信息技术应用 估计√2的值第二课时教学实录

数列的通项与求和（一）

通海县第二中学 杨兴琴

一. 教学目的

由于是复习课，根据学生的认知基础及教材的地位、作用，根据教学大纲和高考要求确

定本课的教学目的为：

1.通过一些特殊数列求和问题的学习,使学生初步掌握数列求和问题的基本解法。

2. 帮助学生运用化归的思想方法，将特殊数列问题转化为常见的简单数列问题。

3.培养学生的动手能力，激发学习的热情与主动性。培养和提高学生观察问题、分析问题的

能力及解题技巧。 二、教学过程

1、复习导入

等差数列的前n项和公式：Snn(a1an)n(n1)dna1An2Bn22（Sn是关于n的二次函数，且不含常数项)，公式的推导方法是采用“逆序求和”转化为常数数列问题。

a1(1qn)a1anq等比数列的前n项和公式：q1时，Sn ；1q1q当q=1时,Snna1.公式的推导方法是采用“错位相减”消去相同项.（注意分类讨论）

时隔两年，从头复习，高三学生具备了一定的基础知识和一些数学思想方法，于是通过对等差数列和等比数列的前n项和公式的复习与这两个公式的推导方法的分析导入本课。为例题的讲解和分析打下基础。

2、学导结合

例1、求数列1,3a,5a2,7a3,,(2n1)an1,(a1)的前n项和。（错位相减法）

分析：此数列的每一项中的字母部分a,a,a,,a012n1构成以a为公比的等比数列{an }，每一项中的系数部分1，3，5，7，,(2n1)构成以2为公差的等差数列{bn }。不妨把这种数列称为“差比数列” {cn }，则有cnanbn。而等比数列也是一种特殊的差比数

列，于是，这类数列也可用“错位相减法”解决。

解：Sn13a5a27a3(2n1)an1 （1）

(1)×a得：aSna3a25a37a4(2n3)an1(2n1)an (2) (1)-(2)得：(1a)Sn12a2a22a32an1(2n1)an

=2(1aa2a3an1)(2n1)an1

1(1an)(2n1)an1

=21a2(1an)(2n1)an1 所以：Sn

1a1a2错位相减后，转化为等比数列求和。方法来源于等比数列求和公式的推导方法,通过对这类数列通项结构特征的分析，联系类似问题的处理方法，从而有效的转化问题，解决问题。与课本紧密联系，强化了基础知识。

例2、求Sn=(x+111)+(2x+2)+…+(nx+n) （分组求和法）

yyy学生通过观察很容易找到转化方法，将原数列分一个等差数列和一个等比数列，能做到通过分组求和，

式子111中的y应讨论，当y=1时，值为n，当n2yyy111(1n)1n1yyy。

y1时，是以为公比的等比数列，值为y1y11y分组求和法：某些数列，通过适当分组，可得出两个或几个等差或等比数列，进而利用等差或等比数列的求和公式分别求和，从而得出原数列的和。

解：原式=(x+2x+…+nx)+(111+2+…+n) yyy

=n(n1)111x+(+2+…+n) 2yyyy=1时，Sn=i)

n(n1)x+n, 2

1

ii)

111n(n1)(1n)n(n1)yny≠1时，Sn=x+yx+ y=22y1111y通过对本题的分析，锻炼了学生的观察能力，分析能力，同时强调了分类讨论思想。

例3、弹子跳棋共有60颗大小相同的球形弹子，现在棋盘上将它叠成正四面体形球垛，使剩下的弹子尽可能的少，那么剩余的弹子共有（

）颗。 （合项法）

A、 0 B 、4 C 、5 D 、11

拿出课前准备好的四盒弹子跳棋，分给四个组，让学生动手堆放，并注意观察学生的

堆放方法，让学生进行交流和分析，并归纳出解题思路。

(1)正四面体-----底面是等边三角形，顶点在底面的射影是底面的中心 . 第一层

：1 第二层

：1+2 第三层

：1+2+3 …… 第n层

：1+2+3+…+n=(2) 当弹子堆成正四面体形球垛时，从上到下，各层弹子数依次为： n(n1) （合项法） 2

合项法：当数列的每一项都是若干个数的和的形式，这时常采用合项法，先对其第n项求和，然后将通项化简，从而改变原数列的形式为易求和的数列。

(3) 本题就是要求

Sn=1+（1+2）+（1+2+3）+…+（1+2+3+…+n），当Sn≤60时，

60-Sn的值。

2

(4) Sn=1+（1+2）+（1+2+3）+…+（1+2+3+…+n）

1(12)2(21)3(31)n(n1)2222121(12232n2)(123n)

（分组求和） 22n(n1)(2n1)n(n1)124n(n1)(n2)6(5)容易求得当n=6时，S6=56,所以：60-56=4，选B.

这是一个的漂亮正四面体球垛，通过学生的积极参与，动手堆放，动脑思考，在愉快的气氛中完成学习，达到提高学习积极性的目的，增加了学生动手、动脑的的机会，培养了学生观察问题，分析问题的能力。

3、练习设计 n134n（1）求Sn=1+2+3+ …+n1+n

2222（2）求数列11111,3,5,,2n1n,，的前n项和。

2482n-1（3）已知数列{an}前n项的和Sn= 1-5+9-13+17-21+…+(-1)(4n-3),则S15+ S22-S31的值是（ ）

A 10 B -76 C 46 D 76 4、作业设计

（1）求和：Sn=1+2x+3x2+4x3+…+nxn-1。

（2）数列{an}中，当n为奇数时，an=5n+1；

当n为偶数时，an=2，求这个数列的前2m项的和（m为正整数）。 （3）某公园设计节日鲜花摆放方案，其中一个花坛由一批花盆堆成六角垛。顶层一个，以下各层堆成正六边形，逐层每边增加一个花盆（如图所示），若这垛花盆底层最长一排共有13个花盆，底层共有（ ）个花盆

层数 顶层 第二层 第三层 第四层 5 6 7 …第一排 …第二排 摆放 情况

3 n2

9 11 13

花盆

个数 1 7 19 37 5、总结反思：

本节课主要学习了：求数列前n项和的三种方法：(1)错位相减法；(2)分组求和法；

(3)合项法；通过对数列通项结构特征的观察与分析，寻找适当的转换方法，化为等差或等比数列来求和。

三、教法分析

1、教学手段：利用多媒体的先进性，优化了教学环境，提高了教学效率和教学质量。把

弹子跳棋带进课堂，活跃了课堂气氛，提高了学习兴趣，增加了学生的动手机会，营造了良好的学习氛围。

2、教学方法：错位相减法的教学通过“类比”实现，分组求和法的学习通过学生“观察”得到，合项法通过学生“活动”归纳整理出。学生充分参与到教学活动中来，在和谐、愉快的气氛中完成学习任务。教师适时的点拨、指导、概括，起到了画龙点睛的作用。通过这些具有挑战性、刺激性的求和问题的分析，激起了学生的求知欲，有效地调动了学生的学习积极性，树立了学习的信心和勇气。培养了学生观察问题、分析问题和解决问题能力。

四、教学评价

教学中利用多媒体的先进性，改善了教学环境，提高了教学质量。通过错位相减法、分组求和法、合项法的学习，帮助学生运用化归的思想方法，将特殊数列问题转化为常见的简单数列问题。使学生初步掌握数列求和问题的三种基本解法，培养和提高学生观察问题、分析问题的能力及解题技巧。把弹子跳棋带进课堂，活跃了课堂气氛，提高了学习兴趣，增加了学生的动手机会，营造了良好的学习氛围，对学生能力的提高及思维品质的养成创造了有利条件。 丰富的题目类型（有计算题、选择题、填空题）让学生感到熟悉和亲切。例题与作业

难度较大，学生需要进行充分的思考，能培养学生的能力。练习比较容易，学生能轻松完成，能让学生体验到成功的喜悦，有利于学习积极性的培养。分析例题时力争让学生明白每一种解法的来龙去脉，清楚为什么要这样转化，转化后所达到目的，做到触类旁通。

这是我对数列的通项与求和的精心设计，是课前说课，效果的好坏还要看课堂的落实

4

情况。有了课前的精心准备以及学生的积极参与，相信本节课能给学生留下深刻的印象。课堂上也可能会有一些预料之外的事情发生，但是只要引导得当，都将为培养学生创造有利条件。通过练习与作业了解学生掌握的情况，及时进行反馈分析。为下一节的学习打下基础。例3和作业3对学生的观察能力、分析能力有较高的要求，同时这两题也是学生比较感兴趣的，估计部分学生会有更多独到的见解，这正是我所期待的。总之，本节课有了精心的设计，加上学生的积极参与，一定会达到预期的目的。

以上是我对本节课的设计与说明，不足与错误在所难免，真诚欢迎各位老师批评指正。

5