复习参考题主要内容及教案内容

《数系的扩充与复数的引入》小结与复习

一、教学目标：

1.理解复数的基本概念及复数相等的充要条件；

2．了解复数的代数表示法及其几何意义；

3．会进行复数代数形式的四则运算；

4．了解复数代数形式的加、减运算的几何意义．

二、教学重难点：

重点：复数的概念和四则运算

难点：复数的代数表示法及其几何意义，复数代数形式的加、减运算的几何意义

三、教学过程：

（一）[知识梳理] (1)复数的定义

形如a＋bi(a，b∈R)的数叫做复数，其中实部是1________，虚部是2________(i是虚数单位)．

(2)复数的分类

复数z＝a＋bi(a，b∈R)

(3)复数相等

a＋bi＝c＋di⇔6________(a，b，c，d∈R)．

(4)共轭复数

a＋bi与c＋di互为共轭复数⇔7_____(a，b，c，d∈R)．

(5)复数的模

→向量OZ的模叫做复数z＝a＋bi的模，记作8________或9________，即|z|＝|a＋bi|＝r＝a2＋b2(r≥0，a，b∈R)．

(6)复平面的概念

建立10________来表示复数的平面叫做复平面．

(7)实轴、虚轴

在复平面内，x轴叫做11________，y轴叫做12________，实轴上的点都表示13________；除原点以外，虚轴上的点都表示14________. (8)复数的几何表示

(9)运算法则

设z1＝a＋bi，z2＝c＋di(a，b，c，d∈R)，则

运算名称

加减法

乘法

符号表示

z1±z2＝(a＋bi)±(c＋di)＝15______

z1·z2＝(a＋bi)(c＋di)＝16________

语言叙述

把实部、虚部分别相加减

按照多项式乘法进行，并把i2换成－1

z1a＋biz2＝c＋di

除法

a＋bic－di＝

c＋dic－diac＋bdbc－ad＝2＋i(c＋di≠0)

c＋d2c2＋d2(10)复数加法的运算律

设z1，z2，z3∈C，则复数加法满足以下运算律：

①交换律：z1＋z2＝17________；

②结合律：(z1＋z2)＋z3＝18________. 质疑探究1：z1，z2为复数，z1－z2>0，那么z1>z2，这个命题是真命题吗？

提示：假命题．例如：z1＝1＋i，z2＝－2＋i，z1－z2＝3>0. 但z1>z2无意义，因为虚数无大小概念．

22质疑探究2：若z1，z2∈R，z1＋z2＝0，则z1＝z2＝0，此命题对把分子、分母分别乘以分母的共轭复数，然后分子、分母分别进行乘法运算

z1，z2∈C还成立吗？

22提示：不一定成立．比如z1＝1，z2＝i满足z1＋z2＝0，但z1≠0，z2≠0.

答案：1a

2b

3＝

4≠

5＝

6a＝c且b＝d

7a＝c且b＝－d

8|z|

9|a＋bi|10直角坐标系

11实轴

12虚轴

13实数

14纯虚数15(a±c)＋(b±d)i

16(ac－bd)＋(ad＋bc)i17z2＋z1

18z1＋(z2＋z3) （二）基础自测

1．设a，b∈R，“a＝0”是“复数a＋bi是纯虚数”的(

)

A．充分而不必要条件

B．必要而不充分条件

C．充分必要条件

D．既不充分也不必要条件

2．若复数z＝i(3－2i)(i是虚数单位)，则z＝(

) A．2－3i

B．2＋3i

C．3＋2i

D．3－2i 3．复平面内表示复数i(1－2i)的点位于(

) A．第一象限

B．第二象限

C．第三象限

D．第四象限

7＋i4．i是虚数单位，复数＝(

) 3＋4i17311725A．1－i

B．－1＋i

C.25＋25i

D．－7＋7i 5．若(x＋i)i＝－1＋2i(x∈R)，则x＝________. 答案：B A A A2

（三）主干讲解

例1．设x∈R，则“x＝1”是“复数z＝(x2－1)＋(x＋1)i为纯虚数”的(

) A．充分不必要条件

B．必要不充分条件

C．充分必要条件

D．既不充分也不必要条件

例2.设复数z1，z2在复平面内的对应点关于虚轴对称，z1＝2＋i，则z1z2＝(

) A．－5

B．5

C．－4＋i

D．－4－i 例3.若复数z满足＝i，其中i为虚数单位，则z＝(

) 1－izA．1－i

B．1＋i

C．－1－i

D．－1＋i 答案：C A A

（四）加强练习

1．z是z的共轭复数，若z＋z＝2，(z－z)i＝2(i为虚数单位)，则

z＝(

) A．1＋i

B．－1－i

C．－1＋i

D．1－i 2＋i12．已知i为虚数单位，复数z＝，则|z|＋z＝(

) 1－2iA．i

B．1－i

C．1＋i

D．－i 3.若i(x＋yi)＝3＋4i，x，y∈R，则复数x＋yi的模是(

) A．2

B．3

C．4

D．5 4. 若a为实数，且(2＋ai)(a－2i)＝－4i，则a＝(

) A．－1

B．0

C．1

D．2 z5．设i是虚数单位，z表示复数z的共轭复数．若z＝1＋i，则i＋i·z＝(

) A．－2

B．－2i

C．2

D．2i 答案：D B D B C

（五）课堂小结

1、3个“一”：1个基本条件、1种重要思想、1个重要实质

1个基本条件：任意两个复数均为实数的充要条件是这两个复数能比较大小．

1种重要思想：应用复数相等的定义可进行复数与实数之间的相互转化．

1个重要实质：复数除法的实质是分母实数化，其操作方法是分子、分母同乘以分母的共轭复数．

2．几个常用结论

1＋i1－i(1)(1±i)＝±2i；＝i；＝－i；

1－i1＋i2(2)i4n＝1，i4n＋1＝i，i4n＋2＝－1，i4n＋3＝－i；i4n＋i4n＋1＋i4n＋2＋i4n＋3＝0，

n∈N*. （六）作业

1．设复数z＝－1－i(i为虚数单位)，z的共轭复数为z，则|(1－z)·z|＝(

) A.10

B．2

C.2

D．1 2i2．设i是虚数单位，则复数在复平面内所对应的点位于(

) 1－iA．第一象限

B．第二象限

C．第三象限

D．第四象限

3．已知复数z1＝－1＋2i，z2＝1－i，z3＝3－4i，它们在复平面上对→→→应的点分别为A，B，C，若OC＝λOA＋μOB，(λ，μ∈R)，则λ＋μ的值是________．

z4．设复数z的共轭复数为z，若z＝1－i(i为虚数单位)，则＋z2z的值为(

) A．－3i

B．－2i

C．i

D．－i 答案：A B1 D