利用两个一次函数的图象解决问题教案和学案内容

教学设计

利用两个一次函数的图象解决问题

抚顺市第五十中学

翟树艳

课题：利用两个一次函数的图象解决问题

一、

背景分析

1．

教材分析

已经分别学习了一次函数和二元一次方程组，这节课研究二元一次方程组（数）和一次函数（形）的关系，是这两章知识的综合运用。强化了部分与整体的内在联系，知识与知识的内在联系，通过本节课的学习，学生不仅能从函数的角度动态地分析方程（组）、不等式，提高认识问题的水平，而且能感受数学的统一美。并为今后解析几何的学习奠定基础。

2．学情分析：

对于认知主体——学生来说，在学习本课之前，学生已经系统学习了一元一次方程、二元一次方程组、一元一次不等式、一次函数等内容，他们已经具备了初步探究问题的能力，但是对知识的主动迁移能力较弱，为使学生更好地构建新的认知结构，促进学生的发展，我在教学中采用探究式教学法。以学生为中心，使其在“生动活泼、民主开放、主动探索”的氛围中愉快地学习。通过本课的学习，可以帮助学生理解一次函数与二元一次方程(组)的关系，进一步掌握利用函数、方程(组)解决问题的方法，渗透转化意识。要让学生认识到这部分内容并非是在重复已会的知识，而是站在更高的角度去重新认识它们，是为了建立数学知识间的内在联系，从而真正产生学习的需求。学完本节课后，学生能够较为初步地从运动变化的角度，用函数的观点加深对已经学习过的方程(组)、不等式等内容的认识，发展并完善其相互联系的知识体系。同时在本课的学习过程中，也涉及了对二元一次方程组解的情况与同一平面内两条直线不同位置之间的对应关系的讨论，进一步渗透数形结合的数学思想，为高中解析几何的学习做一些铺垫。

二．教学目标设计

本节课是在前两节课已经学完了一次函数、一元一次方程与一元一次不等式的联系之后，对一次函数与二元一次方程(组)关系的探索，是对一次函数及其相关内容更深入更全面的学习，也是对这部分内容的一个提升和总结。基于以上对教学内容的理解，结合我所教学生的特点和他们已有的知识水平，我确定了本课的三维教学目标。

1．知识与技能: 理解一次函数与二元一次方程（组）的关系，会用图象法解二元一次方程组。

2．过程与方法：经历图象法解方程组的探究过程，学习用函数的观点看待方程组的方法。

3．情感、态度与价值观：感受数形结合的思想方法，学习用联系的观点看待数学问题的辩证思想。

重点：探索一次函数与二元一次方程（组）的关系

教学难点：方程和函数之间的对应关系即数形结合的意识和能力。

教学方法：学生操作------自主探索的方法

学生通过自己操作和思考，结合新旧知识的联系，自主探索出方程与图象之间的对应关系，以引入二元一次方程组的图象解法，同时也建立了“数”----二元一次方程组和“形”----函数的图象（直线）之间的对应关系，培养了学生数形结合的意识和能力。

三、课堂结构设计

考虑学生已有的认知结构，创设情境，引出方程模型，使学生主动投入到一次函数与二元一次方程（组）关系的探索活动中；紧接着，用一连串的问题引导学生自主探索、合作交流，从数和形两个角度认识它们的关系，使学生真正掌握本节课的重点知识。在探究过程中，教师应把握好自己组织者、引导者和合作者的身份，及时对学生进行鼓励，关注学生的情感体验。

活动1 问题引入，初步感知。

活动2 探索二元一次方程与一次函数的对应关系。

活动3 探索二元一次方程组与一次函数之间的关系。

活动4 运用函数的方法解决实际问题。

活动5 巩固练习，深化理解。

活动6 归纳小结，布置作业。

四、教学媒体设计

多媒体辅助教学、投影仪

五、教学过程设计

本节课的设计力求通过身边数学、享受探究乐趣、体验成功喜悦、分享你我收获，贯彻数学课程标准的精神，贯彻“以学生发展为本”的科学教育观。贯穿一个原则——以学生为主体的原则，突出一个思想——数形结合的思想，体现一个价值——数学建模的价值，渗透一个意识——应用数学的意识。

活动一：问题引入，初步感知。

你知道这些是什么？

1(1)x2y2 （3）2x —y=2 (4) y=2x — 2 (2)yx12

38(5)

3x+5y=8 (6)yx55

任意的二元一次方程是否都能转化成y=kx+b的形式呢？

请同学回顾旧知识，看屏幕思考新问题．学生从不同的角度分析，感知任意的一个二元一次方程都可以转化成y=kx+b的形式，体会二元一次方程与一次函数存在联系。设置问题，初步感知二元一次方程与一次函数存在关系，为进一步探索作好铺垫。

活动二：探索二元一次方程与一次函数的对应关系。

在坐标系中画出一次函数y= 2 x - 2 的图象.思考:在直线 y= 2x - 2 上任取一点( x,y ),则一定是方程2x-y=2的解吗?为什么? 学生画图，探索，归纳出任意一个二元一次方程都可以转化为y=kx+b的形式，所以每个二元一次方程都对应一个一次函数，于是也对应一条直线。

在学生已有的画一次函数图象的基础之上，探究出一个二元一次方程对应一个一次函数，培养数形结合的思想。

活动三：探索二元一次方程组与一次函数之间的关系。

探究二元一次方程组

2xy2

x2y2y12x1

的解与两个一次函数y=2x—2和 的关系如何？

教师留给学生充分探索交流的时间与空间，对学生可能出现的疑问给予帮助，学生通过画图，计算，

探究二元一次方程组的解与直线交点坐标的关系，相互交流，共同归纳出每个二元一次方程组对应两个一次函数，于是对应两条直线。从“数”的角度看，解方程组相当于考虑自变量为何值时两个函数的值相等，以及这个函数的值是何值；从“形”的角度看，解方程组相当于确定两条直线交点的坐标．

利用函数图象解方程组

2xy0



3x2y7

学生思考练习，进行解答，理解感受解法的全过程，教师进行指导。通过设置问题，帮助学生体会二元一次方程与一次函数的对应关系；帮助学生感受一次函数图象上的点与二元一次方程的解的对应关系，学生独立完成画图，相互交流观察与思考的结果.教师巡视，对学生在交流过程中可能出现的疑问给予帮助.师生共同归纳得到，每个二元一次方程组对应两个一次函数，于是也对应两条直线.从形的角度看，解二元一次方程组相当于确定两条直线交点的坐标. 用作图象的方法解方程组，这体现了两个知识点的内在联系。学数学知识，探索知识点之间的联系，可起到化新为旧的作用，达到事半功倍的效果。逐步让学生学会这种学习新知识的技巧。培养学生主动探究的意识，从数和形的角度去认识一次函数与解二元一次方程组的关系。

活动四：运用函数的方法解决实际问题。

例 一家电信公司给顾客提供两种上网收费方式：方式A以每分0.1元的价格按上网时间计费；方式B除收月基费20元外再以每分0.05元的价格按上网时间计费．上网时间为多少分，两种方式的计费相等？

追加问题：如何选择收费方式能使上网者更合算？

教师首先引导学生分析得到收费方式的选择与每月上网时间x（分）有关，学生从不同的角度思考，建立一元一次方程，二元一次方程组，一次函数不同的数学模型，得到不同的解决问题的方法。教师然后深入小组参与讨论，帮助学生建立函数模型，得到不同的解决方法，追加的问题突出函数图象的直观性。展示规范解答。

解：设上网时间为x分，若按方式A则收y=0.1x元；若按方式B则收y=0.05x+20元．

在同一坐标系中分别画出这两个函数的图象．

解方程组

因此，当上网时间为400 分时，两种方式的计费相等．

结合图象，利用直线上点位置的高低直观地比较函数值的大小，得到当一个月内上网时间少于400分时，选择方式A省钱；当上网时间等于400分时，选择方式A、B没有区别；当上网时间多于400分时，选择方式B省钱。

每个二元一次方程组都应两个一次函数，故也对应两条直线．从“数”的角度看，解方程组相当于考虑自变量为何值时两个函数的值相等，以及这个函数的值是何值；从“形”的角度看，解方程组相当于确定两条直线交点的坐标．在此活动中，教师应重点关注：（1）学生是否能建立方程和函数模型；（2）学生能否利用作差的方法去比较两个函数值的大小；（3）学生是否能得到所画的函数图象是射线；（4）学生是否能利用图象，从函数的角度去分析，从而选择合适的收费方式综合运用一次函数，二元一次方程（组）解决实际问题，学会用函数的观点认识问题，体会数形结合的优越性。

通过综合运用一次函数、一元一次方程、一元一次不等式、二元一次方程（组）解决实际问题，让学生体会方程组、不等式与函数之间的相互联系，学会用函数的观点认识问题.解决问题时，应根据具体情况灵活地选择数学模型并把它们有

机地结合起来.通过让学生独立思考、分组讨论和互相补充，培养学生的合作意识和多角度解决问题的能力

活动五：深化理解。

393l1:yxl2:yx61．在直角坐标系中有两条直线 和 ， 255它们的交点为P，第一条直线 l1 与x轴交于点A，第二条直线 l2 与X轴交于点B，（1）求A，B两点的坐标； （2）求

△PAB的面积。

2．两种移动电话计费方式：

方式一

方式二

y0.1xy0.05x20，得x400y40，所以两函数图象交于点（400，40）．

30元／月租费

0 月

本地通0.30元0.40元话费

／分

／分

用函数方法解答何时两种计费方式费用相等. 通过这个活动让学生进一步理解方程组、不等式与函数之间的联系。学生思

考练习，进行解答，理解感受解法的全过程，教师进行指导。运用函数模型解决问题，强化二元一次方程组与一次函数的联系。巩固练习，让学生进一步理解二元一次方程组与一次函数之间的联系，体会数形结合思想。

活动六：

归纳小结，布置作业。

畅谈本节课的收获

1.

一次函数与二元一次方程组的关系,从数和形的角度去看二元一次方程组. 2.

用图象法解方程组的步骤

(1)将方程组中各方程化为y=kx+b的形式

(2)画出各个一次函数的图象. (3)由交点坐标得出方程组的解. 通过学生的畅所欲言,小结本节的主要内容和思想方法,使所学知识系统化,培养学生善于反思的习惯. 通过小结明确本节的主要内容、思想和方法，培养学

生善于反思的良好习惯.。巩固本节所学知识，并能解决实际问题。在此活动中，教师应重点关注：（1）积极评价不同层次的学生对本节内容的不同认识.（2）学生对本节内容的整体感受，能否从不同角度去理解一次函数与二元一次方程（组）的关系。

作业.P129 5.6.9及时反馈,巩固所学知识. 六．教学评价设计

对学生数学学习效果的评价，即关注学生对知识的理解和掌握，更关注他们情感与态度的形成和发展，即关注数学学习的结果，更关注学习的过程。主要评价学生的参与程度，活动中的思维方式，与同学合作交流的情况，把学生自评，学生互评，教师评价结合起来，实现评价主体多元化。课堂中采用口答，观察，书面作业等评价方式，多层面了解学生，尊重个体差异，对不同学生提出不同要求。

函数、方程和不等式都是人们刻画现实世界的重要数学模型.用函数的观点看方程（组）与不等式，使学生不仅能加深对方程（组）、不等式的理解，提高认识问题的水平，而且能从函数的角度将三者统一起来，感受数学的统一美.本节课是学生学习完一次函数与一元一次方程及一元一次不等式的联系后对一次函数和二元一次方程（组）关系的探究，使学生找到了一次函数与二元一次方程（组）间的联系，并很好地应用到了实际当中，加强了知识间的联系，达到了函数与旧知识的融会贯通．学生在探索过程中体验数形结合的思想方法和数学模型的应用价值，加大对相关内容间的内在联系的认识，加强知识间横向与纵向的融会贯通，提高灵活分析和解决问题的能力。

本节课通过设置问题链和探究活动，激发学生的求知欲，使学生在老师的启发引导下，通过自主探究、合作交流、观察发现、归纳总结学习新知。在整节课的教学中，教师始终扮演学生学习的组织者、指导者和欣赏者的角色，鼓励学生积极参与数学活动，敢于探究、猜想，在学习过程中勇于表达自己的观点。这对今后的学习有着十分重要的意义.