9.1 三角形的边课时教学实录

9.1

三角形的边

1.掌握三角形的定义,并能正确地表示出三角形,掌握三角形的边、角、顶点的表示方法.

2.能正确地进行三角形的分类.

3.掌握三角形的三边关系,并能利用此定理判定已知三条线段能否构成三角形.

通过观察、操作、想象、推理、交流等活动发展空间观念、推理和有条理的表达能力.

让学生在数学活动中通过相互间的合作与交流,获得必需的数学知识,激发学习兴趣,培养学生的相互协作意识及数学表达能力.

【重点】

掌握三角形的分类及三角形的三边关系.

【难点】

利用三角形的三边关系解答实际问题.

【教师准备】

数根事先测量好长度的小木棒.

【学生准备】

有刻度的直尺、三角尺等.

导入一:

同学们,大家看这个图案美丽吗?这个图案主要是由什么图形要素构成的?(学生议论后)我们本节课要继续学习三角形的相关知识.

[设计意图]

通过教材中的章前图,帮助学生感受生活中的建筑中有很多三角形的色彩,引发学生从生活感受中进一步深化认识三角形.

导入二:

课堂小游戏——拼三角形.

活动内容:老师拿出9根长度不等的小木棒,随机分给三个学习小组,让学生首尾相搭(教师演示相搭的要求)地摆放三根小木棒,看看能否摆出一个三角形.

[设计意图]

学生此时对三角形三边关系的认识还是粗浅的,容易误认为任意长度的三根小棒都能按照要求拼出三角形.同时老师强调首尾相搭,也暗示了对三角形定义的启发,这就为学生认识和探索三角形三边关系做了铺垫.

[过渡语]

三角形是由三条线段构成的,但任意三条线段未必能构成三角形.那么,能组成三角形的三条线段具有什么关系呢? 活动1

三角形的概念及其表示方法

思路一

1.指出下列图片中的三角形

[设计意图]

帮助学生从生活情境中去重新认识三角形,增强数学来源于生活的认识,也有利于学生用数学的眼光观察生活、思考生活.

2.三角形的定义

(1)如图所示,怎样用线段a,b,c构成三角形?

(2)三角形的定义:由不在同一直线上的三条线段首尾顺次相接所构成的图形叫做三角形.

(3)同一条直线上首尾相接的三条线段能组成三角形吗? [设计意图]

意在强调三角形定义中“不在同一直线上”这个前提条件.

3.三角形的相关表示方法

如图所示,线段AB,BC,AC叫做三角形的边;点A,B,C叫做三角形的顶点;∠A,∠B,∠C叫做三角形的内角(简称三角形的角).以点A,B,C为顶点的三角形记为△ABC,读作“三角形ABC”.

三角形的边有时也用小写字母来表示.一般地,△ABC的顶点A,B,C的对边分别用a,b,c表示.

[知识拓展]

三角形的特征:三条线段;不在同一条直线上;首尾顺次相接.这三点表明三角形是一个封闭的图形.

思路二

1.三角形的概念

【学生活动】

(1)在一张纸上任意画三条线段;(2)在同一条直线上任意画三条线段.

问题思考:任意画的三条线段都能组成三角形吗?怎样才能组成一个三角形? [设计意图]

帮助学生初步领会构成三角形的基本条件之一,即不在同一条直线上的三条线段才能组成三角形.

【学生活动】

判断由下列三条线段组成的图形是不是三角形.

[设计意图]

三角形概念的获得,要让学生经历其描述的过程,借此培养学生的语言表述能力,加深学生对三角形概念的理解.

三角形的定义:由不在同一直线上的三条线段首尾顺次相接所组成的图形叫做三角形.

2.三角形的表示方法

“三角形”可用符号“△”表示,如图所示,顶点(相邻两边的交点叫做三角形的顶点)是A,B,C的三角形,记作△ABC,读作“三角形ABC”.∠A,∠B,∠C是△ABC的三个角(相邻两边组成的角叫做三角形的内角,简称三角形的角);△ABC的三边(组成三角形的线段叫做三角形的边)分别是AB,BC,CA,有时也可用小写字母来表示,顶点A,B,C所对的边分别可用a,b,c来表示,即AB可用c表示,BC可用a表示,CA可用b表示.

活动2

初探三角形三边之间的关系

[过渡语]

在前面的小组活动中,利用老师给的小木棒有的小组就能摆出三角形,有的小组却不能摆出三角形,这是为什么呢? 1.继续验证.

用长是2 cm,3 cm,5 cm的线段能组成三角形吗?用长是2 cm,3 cm,4 cm的线段呢?(前面的一组不能,后面的一组能.) 2.三角形的两边之和与第三边有怎样的大小关系?(三角形的两边之和大于第三边.) 3.请将你的猜想写成命题的形式并对猜想说理.

命题:三角形任意两边的和大于第三边.

说理:如图所示,已知△ABC,对AC+BC>AB,AB+AC>BC,AB+BC>AC说理过程如下: 因为AB是线段, 所以AC+BC>AB(两点之间线段最短).

同理可得AB+AC>BC,AB+BC>AC.

三角形任意两边的和大于第三边.

4.已知一个三角形的最小边为2 cm,另两边分别为6 cm和a cm.a的取值范围是什么? 思考:a能不能大于8 cm?a最小不能小于多少厘米? 结论:a的取值范围是4

说明:教材对“三角形任意两边之差小于第三边”不作要求,况且此时学生还没有学习不等式及其解法,所以这里应以“试值”的办法得出“4

[知识拓展]

三角形三边关系的作用: (1)已知三角形两边,求第三边的取值范围.

(2)判断三条线段能否组成三角形.

(3)利用三角形三边关系解决含有绝对值化简、不等式的问题.

活动3

三角形的分类

[过渡语]

如图所示.我们把两条边相等的三角形叫做等腰三角形,相等的两边叫做腰;把三边相等的三角形叫做等边三角形;把三边互不相等的三角形叫做不等边三角形.

思考: 1.等边三角形和等腰三角形之间是什么关系? 2.以前我们尝试了对有理数进行分类,你能对三角形也进行分类吗? [知识拓展]

三边都不相等的三角形

三角形底边和腰不相等的等腰三角形

等腰三角形

等边三角形

1.由不在同一条直线上的三条线段首尾顺次相接所组成的图形叫做三角形.

2.在一个三角形中,两边之和大于第三边.

3.三角形的分类:三边都不相等的三角形和等腰三角形.

注意:三角形任意两边和第三边的关系不包括等于这种关系.等边三角形也是等腰三角形,等腰三角形的范围要大于等边三角形,且包含等边三角形.

1.三角形是

(

) A.连接任意三点组成的图形

B.由不在同一条直线上的三条线段首尾顺次相接所组成的图形

C.由三条线段组成的图形

D.以上说法均不对

解析:因为三角形的定义是由不在同一条直线上的三条线段首尾顺次相接所组成的图形.故选B.

2.若有一条公共边的两个三角形称为一对“共边三角形”,则下图中以BC为公共边的“共边三角形”有

(

) A.2对

B.3对

C.4对

D.6对

解析:以BC为公共边的“共边三角形”有:△BDC与△BEC,△BDC与△BAC,△BEC与△BAC三对.故选B.

3.(2015·南通中考)下列长度的三条线段能组成三角形的是

(

) A.5,6,10 B.5,6,11 C.3,4,8 D.4a,4a,8a(a>0) 解析:检验是否能组成三角形只要检验两条较短边之和是否大于最长边,若满足,则说明能组成三角形;反之则不能.A项5+6>10,因此长为5,6,10的线段能构成三角形.故选A.

4.若等腰三角形两边长分别为3和5,求它的周长.

解:分两种情况:①腰长为3,底边长为5,三边长为3,3,5,可构成三角形,周长=3+3+5=11; ②腰长为5,底边长为3,三边长为5,5,3,可构成三角形,周长=5+5+3=13.

活动1

三角形的概念及其表示方法

活动2

初探三角形三边之间的关系

活动3

三角形的分类

9.1

三角形的边

一、教材作业

【必做题】

教材第101页练习的第3题.

【选做题】

教材第102页习题的第3题.

二、课后作业

【基础巩固】

1.如图是小明用三根木棒组成的图形,符合三角形概念的是

(

) 2.在如图所示的图形中,三角形的个数为

(

)

A.1个

B.2个

C.3个

D.4个

3.如图所示,为估计池塘两岸A,B间的距离,杨阳在池塘一侧选取了一点P,测得PA=16 m,PB=12 m,那么AB间的距离不可能是

(

)

A.5 m B.15 m C.20 m D.28 m 4.下列长度的三条线段,不能组成三角形的是

(

) A.3,8,4 B.4,9,6 C.15,20,8 D.9,15,8 5.小明和小亮骑自行车外出郊游,如图,当小明到达A处时,右拐进入岔道,而小亮仍沿直线向前骑行到B处,再到C处,当小亮到达C处时,发现小明已到达C处,两人骑车速度一样,为什么小明会提前到达C处?你能说明原因吗? 【能力提升】

6.若△ABC的三条边的长度分别为m,n,p,且|m-n|+(n-p)2=0,则这个三角形为

(

) A.等腰三角形

B.等边三角形

C.直角三角形

D.等腰直角三角形

7.用12根火柴棒(等长)拼成一个三角形,火柴棒不允许剩余、重叠和折断,则能摆出不同的三角形的个数是

(

) A.1 B.2 C.3 D.4 8.已知等腰三角形的两边长分别为6 cm和3 cm,则该等腰三角形的周长是 (

) A.9 cm B.12 cm C.12 cm或15 cm D.15 cm 9.△ABC的周长为22 cm,AB边的长是AC边长的1.5倍,BC边的长比AC边的长多1 cm.求△ABC的三边长.

10.如图所示,小明和小亮一起从学校到电影院看电影,小明要到食品店买零食后再去电影院;小亮要回家一趟再去电影院,那么他们两人谁走的路程远?图中点A表示学校,点B表示电影院,点C表示小亮家,点D表示食品店.

【拓展探究】

11.如图所示,△ABC中,A1,A2,…,An为AC边上不同的n个点,首先连接BA1,图中出现了3个不同的三角形,再连接BA2,图中便有6个不同的三角形……

(1)完成下表.

连接线段条数

出现三角形个数

(2)若出现了45个三角形,则共连接了多少条线段? (3)若连接了n条线段,则图中共有多少个三角形? 12.如图所示,草原上有四口油井,位于四边形ABCD的四个顶点上,现在要建立一个维修站H,则H建在何处,才能使它到四口油井的距离之和HA+HB+HC+HD最小?说明理由.

【答案与解析】

1.D(解析:三角形是三条线段首尾顺次相接所组成的图形,观察四个选项,只有D选项的图形满足这个概念.) 2.C(解析:有△ABC,△ABD,△ACD共三个.故选C.) 3.D(解析:由三角形两边之和大于第三边求解.因为PA+PB=16+12=28(m),因此AB不可能是28 m.) 4.A(解析:因为3+4=7<8,所以长为3,8,4的线段不能组成三角形.) 5.解:原因:小明走的是线段,小亮走的是折线,可以从两个角度加以分析:①两点之间线段最短.②三角形两边之和大于第三边.

6.B(解析:因为|m-n|+(n-p)2=0,所以m-n=0,n-p=0,所以m=n=p,所以△ABC为等边三角形.) 7.C(解析:设一根火柴棒长为1,则所拼成的三个三角形的三边长分别为3,4,5;5,5,2;4,4,4.) 8.D(解析:若以3 cm长为腰,6 cm长为底,则由3+3=6知不能构成三角形,从而只能以6 cm长为腰,3 cm长为底,这时周长为6+6+3=15(cm).) 9.解:设AC边长为x cm,则AB边长为1.5x cm,BC边长为(x+1)cm,由题意得1.5x+x+(x+1)=22,解得x=6,则1.5x=9,x+1=7.即这个三角形的三边长分别为6 cm,7 cm和9 cm.

10.解:在△ADC中,由三角形中两边之和大于第三边,得AC+DC>AD,将不等式两边同加上BD,得AC+DC+BD>AD+BD.又知DC+BD=BC,故AC+BC>AD+BD.AC+BC为小亮走的路程,AD+BD为小明走的路程.所以小亮走的路程远.

11.解:(1) 连接线段条数

1 2 3 4 5 6 出现三角形个数

3 6 10 15 21 28 (2)8条线段. (3)1+2+3+…+(n+1)=(n+1)(n+2).

12.解:如图,连接AC,BD,其交点即为H的位置.根据两点之间线段最短,可知到四口油井的距离之和HA+HB+HC+HD最小,理由如下:如果任选H'点(如图),由三角形三边关系定理可知,HA+HB+HC+HD=AC+BD

本课是利用日常生活情境引入的,这样有利于增强学生的学习兴趣,也能让学生知道数学来源于实际,又反作用于实际.

本课的重点与难点均是三角形的三边关系.本课时教案的设计思路是让学生通过自己的思考、探索得出结论,而不是直接去接受结论.这样既增强了学生的动手能力,也让学生更加深刻地理解三角形三边之间的关系.

在处理三角形三边关系时,对“任意”二字没有做突出强调,学生容易误解有两边之和大于第三边就行.课时教学的过程中没有补充例题,练习量较少.

在引入三角形的定义时,要更加严谨,如“由不在同一条直线上”这句话,老师要让学生思考这样命名的原因,另外在教学定义后,及时给出一些练习,让学生巩固所学的知识.

在课前让学生准备自选长度的小木棒,并测量、标注好长度.这样在课堂教学活动中,可以让每一位学生都参与进来.

练习(教材第101页) 2.解:有8个三角形,分别是:△AOB,△AOD,△COD,△BOC,△ABD,△BCD,△ACD,△ABC.

3.解:选3 cm,4 cm,5 cm,6 cm,7 cm均可构成三角形,而选1 cm,2 cm,8 cm,9 cm均不能构成三角形.

习题(教材第102页) 1.解:图中的三角形有△ABE,△CDE,△BEC,△ABC,△BDC.△ABE的三边分别为AB,BE,AE,三个角分别为∠A,∠BEA,∠ABE.△CDE的三边分别为DE,DC,EC,三个角分别为∠D,∠DEC,∠DCE.△BEC的三边分别为BE,EC,BC,三个角分别为∠BEC,∠EBC,∠ECB.△ABC的三边分别为AB,BC,AC,三个角分别为∠A,∠ABC,∠ACB.△BDC的三边分别为BD,BC,DC,三个角分别为∠D,∠DBC,∠DCB.

2.解:(1)能构成三角形,因为1.5+2=3.5>2.5. (2)不能构成三角形,因为1+2=3. (3)能构成三角形,因为1+4>4.

3.提示:三边长为3,4,5或2,5,5.

4.提示:三边长为4,4,7或5,5,5或6,6,3或7,7,1.

三角形三边之间的关系的应用

现有四根木棒,长度分别为4 cm,6 cm,8 cm,10 cm,从中任取三根木棒,能组成三角形的个数为

(

) A.1 B.2 C.3 D.4 〔解析〕

共有4种方案:①取4 cm,6 cm,8 cm.4+6>8,能构成三角形;②取4 cm,8 cm,10 cm,4+8>10,能构成三角形;③取4 cm,6 cm,10 cm,4+6=10,不能构成三角形,此种情况不成立;④取6 cm,8 cm,10 cm,6+8>10,能构成三角形.所以有3种方案符合要求.故选C.

用一条长为18 cm的细绳围成一个等腰三角形.

(1)如果腰长是底边长的2倍,那么各边的长是多少? (2)能围成有一边的长为4 cm的等腰三角形吗?为什么? 〔解析〕

(1)设底边长为x cm,则腰长为2x cm,根据周长关系列出一元一次方程,解方程即可求得各边的长;(2)题中没有指明4 cm的边是底还是腰,故应该分情况进行分析,同时注意利用三角形三边关系进行检验.

解:(1)设底边长为x cm,则腰长为2x cm,根据题意得2x+2x+x=18,解得x=3.6.

所以三条边的长分别为3.6 cm,7.2 cm,7.2 cm.

(2)①当4 cm为底时,腰长为7 cm,任意两边之和都大于第三边,故可以构成三角形.

②当4 cm为腰时,底边=18-4-4=10(cm), 因为4+4<10, 所以不能构成三角形,故舍去, 所以能构成底边长为4 cm的等腰三角形.