11.1 因式分解优秀教学实录

11.1

因式分解

1.了解多项式的因式分解的意义,知道因式分解与整式乘法之间的区别和联系.

2.感受因式分解在解决相关问题中的作用.

通过对分解因式与整式的乘法的观察与比较,学习代数式的变形和转化与化归的能力,培养学生的分析问题能力与综合应用能力.

培养学生勇于探索的精神和实事求是的科学态度.

【重点】

因式分解的概念和意义.

【难点】

因式分解与整式乘法之间的区别和联系.

【教师准备】

多媒体课件.

【学生准备】

预习教材P142~143.

导入一:

观察下面几个多项式的乘法算式(教材章前内容): ma+mb=m(a+b) a2-b2=(a+b)(a-b) a2+2ab+b2=(a+b)2

a2-2ab+b2=(a-b)2

思考:多项式乘法是把几个整式的乘积化为一个多项式.反过来,你能将一个多项式分解成几个整式乘积的形式吗? [设计意图]

教材章前图表达了本章将要学习的核心内容——因式分解.图中用符号语言反映了整式相乘的过程与分解因式的过程的互逆关系,让学生感受到因式分解的本质特征.

导入二:

问题:下列简便运算怎样进行? (1)736×95+736×5; (2)-2.67×132+25×2.67+7×2.67.

[设计意图]

观察实例,分析共同属性:解决问题的关键是把一个数式化成几个数的积的形式,此时学生对因式分解还相当陌生的,但学生对用简便方法进行计算相当熟悉.引入这一步的目的旨在设计问题情境,复习知识点与计算,引入新课,让学生通过回顾用简便方法计算,即为因式分解这一特殊算法,通过类比很自然地过渡到正确理解因式分解的概念上,从而为因式分解的掌握和理解打下基础.

[过渡语]

在小学阶段,我们由数的乘法运算获得启发,建立了因数的概念.类似地,我们是否可以探索从整式的乘法获得类似“因数”的概念呢? 活动1

感知因式分解

思路一

1.

观察下面计算20112-2011×2010和372-362的过程,哪种更简便?

问题: (1)小明用的什么方法?(根据乘方的意义直接进行计算.) (2)小亮的第一个算式用了什么方法?(乘法对加法的分配律的逆用.) (3)小亮的第二个算式用了什么方法?(平方差公式.) 2.多项式的因式分解.

(1)观察下面三个算式: x(x-2)=x2-2x,(x+y)(x-y)=x2-y2,(x+1)2=x2+2x+1.

(2)上面三个算式能反过来,写成整式乘积的形式吗? 可以.x2-2x=x(x-2),x2-y2=(x+y)(x-y),x2+2x+1=(x+1)2.

3.总结因式分解的概念.

像这样,把一个多项式分解成几个整式乘积的形式,叫做多项式的因式分解,也叫做将多项式分解因式,其中每个整式都叫做这个多项式的因式.

思路二

观察下面的拼图过程,写出相应关系式.

(1)

=

(2)

=

答案:(1)ma+mb+mc m(a+b+c) (2)x2+2x+1

(x+1)2

像这样,把一个多项式化成几个整式的积的形式叫做把这个多项式分解因式.

[设计意图]

以拼图前后面积不变的方式,丰富学生对因式分解的理解,形象地说明因式分解是整式的恒等变形,有助于发展学生的几何直观,对学生的思维发展具有实际价值.学生通过观察,给出填空的答案,可能有不同的形式,只要合理都应给予鼓励.

活动2

整式的乘法与因式分解的关系

[过渡语]

我们学习了什么是分解因式,通过下面的几个算式来看看同学们理解的怎么样.

1.感知整式的乘法和因式分解的关系

计算下列式子.

(1)3x(x-1)=

; (2)m(a+b-1)=

; (3)(m+4)(m-4)=

;

(4)(y-3)2=

; 根据上面的算式填空.

(1)3x2-3x=

; (2)ma+mb-m=

; (3)m2-16=

; (4)y2-6y+9=

.

思考:因式分解与整式的乘法有什么关系?举例说明.

[设计意图]

通过两组互逆关系的练习,类比两种不同的逆运算,进一步让学生体会什么是分解因式,这个时候,分解因式的概念已基本在学生头脑中确立.由整式乘法的逆运算逐步过渡到因式分解,发展学生的逆向思维能力.

2.总结多项式的乘法和因式分解的关系

(1)多项式相乘的结果是什么? (两个多项式相乘的结果是一个多项式,相乘的过程是多项式中的单项式与单项式相乘.) (2)一个多项式进行因式分解的结果是什么? (将一个多项式进行因式分解的结果是若干个整式的乘积,因式分解的过程是这个多项式分解成若干个整式乘积的形式.) (3)因式分解和整式的乘法之间是什么关系? 多项式的因式分解与乘法运算是不同的.多项式的因式分解是把一个多项式化成几个整式的乘积,而多项式的乘法运算是把几个整式的乘积化成一个多项式.可见,多项式的因式分解与多项式的乘法运算是相反的变形过程,如图所示.

活动3

做一做

1.下列各式中,从等号左边到右边的变形,哪些是多项式的因式分解? (1)x2-4=(x+2)(x-2); (2)x2+4x+4=(x+2)2; (3)7m+14n=7(m+2n); (4)x(y+1)=xy+x.

处理方式:教师指导、学生交流合作完成.

答案:(1)(2)(3)是,(4)不是.

2.下列对多项式的变形,哪些是因式分解?是因式分解的,指出它的各因式.

(1)x2-x=x(x-1); (2)10x+5y=5(2x+y); (3)a2-1=(a+1)(a-1); (4)x2-2x+1=(x-1)2.

处理方式:教师指导、学生交流合作完成.

答案:(1)(2)(3)(4)都是.(1)中的因式为x,x-1;(2)中的因式为5,2x+y;(3)中的因式为a+1,a-1;(4)中的因式为x-1,x-1.

[知识拓展]

对于因式分解应注意以下几点:(1)分解的对象必须是多项式;(2)分解的结果一定是几个整式的乘积的形式;(3)要分解到不能再分解为止.

1.把一个多项式化成几个整式的积的形式叫做把这个多项式分解因式.

2.分解因式与整式乘法是互逆过程.