30.5 二次函数与一元二次方程的关系主要内容及教案内容

30.5二次函数与一元二次方程的关系

【教学设计思想】本节主要研究的是二次函数与一元二次方程、一元二次不等式有密切联系，在学习过程中应把二次函数与之有关知识联系起来，融会贯通，使学生的认识更加深刻。 【教学目标】

1．知识与技能

运用二次函数找到一元二次方程的近似解。

2．过程与方法

通过本节内容的学习，提高自主探索、团结合作的能力，在运用知识解决问题中体会二次函数的数学转化思想。

3．情感、态度与价值观

通过学生之间的讨论、交流和探索，建立合作意识和提高探索能力，激发学习的兴趣和欲望。

教学重点：运用二次函数找到一元二次方程的近似解。

教学难点：运用二次函数找到一元二次方程的近似解。

教学媒体：幻灯片，计算器。

教学安排：1课时。

教学方法：小组讨论，探究式。

教学过程：

【情景导入、揭示主题】

2师：由二次函数的一般形式y=axbxc（a≠0），你会有什么联想？

2生：老师，我想到了一元二次方程的一般形式axbxc（a≠0）。

师：不错，正因为如此，有时我们就将二次函数的有关问题转化为一元二次方程的问题来解决。

【自主学习、尝试解决】

现在大家来做下面这两道题：（幻灯片显示）

21．解方程xx20。

2．画出二次函数y=x2x2的图像。

教师找两个学生解答，作为板书。

【合作探究、讨论交流】

同学们思考下面的问题，可以共同讨论：

21．二次函数y=xx20的图像与x轴交点的横坐标是什么？它与方程x2x20的根有什么关系？

222．如果方程axbxc（a≠0）有实数根，那么它的根和二次函数y=axbxc的图像与x轴交点的横坐标有什么关系？

生甲：老师，由画出的图像可以看出与x轴交点的横坐标是-1、2；方程的两个根是-1、2，我们发现方程的两个解正好是图像与x轴交点的横坐标。

2生乙：我们经过讨论，认为如果方程axbxc（a≠0）有实数根，那么它的根2等于二次函数y=axbxc的图像与x轴交点的横坐标。

师：说的很好；

2教师总结：一般地，如果二次函数y=axbxc的图像与x轴相交，那么交点的2横坐标就是一元二次方程axbxc=0的根。

师：我们知道方程的两个解正好是二次函数图像与x轴的两个交点的横坐标，那么二次函数图像与x轴的交点问题可以转化为一元二次方程的根的问题，我们共同研究下面问题。

[学法]：通过实例，体会二次函数与一元二次方程的关系，解一元二次方程实质上就是求二次函数为0的自变量x的取值，反映在图像上就是求抛物线与x轴交点的横坐标。

【展示评研、互动提升】

问题：已知二次函数y=x2x-1。

（1）观察这个函数的图像（图34-9），一元二次方程x2x-1=0的两个根分别在哪两个整数之间？

（2）①由在0至1范围内的x值所对应的y值（见下表），你能说出一元二次方程x2x-1=0精确到十分位的正根吗？

x 0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 1 y -1 -------0.44 0.71 1 0.89 0.76 0.61 0.44 0.25 0.04 0.19

②由在0.6至0.7范围内的x值所对应的y值（见下表），你能说出一元二次方程x2x-1=0精确到百分位的正根吗？

x 0.60 0.61 0.62 0.63 0.64 0.65 0.66 0.67 0.68 0.69 0.70 y -0.040 -0.018 0.004 0.027 0.050 0.073 0.096 0.119 0.142 0.166 0.190 （3）请仿照上面的方法，求出一元二次方程x2x-1=0的另一个精确到十分位的根。

（4）请利用一元二次方程的求根公式解方程x2x-1=0，并检验上面求出的近似解。

第一问很简单，可以请一名同学来回答这个问题。

生：一个根在（-2，-1）之间，另一个在（0，1）之间；根据上面我们得出的结论。

师：回答的很正确；我们知道图像与x轴交点的横坐标就是方程的根，所以我们可以通过观看图象就能说出方程的两个根。现在我们共同解答第（2）问。

教师分析：我们知道方程的一个根在（0，1）之间，那么我们观看（0，1）这个区间的图像，y值是随着x值的增大而不断增大的，y值也是从负数过渡到正数，而当y=0时所对应的x值就是方程的根。现在我们要求的是方程的近似解，那么同学们想一想，答案是什么呢？

生：通过列表可以看出，在（0.6，0.7）范围内，y值有-0.04至0.19，如果方程精确到十分位的正根，x应该是0.6。

类似的，我们得出方程精确到百分位的正根是0.62。

对于第三问，教师可以让学生自己动手解答，教师在下面巡视，观察其中发现的问题。

最后师生共同利用求根公式，验证求出的近似解。

2教师总结：我们发现，当二次函数axbxc（a≠0）的图像与ｘ轴有交点时，根据图像与ｘ轴的交点，就可以确定一元二次方程axbxc的根在哪两个连续整数之间。为了得到更精确的近似解，对在这两个连续整数之间的ｘ的值进行细分，并求2出相应得ｙ值，列出表格，这样就可以得到一元二次方程axbxc所要求的精确度的近似解。

2【课堂练习】

已知一个矩形的长比宽多3m，面积为6m2。求这个矩形的长（精确到十分位）。

【布置作业】

1、A组第2题。

2、B组第1题。

【板书设计】

30.5二次函数与一元二次方程的关系

一、导入 总结：

二、新课讲授 三、练习