阅读与思考 海伦和秦九韶优秀教案设计

人教版普通高中课程标准实验教科书必修5 第一章

解三角形

1.2阅读与思考

海伦与秦九韶

四川省丹棱中学校

张丽

一、教材分析

本节内容选人教A版普通高中数学必修五的阅读与思考“海伦与秦九韶”。

主要是学习如何利用三角形三边求其面积，属于拓展学生知识宽度和思维活跃的课程。在初中数学八年级下《二次根式》这一章，海伦—秦九韶公式以阅读与思考的形式出现，但《初中数学新课程标准》中并没有作要求。在必修四中，学生学习了同角三角函数的基本关系，学生有了利用公式进行正、余弦之间相互转化的工具。在必修五第一章《解三角形》中，学生已经学习了余弦定理及余弦定理的推论和利用三角形两边及其夹角表示三角形的面积，为本节课提供了理论依据，为学生的思维发展提供了很好的空间和平台。

本节课内容在教材中虽然只是一个阅读材料，但是是三角形面积公式的延续与拓展，意在补充课外知识，为解决问题提供更多方法和思路，陶冶学生的数学情操，感受数学的魅力，培养学生对数学的兴趣，发扬数学文化，让学生享受其中的中西方文化盛宴，教师要注意引导学生观察、思考、对比、转化与化归，寻找解决问题的思路。

二、学情分析

学生已经学习了同角三角函数的基本关系，也学习了余弦定理及余弦定理的推论和利用三角形两边及其夹角表示三角形的面积，具有一定的运算能力和推理能力，初中对海伦秦九韶公式也有所了解，但

是公式的来由还不甚清楚，本着“纸上得来终觉浅，绝知此事要躬行”的原则，追根寻由，同时注重对学生数学文化素养的培养。

三、教学目标

1.知识与技能

（1）掌握海伦公式和三斜求积，学会利用三角形三边求其面积。

（2）理解海伦公式与三斜求积之间的关系，明白它们之间的数学本质是一样的。

（3）应用海伦公式与三斜求积解决实际问题。

2.过程与方法：通过海伦—秦九韶公式的证明，感受观察、思考、对比、转化与化归等数学思想，逐步培养学生分析问题和解决问题的能力。

3.情感态度

（1）从不同的文化中感受数学文化的丰富内涵，体会中西方文化的多样性，体会到数学的不变性。

（2）从海伦公式中体会到数学公式的简洁美。

四、教学重、难点

1.重点：掌握海伦公式与秦九韶公式的证明及应用

2.难点：理解海伦公式与秦九韶公式之间的联系

五、教法、学法

教学

流程

情景设计

设计意图

引导回忆角形的两边以及夹角推导出的求三角形面积的公式。

问题1：上节课我们推导了三角形的面积公式：

起已知三S111acsinBabsinCbcsinA

222复习问题2：余弦定理的推论

回顾

b2c2a2a2c2b2cosA

cosB

2bc2aca2b2c2cosC

2ab

1.我国古代传统数学文化介绍

秦九韶（约1202-1261），字道古，四川安岳人。南宋官员、著名数学家，著有巨著《数书九章》，《数书九章》是对《九章算术》的继承和发展，情境在《数书九章》中给出了用三角形的三边表达三问题角形的面积的公式——三斜求积术。

引入

2. 提出问题

《数书九章》卷五“田域类”里有一个题目：“问利用数学史吸引了学生的兴趣，并且对相关人物的介绍，可以更好的了解相关的数学历史，激发学生的学习兴趣

沙田一段，有三斜，其小斜一十三里，中斜一十

四里，大斜一十五里。里法三百步。欲知为田几

何。”讲的是有一个三角形沙田，三边分别为13

里，14里，15里，则该沙田的面积为多少。

①你能转化以上数学语言为图形吗？

②你能否直接运用含三角形三边的公式求出三

秦九韶公式

角形的面积？

3.三斜求积术

教师引导学生通过已学的面积公式求解问题

1∵S△ABC=2acsinB（sinB>0）①

由已有知识推导秦九韶公式，培养学生的分析问题能力和运算能力，培养学生的转化和化归思想。

sinB=1cos2B

②

a2c2b2cosB2ac

③

将②③代入①得到

1c2a2b22122(c2a2b2)2Sac1()]ac[1]

2222ac44ac122c2a2b22[ca()]

42秦九韶的“三斜求积”虽然从三角形三边求出了三角形的面积，可是三斜求积形式较为繁琐，公式不简洁，也不便于记忆。

1.

海伦公式历史介绍

无独有偶的是，在世界上的另一个国度的另一个数学家，也同样求出了已知三角形三边求面积的公式，他就是古希腊的数学家海伦，海伦在其著作《测地术》中就记载了从三角三边求面积的一个公式减每一条边后的乘积，可以发现，海伦求出的这个公式比秦九韶的三斜求积形式漂亮多了，特别简洁，也便于记忆。

海伦公式的引入，西方数学史与数学文化的介绍，进一步吸引兴趣。

海

伦

公

式

问：海伦公式与三斜求积同样是已知三角形的三

边求三角形的面积的公式，那么这两条公式有没

有什么样的联系呢？

由秦九韶公式推导1c2a2b22122c2a2b221c2a2b2c2a2b2Sac1()][ca()](ca)(ca)海伦公式，22ac42422培养学生12ac-(c2a2b2)2ac+c2a2b2()的转化和422化归思想。

22222.

海伦公式与三斜求积的联系

1b-(ac)(ac)b4221(b-ac)(b+ac)(acb)(acb)422b-acb+acacbacb2222abcp2b-acb+acacbpa,pc,pb222S=p(pa)(pb)(pc)3. 文化盛宴

中西方的文化虽然不同，但知识确是融会贯通的，可以看到海伦公式与三斜求积形式上是不一样的，但通过等式变形，可以看到他们的本质却是一样的。海伦公式与三斜求积的提出，无疑是两个不同时空的伟大数学家之间的完美交流。同时，我们也可以看到数学在变化中的不变性。这两个数学家真的给我们带来了一个丰厚的文化盛宴

c=8，例1：在ABC中，若a+b=12，请用海伦公式求ABC面积的最大值.

S=p(pa)(pb)(pc)20(10a)(10b)

通过具体

225(10a)(a2)25a12a20问题，分析题目中的

已知量，结25(a-6)216,a(0,12)合公式解公式

决问题，提当a6时，S有最大值，Smax=85高学生分应用

解例2：在ABC中，若b2，sinC3sinA，请用秦九析问题，决问题的韶公式（三斜求积术）求ABC面积的最大值.

能力。

解：

abcab12，p102【解析】由sinC3sina得a3c，

S122a2c2b2212a23a2222[ac()][a3a2()]

4242111[3a4(4a48a24)](a48a24)(a24)23444

当a24即a2时，Smax3. 小结1.

海伦公式：S=p(pa)(pb)(pc)

归纳

2.

秦九韶公式（三斜求积术）

122c2a2b22S[ca()]

42使学生对自己所学知识有更深刻的认识。

课

后

作

业

见PPT 作业是课堂的延续，除了检验学生对本节课知识的理解程度，还在于引导学生对本课知识的进一步探究思考。