加减消元法解二元一次方程组优秀教学设计

香柏书院

2014暑假初中数学提优班

第15课

方程(组)与实际应用问题

（2013•泰州）

某地为了打造风光带，将一段长为360 m的河道整治任务由甲乙两个工程队先后接力完成，共用时20天，已知甲工程队每天整治24 m,乙工程队每天整治16 m..求甲、乙两个工程队分别整治了多长的河道.

解：设甲工程队整治河道x

m，

则乙甲工程队整治河道（360-x）m. x360x20

2416解得：x120

当x120时，360x240

由题意得：答：甲工程队整治河道120m，

则乙甲工程队整治河道240m.

（2013年潍坊市）为了研究吸烟是否对肺癌有影响，某肿瘤研究所随机地调查了10000人，并进行统计分析.结果显示：在吸烟者中患肺癌的比例是2.5%，在不吸烟者中患肺癌的比例是0.5%，吸烟者患肺癌的人数比不吸烟者患肺癌的人数多22人.如果设这10000人中，吸烟者患肺癌的人数为x，不吸烟者患肺癌的人数为y，根据题意，下面列出的方程组正确的是（

）. xy22xy22A.

B.x

yx2.5%y0.5%10000100002.5%0.5%xy10000xy10000C.

D.x

y22x2.5%y0.5%222.5%0.5%答案B．

考点:二元一次方程组的应用. 点评：弄清题意，找出相等关系是解决本题的关键.

（2013•南宁）陈老师打算购买气球装扮学校“六一”儿童节活动会场，气球的种类有笑脸和爱心两种，两种气球的价格不同，但同一种气球的价格相同，由于会场布置需要，购买时以一束（4个气球）为单位，已知第一、二束气球的价格如图所示，则第三束气球的价格为（

）

19 18 16 15 A．B．

C．

D．

考点：

二元一次方程组的应用．

分析：

要求出第三束气球的价格，先求出笑脸形和爱心形的气球的单价就可以求出结论．

解答：

解：设笑脸形的气球x元一个，爱心形的气球y元一个，由题意，得

，

解得：2x+2y=16．

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第15课

方程(组)与实际应用问题

故选C．

点评：

本题考查了学生观察能力和识图能力，列二元一次方程组解实际问题的运用和数学整体思想的运用，解答本题时根据单价×数量=总价的数量关系建立方程是关键．

(2013年黄石)四川雅安地震期间，为了紧急安置60名地震灾民，需要搭建可容纳6人或4人的帐篷，若所搭建的帐篷恰好（即不多不少）能容纳这60名灾民，则不同的搭建方案有

A.4种 B.11种 C.6种 D.9种

答案：C 解析：设建可容纳6的帐篷x个，建容纳4人的帐篷y个，则6x＋4y＝60（x，y均是非负整数）

（1）x=0时，y＝15；（2）x＝2时，y＝12；（3）x＝4时，y＝9；

（4）x＝6时，y＝6；（5）x＝8时，y＝3；（6）x＝10时，y＝0

所以，有6种方案。

（2013•内江）成渝路内江至成都段全长170千米，一辆小汽车和一辆客车同时从内江、成都两地相向开出，经过1小时10分钟相遇，小汽车比客车多行驶20千米．设小汽车和客车的平均速度为x千米/小时和y千米/小时，则下列方程组正确的是（

）

A．B．

C．

D．

考点：

由实际问题抽象出二元一次方程组．

分析：

根据等量关系：相遇时两车走的路程之和为170千米，小汽车比客车多行驶20千米，可得出方程组．

解答：

解：设小汽车和客车的平均速度为x千米/小时和y千米/小时

由题意得，．

故选D．

点评：

本题考查了由实际问题抽象二元一次方程组的知识，解答本题的关键是仔细审题得到等量关系，根据等量关系建立方程．

（2013四川宜宾）2013年4月20日，我省芦山县发生7.0级强烈地震，造成大量的房屋损毁，急需大量帐篷．某企业接到任务，须在规定时间内生产一批帐篷．如果按原来的生产速度，每天生产120顶帐篷，那么在规定时间内只能完成任务的90%．为按时完成任务，该

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第15课

方程(组)与实际应用问题

企业所有人员都支援到生产第一线，这样，每天能生产160顶帐篷，刚好提前一天完成任务．问规定时间是多少天？生产任务是多少顶帐篷？

考点：二元一次方程组的应用．

专题：应用题．

分析：设规定时间为x天，生产任务是y顶帐篷，根据不提速在规定时间内只能完成任务的90%，即提速后刚好提前一天完成任务，可得出方程组，解出即可．

解答：解：设规定时间为x天，生产任务是y顶帐篷，

由题意得，，

解得：．

答：规定时间是6天，生产任务是800顶帐篷．

点评：本题考查了二元一次方程组的应用，解答本题的关键是仔细审题，设出未知数，利用等量关系得出方程组，难度一般．

（2013•宁夏）雅安地震后，灾区急需帐篷．某企业急灾区之所急，准备捐助甲、乙两种型号的帐篷共1500顶，其中甲种帐篷每顶安置6人，乙种帐篷每顶安置4人，共安置8000人．设该企业捐助甲种帐篷x顶、乙种帐篷y顶，那么下面列出的方程组中正确的是（

）

A．B．

C．

D．

考点：

由实际问题抽象出二元一次方程组．

分析：

等量关系有：①甲种帐篷的顶数+乙种帐篷的顶数=1500顶；②甲种帐篷安置的总人数+乙种帐篷安置的总人数=8000人，进而得出答案．

解答：

解：根据甲、乙两种型号的帐篷共1500顶，得方程x+y=1500；根据共安置8000人，得方程6x+4y=8000．

列方程组为：．

故选：D．

点评：

此题主要考查了由实际问题抽象出二元一次方程组，列方程组解应用题的关键是找准等量关系，此题中要能够分别根据帐篷数和人数列出方程．

（2013•郴州）在一年一度的“安仁春分药王节”市场上，小明的妈妈用280元买了甲、乙两种药材．甲种药材每斤20元，乙种药材每斤60斤，且甲种药材比乙种药材多买了2斤．设买了甲种药材x斤，乙种药材y斤，你认为小明应该列出哪一个方程组求两种药材各买了多少斤？（

）

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方程(组)与实际应用问题

A．

C．

D．

B．

考点：

由实际问题抽象出二元一次方程组．

分析：

设买了甲种药材x斤，乙种药材y斤，根据甲种药材比乙种药材多买了2斤，两种药材共花费280元，可列出方程．

解答：

解：设买了甲种药材x斤，乙种药材y斤，

由题意得：．

故选A．

点评：

本题考查了有实际问题抽象出二元一次方程组，难度一般，关键是读懂题意设出未知数找出等量关系．

（2013台湾、13）以下表示小勋到商店购买2个单价相同的布丁和10根单价相同的棒棒糖的经过．

根据上文，判断布丁和棒棒糖的单价相差多少元？（

）

A．20 B．30 C．40 D．50 考点：二元一次方程组的应用．

分析：设布丁的单价为x元/个，棒棒糖y元一个，则2个布丁和12个棒棒糖的价格为200元建立方程为：2x+12y=200.2个布丁和10个棒棒糖的价格为180元建立方程为：2x+10y=180，将两个方程构成房出组求出其解即可．

解答：解：设布丁的单价为x元/个，棒棒糖y元一个，由题意，得

，

解得：，

∴布丁和棒棒糖的单价相差：40﹣10=30元．

故选B．

点评：本题考查列二元一次组接实际问题的运用，二院一次方程的解法的运用，解答时根据单价×数量=总价建立方程是解答本题的关键．

（2013台湾、27）图（①）的等臂天平呈平衡状态，其中左侧秤盘有一袋石头，右侧秤盘有一袋石头和2个各10克的砝码．将左侧袋中一颗石头移至右侧秤盘，并拿走右侧秤盘的1个砝码后，天平仍呈平衡状态，如图（②）所示．求被移动石头的重量为多少克？（

）

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方程(组)与实际应用问题

A．5 B．10 C．15 D．20 考点：三元一次方程组的应用．

分析：设左天平的一袋石头重x千克，右天平的一袋石头重y千克，被移动的石头重z千克，根据题意及图象可以得出方程x=y+20及x﹣z=y+z+10，由两个方程构成方程组求出其解即可．

解答：解：设左天平的一袋石头重x千克，右天平的一袋石头重y千克，被移动的石头重z千克，由题意，得

，

解得：z=5．

故选A．

点评：本题考查了列三元一次方程组接实际问题的运用，三元一次方程组的解法的运用，解答时理解图象天平反应的意义找到等量关系是关键．

（2013•绥化）某班组织20名同学去春游，同时租用两种型号的车辆，一种车每辆有8个座位，另一种车每辆有4个座位．要求租用的车辆不留空座，也不能超载．有

2

种租车方案．

考点：

二元一次方程的应用．

分析：

设租用每辆8个座位的车x辆，每辆有4个座位的车y辆，根据车座位数等于学生的人数列出二元一次方程，再根据x、y都是正整数求解即可．

解答：

解：设租用每辆8个座位的车x辆，每辆有4个座位的车y辆，

根据题意得，8x+4y=20，

整理得，2x+y=5，

∵x、y都是正整数，

∴x=1时，y=3，

x=2时，y=1，

x=3时，y=﹣1（不符合题意，舍去），

所以，共有2种租车方案．

故答案为：2．

点评：

本题考查了二元一次方程的应用，解题的关键在于车辆数是正整数．

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方程(组)与实际应用问题

(2013年江西省)某单位组织34人分别到井冈山和瑞金进行革命传统教育，到井冈山的人数是到瑞金的人数的2倍多1人，求到两地的人数各是多少？设到井冈山的人数为x人，到瑞金的人数为y人，请列出满足题意的方程组是

．

【答案】xy34,. x2y1【考点解剖】

本题考查的是列二元一次方程组解应用题（不要求求出方程组的解），准确找出数量之间的相等关系并能用代数式表示．

【解题思路】

这里有两个等量关系：井冈山人数+瑞金人数=34，井冈山人数=瑞金人数×2+1.所以所列方程组为xy34,．

x2y1.【解答过程】 略. 【方法规律】

抓住关键词，找出等量关系

【关键词】

列二元一次方程组

（2013•绍兴）我国古代数学名著《孙子算经》中有这样一题，今有鸡兔同笼，上有35头，下有94足，问鸡兔各几何？此题的答案是：鸡有23只，兔有12只，现在小敏将此题改编为：今有鸡兔同笼，上有33头，下有88足，问鸡兔各几何？则此时的答案是：鸡有

22

只，兔有

11

只．

考点：

二元一次方程组的应用．

分析：

设鸡有x只，兔有y只，就有x+y=33，2x+4y=88，将这两个方程构成方程组求出其解即可．

解答：

解：设鸡有x只，兔有y只，由题意，得

，

解得：，

∴鸡有22只，兔有11只．

故答案为：22，11 点评：

本题考查了列二元一次方程解生活实际问题的运用，二元一次方程的解法的运用，解答时根据条件找到反应全题题意的等量关系建立方程是关键．

（2013鞍山）如图，两根铁棒直立于桶底水平的木桶中，在桶中加入水后，一根露出水面的长度是它的，另一根露出水面的长度是它的．两根铁棒长度之和为220cm，此时木桶中水的深度是

cm．

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方程(组)与实际应用问题

考点：二元一次方程组的应用．

分析：设较长铁棒的长度为xcm，较短铁棒的长度为ycm．因为两根铁棒之和为220cm，故可的方程：x+y=220，又知两棒未露出水面的长度相等，又可得方程x=y，把两个方程联立，组成方程组，解方程组可得较长的铁棒的长度，用较长的铁棒的长度×可以求出木桶中水的深度．

解答：解：设较长铁棒的长度为xcm，较短铁棒的长度为ycm．

因为两根铁棒之和为220cm，故可列x+y=220，

又知两棒未露出水面的长度相等，故可知x=y，

据此可列：，

解得：，

因此木桶中水的深度为120×=80（cm）．

故答案为：80．

点评：此题主要考查了二元一次方程组的应用，关键是弄清题意，找出合适的等量关系，列出方程组．

（2013•苏州）苏州某旅行社组织甲乙两个旅游团分别到西安、北京旅行，已知这两旅游团共有55人，甲旅游团的人数比乙旅游团的人数的2倍少5人．问甲、乙两个旅游团个有多少人？

考点：

二元一次方程组的应用．

分析：

设甲、乙两个旅游团个有x人、y人，根据题意可得等量关系：甲团+乙团=55人；甲团人数=乙团人数×2﹣5，根据等量关系列出方程组，再解即可．

解答：

解：设甲、乙两个旅游团个有x人、y人，由题意得：

，

解得，

答：甲、乙两个旅游团个有35人、20人．

点评：

此题主要考查了二元一次方程组的应用，关键是正确理解题意，抓住题目中的关键语句，找出等量关系，列出方程组．

（2013聊城）夏季来临，天气逐渐炎热起来，某商店将某种碳酸饮料每瓶的价格上调了10%，将某种果汁饮料每瓶的价格下调了5%，已知调价前买这两种饮料个一瓶共花费7元，调价后买上述碳酸饮料3瓶和果汁饮料2瓶共花费17.5元，问这两种饮料在调价前每瓶各多少元？

考点：二元一次方程组的应用．

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第15课

方程(组)与实际应用问题

分析：先设这两种饮料在调价前每瓶各x元、y元，根据调价前买这两种饮料个一瓶共花费7元，调价后买上述碳酸饮料3瓶和果汁饮料2瓶共花费17.5元，列出方程组，求出解即可．

解答：解：设这两种饮料在调价前每瓶各x元、y元，根据题意得：，

解得：．

答：调价前这种碳酸饮料每瓶的价格为3元，这种果汁饮料每瓶的价格为4元．

点评：此题考查了二元一次方程组的应用，解题的关键是读懂题意，找出之间的等量关系，列出方程再求解，利用二元一次方程组求解的应用题一般情况下题中要给出2个等量关系，准确的找到等量关系并用方程组表示出来是解题的关键．

（2013•湖州）为激励教师爱岗敬业，某市开展了“我最喜爱的老师”评选活动．某中学确定如下评选方案：有学生和教师代表对4名候选教师进行投票，每票选1名候选教师，每位候选教师得到的教师票数的5倍与学生票数的和作为该教师的总票数．以下是根据学生和教师代表投票结果绘制的统计表和条形统计图（不完整）．

学生投票结果统计表

候选教师

王老师

赵老师

李老师

陈老师

200

300 得票数

（1）若共有25位教师代表参加投票，则李老师得到的教师票数是多少？请补全条形统计图．（画在答案卷相对应的图上）

（2）王老师与李老师得到的学生总票数是500，且王老师得到的学生票数是李老师得到的学生票数的3倍多20票，求王老师与李老师得到的学生票数分别是多少？

（3）在（1）、（2）的条件下，若总得票数较高的2名教师推选到市参评，你认为推选到市里的是两位老师？为什么？

考点：

二元一次方程组的应用；条形统计图．

分析：

（1）根据共有25位教师代表参加投票，结合条形图得出李老师得到的教师票数即可；

（2）根据“王老师与李老师得到的学生总票数是500，且王老师得到的学生票数是李老师得到的学生票数的3倍多20票，”分别得出方程组求出即可；

（3）求出每位老师的得票总数，进而得出答案．

解答：

解：（1）李老师得到的教师票数是：25﹣（7+6+8）=4，

如图所示：

（2）设王老师与李老师得到的学生票数分别是x和y，

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方程(组)与实际应用问题

由题意得出：解得：，

，

答：王老师与李老师得到的学生票数分别是380和120；

（3）总得票数情况如下：王老师：380+5×7=415，赵老师：200+5×6=230，

李老师：120+5×4=140，陈老师：300+5×8=340，

推选到市里的是王老师和陈老师．

点评：

此题主要考查了二元一次方程组的应用，关键是弄清题意，找出合适的等量关系，列出方程组．

\ （2013•雅安）甲、乙二人在一环形场地上从A点同时同向匀速跑步，甲的速度是乙的2.5倍，4分钟两人首次相遇，此时乙还需要跑300米才跑完第一圈，求甲、乙二人的速度及环形场地的周长．（列方程（

组）

求解）

考点：

二元一次方程组的应用．

分析：

设乙的速度为x米/分，则甲的速度为2.5x米/分，环形场地的周长为y米，根据环形问题的数量关系，同时、同地、同向而行首次相遇快者走的路程﹣慢者走的路程=环形周长建立方程求出其解即可．

解答：

解：设乙的速度为x米/秒，则甲的速度为2.5x米/秒，环形场地的周长为y米，由题意，得

，

解得：，

∴甲的速度为：2.5×150=375米/分．

答：乙的速度为150米/分，则甲的速度为375米/分，环形场地的周长为900米．

点评：

本题考查了列二元一次方程组解环形问题的运用，二元一次方程组的解法的运用，解答时运用环形问题的数量关系建立方程是关键．

（2013•嘉兴）某镇水库的可用水量为12000立方米，假设年降水量不变，能维持该镇16万人20年的用水量．实施城市化建设，新迁入4万人后，水库只够维持居民15年的用水量．

（1）问：年降水量为多少万立方米？每人年平均用水量多少立方米？

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方程(组)与实际应用问题

（2）政府号召节约用水，希望将水库的保用年限提高到25年，则该镇居民人均每年需节约多少立方米才能实现目标？

考点：

二元一次方程组的应用；一元一次方程的应用．

分析：

（1）设年降水量为x万立方米，每人每年平均用水量为y立方米，根据储水量+降水量=总用水量建立方程求出其解就可以了；

（2）设该城镇居民年平均用水量为z立方米才能实现目标，同样由储水量+25年降水量=25年20万人的用水量为等量关系建立方程求出其解即可．

解答：

解：（1）设年降水量为x万立方米，每人每年平均用水量为y立方米，由他提议，得

，

解得：

答：年降水量为200万立方米，每人年平均用水量为50立方米．

（2）设该城镇居民年平均用水量为z立方米才能实现目标，由题意，得

12000+25×200=20×25z，

解得：z=34 则50﹣34=16（立方米）．

答：该城镇居民人均每年需要节约16立方米的水才能实现目标．

点评：

本题是一道生活实际问题，考查了列二元一次方程组解实际问题的运用，列一元一次方程解实际问题的运用，解答时根据储水量+降水量=总用水量建立方程是关键．

（2013•温州）某校举办八年级学生数学素养大赛，比赛共设四个项目：七巧板拼图，趣题巧解，数学应用，魔方复原，每个项目得分都按一定百分比折算后记入总分，下表为甲，乙，丙三位同学得分情况（单位：分）

七巧板拼图

趣题巧解

数学应用

魔方复原

66

89

86

68

甲

66

60

80

68

乙

66

80

90

68

丙

（1）比赛后，甲猜测七巧板拼图，趣题巧解，数学应用，魔方复原这四个项目得分分别按10%，40%，20%，30%折算△记入总分，根据猜测，求出甲的总分；

（2）本次大赛组委会最后决定，总分为80分以上（包含80分）的学生获一等奖，现获悉乙，丙的总分分别是70分，80分．甲的七巧板拼图、魔方复原两项得分折算后的分数和是20分，问甲能否获得这次比赛的一等奖？

考点：

二元一次方程组的应用；加权平均数．

分析：

（1）根据求加权平均数的方法就可以直接求出甲的总分；

（2）设趣题巧解所占的百分比为x，数学运用所占的百分比为y，由条件建立方程组求出其解就可以求出甲的总分而得出结论．

解答：

解：（1）由题意，得

甲的总分为：66×10%+89×40%+86×20%+68×30%=79.8；

（2）设趣题巧解所占的百分比为x，数学运用所占的百分比为y，由题意，得

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第15课

方程(组)与实际应用问题

，

解得：，

∴甲的总分为：20+89×0.3+86×0.4=81.1＞80，

∴甲能获一等奖．

点评：

本题考查了列二元一次方程组解实际问题的运用，加权平均数的运用，在解答时建立方程组求出趣题巧解和数学运用的百分比是解答本题的关键．

（2013凉山州）根据图中给出的信息，解答下列问题：（1）放入一个小球水面升高

cm，放入一个大球水面升高

cm；

（2）如果要使水面上升到50cm，应放入大球、小球各多少个？

考点：二元一次方程组的应用；一元一次方程的应用．

分析：（1）设一个小球使水面升高x厘米，一个大球使水面升高y厘米，根据图象提供的数据建立方程求解即可；

（2）设应放入大球m个，小球n个，根据题意列一元二次方程组求解即可．

解答：解：（1）设一个小球使水面升高x厘米，由图意，得3x=32﹣26，解得x=2；

设一个大球使水面升高y厘米，由图意，得2y=32﹣26，解得：y=3．

所以，放入一个小球水面升高2cm，放入一个大球水面升高3cm；

（2）设应放入大球m个，小球n个．由题意，得

解得：，

答：如果要使水面上升到50cm，应放入大球4个，小球6个．

点评：本题考查了列二元一次方程组和列一元一次方程解实际问题的运用，二元一次方程组及一元一次方程的解法的运用，解答时认真图画含义是解答本题的关键．

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方程(组)与实际应用问题

（2013•曲靖）某种仪器由1种A部件和1个B部件配套构成．每个工人每天可以加工A部件1000个或者加工B部件600个，现有工人16名，应怎样安排人力，才能使每天生产的A部件和B部件配套？

考点：

二元一次方程组的应用．

分析：

设安排x人生产A部件，安排y人生产B部件，就有x+y=16和1000x=600y，由这两个方程构成方程组，求出其解即可．

解答：

解：设安排x人生产A部件，安排y人生产B部件，由题意，得

，

解得：．

答：设安排6人生产A部件，安排10人生产B部件，才能使每天生产的A部件和B部件配套．

点评：

本题考查了列二元一次方程组解实际问题的运用，二元一次方程组的解法的运用，解答时根据条件建立建立反映全题等量关系的两个方程是关键．本题时一道配套问题．