材，尊重教材，有条理的整理已经学过的知识，有助于知识在头脑中形成网状结构表象，帮助学生们迅速检索知识，适时深化知识，也为以后

学习养成好习惯，那就是学习先从教材开始，复习也从教材结束，它是基础，规范，准绳，依托。养成证明步步有据的说理方法就是从积累基本数学概念，定理，基本事实开始的，并且在相关内容旁画出对应的图形，从此走上数学建模的学习之路，从几何直观开始，到演绎推理结束，完成对证明的必要性的正确认知。

第二环节 典型例题

典型例题（一）

师：在这章的学习过程中，有好多题目给我们留下了深刻的印象。昨天布置的另一个作业是：你喜欢的有典型意义的好题是哪道？为什么？现在大家组内分享一下自己选择的习题，

生：选择平行线模型的理由；选择三角形内角和模型的理由。

师：同学们各自经历了分析和挑选都会有自己的想法。我这也有一道题要和大家分享，那就是这道题可以把这一章所有重要知识点都可以利用不同的解法用到证明过程中。

设计意图：学生的回答各种各样，但在说明理由的过程中，他们会能动的思考和梳理比较，虽然学生选择哪道题没有一定之规，教学也是动态生成的，因此教学中可以顺应学生现场的状况，及时进行调整。

另外，在数学学习中，认知驱动力是最重要的内部动力，且随着学生年龄增大而表现的越发明显。初中生会有这样的内驱力去勇于探索和发现，这样的问题正好满足了学生勇于尝试的愿望，使得学生在完成作业的过程中不停地去比较，发现，思考,增加了主观能动性的学习动力也潜移默化的强化了学习方法和习惯。同时，也会与其他同学分享成功和增加互动。学生发现的感兴趣的问题有几种，但无一例外必须围绕教材，说出理由。这就极大增加了大家的思考量，但从初一开始，每每复习一定会从教材开始已经成为常态教学，所以学生是可以积极应对这样的复习要求的，虽然找到的好题的标准不一样，理由也绝不雷同，但充满了个性化，是一个很好的交流平台。

师：我们在七年级已经学过了平行线的证明中三线八角的学习内容，在本章里，又出现了哪些新的学习内容和变化呢？那就是如果我们把截线“弯折”，那么分析和证明就又有了新的情况和方法。给学生演示动画，并一起分析第一道例题。

例：已知：如图，直线AB//ED. 求证：ABC＋CDE=BCD.

此时，可以给学生一些宽泛的指导，适当的用问题串引导学生回答并沿着正确的思维途径思考。这种做法虽然只针对学力比较薄弱的学生，但分析问题的方法却是每一位学生都可以借鉴的。

（1）由“两直线平行”可以得到那些结论？本题中条件运用的困难在哪里，如何更好地将条件用起来？

（2）结论是ABC＋CDE=BCD，能不能把BCD分解成两个小角，它们正好分别等于ABC,CDE？哪个定理涉及一个角等于两个角的和，能不能使用这个定理？

（3）你能想到几种证明方法？条件和结论对换，命题还成立吗？

（4）改变C点的位置，图形会发生变化，三个角之间的关系发生变化吗？

生：个人学习。

设计意图：

复习课中典型例题的选择不宜追求过深过难，而应当满足条件明晰，所提问题又能被大多数学生接受，并且有多样的求解方法，这样不仅能活跃课堂气氛，也能使不

同的学生获得成功的喜悦，在解决问题的过程中，应该关注学生是否能正确标图，这是学习推理证明的第一步，把已知条件标到图中的正确位置，不但可以更好地整合所有已知条件，分析问题，还能在接下来的分析中通过图中标注记录思路，另外学生口述证明过程也要正确运用数学语言，尽快掌握数学的语言系统，养成数学素养。此道例题是用辅助线突破难点的，可以用平行线把角集中在一个顶点处，也可以用辅助线把角集中在一个三角形内，也可以用三角形外角的相关定理来判断，同时改变条件结论，验证新的命题；或改变点C的位置，继续探索三个角的关系..........,用这种递进的方式提问也可以使不同层次的学生找到自己的突破口和锻炼思维的地方，

可以引导学生总结解题的方法，建立基本数学模型，总结此类模型的共性的解决方式，不断验证，尝试，变型，但不必提出过高的要求，给学生预留探索的空间，同时对探索精神予以肯定。同时，在条件和结论互换的过程中，强化第二节定义与命题的知识点。从习题课的角度看，选题是重点，处理是关键，让每一道题蕴含最大而有序的信息量是本节课选题的第一关注点；不以问题解决为唯一要求，以问题解决过程使学生的心智获得最大发展，以一个问题的解决获得对一类问题的求解策略的整体掌握为目的，是本节课问题处理上更主要的追求。

典型例题（二）

师：我还想和大家研究另一道题，这道题的图形在教材上高频出现，你们发现了吗？它在本章学习过程中一共以例题，习题的形式出现了七次，并且和刚才我们研究的

例题有着很多共性的东西，它是哪类图形呢？大家发现没有？刚才我们把平行线间的直线“弯折”，现在我们把三角形的一条边也进行同样的“弯折”，看看出现了什么新的图形和结论。演示动画，推出第二道例题。

设计意图：有效引起学生的好奇心和探索的乐趣，学生对课本的顺次复习已不感兴趣，一再刷题也会让学生不分主次，盲目解题，即达不到复习的效果，也会降低学生的学习热情。为了提高教学的有效性，我拿出教材和作业本，查阅了本章的知识点，觉得有两道有代表性的习题完全可以代表本章的诸多内容，引导学生对本章学习内容进行回顾和反思。

如果说前面的图形是“M”型，那么通过把三角形的一条边进行“弯折”，就变形为另一种图形结构，这就是我发现的第二个典型例题。它被我叫做“矛”形，实际上从数学的角度它叫做“凹四边形”（这个概念可以跟学有余力的学生渗透，但本教材中已知条件中涉及的四边形均指凸四边形，所以这里暂时称为“矛形”）

这道题的图形第一次出现是在三角形内角和定理的课后练习题里，接着在关于外角的两个定理的证明出现后作为例题出现，它的存在感极强，并且解法多样，题型多样，是一道值得去探索和追踪的好题。

外角的两个相关定理的证明比较简单，但相关练习就比较复杂，对应的图形也是。这道例题不但在图形结构上给学生渗透了运动的观点，而且也可以通过不断改变题干进行各种改变；同样这道问题解法多样，也可以通过一题多解开拓学生的思路。同时教材中也在课后习题中拓展了“矛形”模型问题的其余有效结论，让图形直观，

让解法多变，让思维开阔，同时衍生出内外角角分线的夹角问题，模型变得更加丰满，最后在总复习题的最后一道拓展到多角求和，这也是平时学生无从下手的一道难题，在循序渐进的道问题中，让学生的思维随知识的必然发展而不断深化，活化。

增加对复杂图形的分解能力，从问题个性中探求共性。所以，此题可分为三种题型研究学习：

（1）如图，求证：BCD=A+B+D

（2）如图a：BD平分ABC,CD平分ACB,试确定A和D的数量关系。

a

b

c （3）求图a五角星五个“角”的和；求图b中A+B+C+D+E=?

a

b

生：小组合作。

设计意图：这是一道可以一题多解的题，即可以联想到三角形的内角和定理和外角

的性质，将所求的角转化到一个或几个三角形中去，同时又可以直接利用凹四边形的几何模型直接使用其结论。学生们在变化的图形和条件中，把看似复杂的问题简化了，也会怀着愉快的心情继续探讨后面的问题。同时，仍可以引导学生们通过观察两道例题找到他们相同的解题思路和处理方法，在自己经历过的解决问题的活动中，交流自己所遇到的困难，克服困难的方法与过程及所获得的体会。由此，我们可以继续体会知识之间的联系和变化。对照以下三组图形，我们会发现研究的乐趣和探索知识的过程中用于尝试的胜利的喜悦，同时品味教材安排的严谨有趣。

师：刚才做过的两道例题同学们发现它们有什么联系了吗？那么如果我们把两条平行线通过旋转让它们相交，你能想象出它的样子吗？

由此可见，每一类习题之间都会由相同的知识点在图形和解法上有着各种各样的潜在联系。

对比以下图形，说一下你的想法。

生：用自己的语言概括概括两道问题的共同思路，找出相同的方法，提炼，生成，使用。

生：全班学习。

设计意图：在看似相似的图形和解法中，教师可以和学生共同探讨此类问题的解题关键和问题中所包含的基本数学知识和思想，感受解题方法的相同和不同之处，建立解决此类问题的信心。借助探究的背景，让学生沿着探究，发展，对应，构建的线索，展开对本节课基本知识，基本方法的全面探究。两道例题巧妙地串连了知识点，使知识系统化，同时也使同学们发现了专研教材的乐趣和认识到辅助线是联系命题的条件和结论的桥梁。

第三环节：针对训练

1.

如图，l1∥l2，∠1=105°，∠2=40°，则∠3=___________．

l1123l2

2.已知：如图，AB∥EF，∠B=25°，∠D=30°，∠E=10°，则

∠BCD=________．

ACDEFB

3.如图，在ABC中，ABC、ACB的平分线BE、CD相交于点F,ABC=42°,A=60°，则

BFC=______。

4.如图，在ABC中，A=60°,BD、CD分别平分ABC、ACB,M、N、Q分别在DB、DC、BC的延长线上，BE、CE分别平分MBC、BCN,BF、CF分别平分EBC,ECQ，则

F=______ ．

5.如图，

6. 如图，在

7.如图，是交于点，若

______。

中，，三角形的外角和的平分线交于点E，则

______ 的外角，的平分线与，则的度数为______ ．

的平分线交于点的平分线与的平分线

8. 如图，已知的和的平分线

______

交于点G，若，则

9. 如图，在中，、的平分线相交于点O

若，求的度数；

______ ；

若，则

______ ；

若，则如图，在中的外角平分线相交于点，求上面两题中的与有怎样的数量关系？

的度数；

10.如图，已知AB∥CD，现将一直角三角形PMN放入图中，其中∠ P=90°，PM交AB于点E，PN交CD于点F （1）当△ PMN所放位置如图①所示时，则∠ PFD与∠ AEM的数量关系为

；

（2）当△PMN所放位置如图②所示时，求证：∠ PFD﹣∠ AEM=90°；

（3）在（2）的条件下，若MN与CD交于点O，∠ DON=30°，∠ PEB=15°，则∠N的度数为

．

11.如图1，AB∥CD，直线EF交AB于点E，交CD于点F，点G在CD上，点P在直线EF左侧、且在直线AB和CD之间，连接PE、PG．

（1）求证：∠EPG＝∠AEP+∠PGC；

（2）连接EG，若EG平分∠PEF，∠AEP+∠PGE＝110°，∠PGC＝∠EFC，求∠AEP的度数；

（3）如图2，若EF平分∠PEB，∠PGC的平分线所在的直线与EF相交于点H，则∠EPG与∠EHG之间的数量关系为

．

12. 如图1，△ABC中，有一块直角三角板PMN放置在△ABC上（P点在△ABC内），使三角板PMN的两条直角边PM、PN恰好分别经过点B和点C．

试问∠ABP与∠ACP是否存在某种确定的数量关系？

（1）特殊探究：若∠A＝50°，则∠ABC+∠ACB＝

度，∠PBC+∠PCB＝

度，∠ABP+∠ACP＝

度；

（2）类比探索：请探究∠ABP+∠ACP与∠A的关系．

（3）类比延伸：如图2，改变直角三角板PMN的位置；使P点在△ABC外，三角板PMN的两条直角边PM、PN仍然分别经过点B和点C，（2）中的结论是否仍然成立？若不成立，请直接写出你的结论．

13.（Ⅰ）如图①，△ABC是锐角三角形，高BD、CE相交于点H，求出∠BHC与∠A的数量关系；

（Ⅱ）如图②，△ABC是钝角三角形，∠A＞90°，高BD、CE所在的直线相交于点H，把图②补充完整，并说明∠BHC与∠A的数量关系与（1）中的结论是否一致．

14.如图1，△ABC中，∠A＝n°，∠ABC、∠ACB的角平分线交于点O．

（1）求∠BOC的度数（用n的代数式表示）；

（2）如图2，过点O的直线EF分别交ACAB于点E、F，∠FEC与∠EFB的平分线交于点D，则∠BOC与∠EDF有怎样的数量关系，请说明理由．

15.已知在ABC中，BD平分ABC,CD平分ACB,BD,CD交于点D,EF过点D交AB 于点E，交AC于点F. （1）如图1，若EF//BC,则BDE+CDF的度数为___________。（用含有A的代数式表示）

（2）当直线EF绕点D旋转到如图2的位置时，（1）中的结论是否成立？请说明理由。

（3）当直线EF绕点D旋转到如图3的位置时，（1）中的结论是否成立？若成立，请说明理由；若不成立，请求出BDE,CDF与A之间的关系。

图1

图2

图3

第四环节：反思积累

师：本章的复习课我们只侧重了两道有代表性的习题进行了深入的分析和讲解，同学们从研究，积累，观察，验证等一系列数学活动学习了如何做好复习的第一步。那么总结反思，积累经验就是我们接下来要交流的内容。

生：知识点：证明不但是必要的而且要做到“步步有据”，证明的依据就是定义，公理和定理，推论。

重点：准确理解证明的依据，并且在条件和结论中有效连接和有效联想。

易错点：图形信息掌握的不太准确，数学语言的使用和逻辑思维能力差。

思想方法：转化思想，方程思想，分类讨论思想

经验：建立平行线模型和凹四边形模型；辅助线是使问题得以解决的重要

桥梁；由一般到特殊，由特殊到一般，由条件到结论由结论到条件，每道题都会递进式的进行演变，但万变不离其宗。

师：当然，大家发现和有深刻体会的题不止这两道，回去之后也要按照刚才的学习模式进行复习。本章的经典好题肯定会在大家的发现中继续出现和积累，今天的作业就是这样的：（1）还有哪道习题让你印象深刻？深刻的理由是什么？（2）在课后练习中仍有此类问题和相同的收获吗？（3）你的收获是什么？

生：完成对这一章学习和复习的自我评价。

设计意图：引导学生学会读书，读一读（教材），做一做（习题），写一写（反思）。也便于学生学会自己建构知识，查缺补漏，积累经验。

教学反思：初中数学单元复习在初中数学教学过程中具有十分重要的意义。它首先不是单纯的习题课，不应该通过大量的做练习让学生的学习简单的停留在对表面的模仿和操练上，另外离开教材学习的简单粗暴的刷题行为也会让一部分学生毫无感情的感受数学的博大精深和生动有趣，这些行为不但伤害了学生数学学习的热情也同样会使老师的付出成为冷冰冰的知识的搬运工。所以，感受，喜欢，爱，投入，这样复杂的情感也同样会让数学人改变自己的教法和学生的学法，那就是需要过程体会，需要时间反思，需要教材整合，需要感情磨合。所以，给他们时间，数学才能生长。本章习题课不同于回顾与思考，更多的侧重于习题本身所体现的诸多数学思想和方法，对前两节的复习在回顾与思考的课型中体现的更多一些，因此本节复习关注知识的应用，归纳和构建，力求更好的实现课程标准的要求。