2.2.1 综合法和分析法教学实录及点评

综合法和分析法教学设计

课题

综合法和分析法

课型

新授课

知识与技能：了解直接证明的两种基本方法：综合法和分析；

过程与方法：通过对实例的分析、归纳与总结，增强学生的理性思维能力，使学生体会证明的必要性，并增强他们分析问题、解决问题的能力；

教学目标

情感、态度与价值观：通过本节课的学习，了解直接证明的两种基本方法，感受逻辑证明在数学及日常生活中的作用，养成言之有理、论之有据的好习惯，提高学生的思维能力；

教学重点：

重点

难点

综合法和分析法的思维过程及特点

教学难点：

综合法和分析法的应用

教具

多媒体

准备

课时

1 安排

教学方法、教学教学过程与教学内容

手段与学法、学情

（一）创设情境、引入新课

证明对我们来说并不陌生，我们在上一节学习的合情推理，所得的结论的正确性就是要证明的，并且我们在以前的学习中，积累了较多的证明数学问题的经验，但这些经验是零散的、不系统的，这一节我们将通过熟悉的数学实例，对证明数学问题的方法形成较完整的认识．

（二）新课讲授

合情推理分为归纳推理和类比推理，所得的结论的正确性是要证明的，数学中的两大基本证明方法——直接证明与间接证明.

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一. 综合法

1.定义

：从命题的条件出发，利用定义、公理、定理及运算法则，经过一系列的推理论证，最后推导出所要证明的结论成立.

2.思维特点：

由因导果，即由已知条件出发，利用已知的数学定理、性质和公式，推出

结论的一种证明方法

3.框图表示：

(P表示已知条件、已有的定义、定理、公理等,Q表示要证明的结论)

二.分析法

1.定义：一般地,从要证明的结论出发,逐步寻求使它成立的充分条件 ,直至最

问题1：已知a,b0，求证：a(bc)b(ca)≥4abc

法一：∵bc≥2bc,a0, ∴a(b2c2)≥2abc.又∵c2a2≥2ac,b0, ∴b(c2a2)≥2abc∴a(b2c2)b(c2a2)≥4abc

222222

法二：要证：a(bc)b(ca)≥4abc

只要证：a(b2c2)≥2abc,b(c2a2)≥2abc

∵a0,b0∴只要证：b2c2≥2bc,c2a2≥2ac

又∵a0,b0,c0，∴b2c2≥2bc,c2a2≥2ac∴得证. 2222后,把要证

明的结论归结为判断一个明显成立的条件(已知条件、定理、定义、

公理等)为止,这种证明方法叫做分析法.

2. 思维特点：执果索因步步寻求上一步成立的充分条件，它与综合法是对立统一的两种方法

3.框图表示：

（三）深度剖题

法1：已知a,b0，求证：a(bc)b(ca)≥4abc

证明：∵bc≥2bc,a0, 2222∴a(bc)≥2abc.又∵ca≥2ac,b0, 22

2222

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∴b(c2a2)≥2abc∴a(b2c2)b(c2a2)≥4abc

象这种利用已知条件和某些数学定义、公理、定理等，经过一系列的推理论证，最后推导出所要证明的结论成立，这种证明方法叫综合法.(又称顺推证法)

PQ1Q1Q2...QnQ

特点:由因导果(浮想联翩,尝试前进!)

法2：已知a,b0，求证：a(bc)b(ca)≥4abc

2222

证明：要证：a(b2c2)b(c2a2)≥4abc

只要证：a(bc)≥2abc,b(ca)≥2abc

∵a0,b0∴只要证：b2c2≥2bc,c2a2≥2ac

又∵a0,b0,c0，∴b2c2≥2bc,c2a2≥2ac∴得证. 2222

象这种从要证明的结论出发，逐步寻求使它成立的充

分条件，直至最后，把要证明的结论归结为判定一个明显

成立的条件（已知条件、定理、公理等）为止.这种证明方法叫做分析法. (又称倒推证法)

QP1P1P2显然成立的条件

特点:执果索因(执果索因,妙在转化!)

（四）课堂训练

ab(a0,b0)?

1:分别用综合法、分析法证明基本不等式ab≤2

2、求证：67225

3、求证：aa1a2a3(a3)

4、已知

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1tana1,求证：3sin2a4cos2a

2tana

（五）小结

（六）布置作业

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板

书

教学

反思

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