1.1.5 三视图课时教案

送分专题(五)

空间几何体的三视图、表面积与体积

凤城市通远堡高中

袁玉军

[全国卷3年考情分析]

年份

卷别

卷Ⅰ

2017

考查内容及考题位置

空间几何体的三视图与直观图、面积的计算·T7

空间几何体的三视图及组合体体积的计算·T4

球的内接圆柱、圆柱的体积的计算·T 8

有关球的三视图及表面积的计算·T6

空间几何体的三视图及组合体表面积的计算·T6

空间几何体的三视图及组合体表面积的卷Ⅲ

计算·T9

直三棱柱的体积最值问题·T10

锥体体积的计算·T6

卷Ⅰ

空间几何体的三视图及组合体表面积的计算·T11

2015 卷Ⅱ

空间几何体的三视图及组合体体积的计算·T6

三棱锥的体积、球的表面积、球与三棱锥的结构特征·T9

空间几何体的三视图

[题点·考法·全练]

1．已知长方体的底面是边长为1的正方形，高为2，其俯视图是一个面积为1的正方形，侧视图是一个面积为2的矩形，则该长方体的正视图的面积等于(

) A．1

C．2 B.2 D．22 命题分析

1.“立体几何”在高考中一般会以“两小一大”或“一小一大”的命题形式出现，这“两小”或“一小”主要考查三视图，几何体的表面积与体积，空间点、线、面位置关系(特别是平行与垂直)．

2．考查一个小题时，本小题一般会出现在第4～8题的位置上，难度一般；考查2个小题时，其中一个小题难度一般，另一小题难度稍高，一般会出现在第10～16题的位置上，本小题虽然难度稍高，主要体现在计算量上，但仍是对基础知识、基本公式的考查．

卷Ⅱ

卷Ⅲ

卷Ⅰ

卷Ⅱ

2016 解析：选C

依题意得，题中的长方体的正视图和侧视图的高都等于2，正视图的长是2，因此相应的正视图的面积等于2×2＝2.

2.(2016·天津高考)将一个长方体沿相邻三个面的对角线截去一个棱锥，得到的几何体的正视图与俯视图如图所示，则该几何体的侧(左)视图为(

)

解析：选B

由几何体的正视图和俯视图可知该几何体为图①，故其侧(左)视图为图②.

3．(2017·北京高考)某四棱锥的三视图如图所示，则该四棱锥的最长棱的长度为(

)

A．32 C．22

B．23

D．2 解析：选B

在正方体中还原该四棱锥如图所示，

从图中易得最长的棱为

222AC1＝AC2＋CC21＝2＋2＋2＝23.

[准解·快解·悟通]

快审题

看到三视图，想到常见几何体的三视图，进而还原空间几何体．(注：三视图中的正视图也叫主视图，侧视图也叫左视图) 明确三视图问题的常见类型及解题策略

准

解

(1)由几何体的直观图求三视图．注意正视图、侧视图和俯视图的观察方向，注意题

看到的部分用实线，看不到的部分用虚线表示．

(2)由几何体的部分视图画出剩余的视图．先根据已知的一部分视图，还原、推测

直观图的可能形式，然后再找其剩下部分视图的可能形式．当然作为选择题，也可将选项逐项代入，再看看给出的部分三视图是否符合．

(3)由几何体的三视图还原几何体的形状．要熟悉柱、锥、台、球的三视图，明确三视图的形成原理，结合空间想象将三视图还原为实物图.

空间几何体的表面积与体积

[题点·考法·全练]

1.(2016·全国卷Ⅱ)如图是由圆柱与圆锥组合而成的几何体的三视图，则该几何体的表面积为(

) A．20π

C．28π

B．24π

D．32π

解析：选C

由三视图知该几何体是圆锥与圆柱的组合体，设圆柱底面圆半径为r，周长为c，圆锥母线长为l，圆柱高为h.由图得r1＝2，c＝2πr＝4π，h＝4，由勾股定理得：l＝22＋232＝4，S表＝πr2＋ch＋cl＝4π＋16π2＋8π＝28π.

2．(2017·云南11校跨区调研)已知某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为(

)

A．1 C．3

B．2

D．6 解析：选C

依题意，题中的几何体是一个直三棱柱(其底面左、右相对)，其中底面是1×1×2×3＝3. 直角边长分别为1,2的直角三角形，侧棱长为3，因此其体积为23．(2017·浙江高考)某几何体的三视图如图所示(单位：cm)，则该几何体的体积(单位：cm3)是(

)

πA.＋1

23πC.＋1

2πB.＋3 23πD.＋3 2解析：选A

由几何体的三视图可得，该几何体是一个底面半径为1，高为3的圆锥的一半与一个底面为直角边长为2的等腰直角三角形，高为3的三棱锥的组合体，故该几何1111π体的体积V＝×π×12×3＋××2×2×3＝＋1. 323224．若正三棱锥A-BCD中，AB⊥AC，且BC＝1，则三棱锥A-BCD的高为(

) A.C.6

62

2B.D.3

36

3解析：选A

设三棱锥A-BCD的高为h.依题意得AB，AC，AD两两垂直，且AB＝AC＝AD＝223311BC＝，△BCD的面积为×12＝.由VA-h＝S△ACD·AB，BCD＝VB-ACD得S△BCD·224433131122266即××h＝×××，解得h＝，即三棱锥A-BCD的高h＝. 343222665．某三棱锥的三视图如图所示，该三棱锥的表面积是(

)

A．28＋65 C．56＋125

B．60＋125

D．30＋65 解析：选D

如图，在长方体ABCD-A1B1C1D1中，还原该三棱锥1P-BCD，易得BD＝PB＝41，PD＝25，∴S△PBD＝×252×412－252＝65，

2

111又易得S△BCD＝×4×5＝10，S△BCP＝×BC×PC＝10，S△PCD＝×CD×CC1＝10，∴222该三棱锥的表面积是30＋65. [准解·快解·悟通]

快审题

1.看到求规则图形的表面积(体积)，想到相应几何体的表面积(体积)公式．

2.看到求不规则图形的表面积，想到几何体的侧面展开图．

3.看到求不规则图形的体积，想到能否用割补思想、特殊值法等解决．

1.活用求几何体的表面积的方法

(1)求表面积问题的基本思路是将立体几何问题转化为平面几何问题，即空间图形平面化，这是解决立体几何的主要出发点．

(2)求不规则几何体的表面积时，通常将所给几何体分割成基本的柱、锥、台体，先准

解

题

求这些柱、锥、台体的表面积，再通过求和或作差得几何体的表面积．

2.活用求空间几何体体积的常用方法

(1)公式法：直接根据相关的体积公式计算．

(2)等积法：根据体积计算公式，通过转换空间几何体的底面和高使得体积计算更容易，或是求出一些体积比等．

(3)割补法：把不能直接计算体积的空间几何体进行适当分割或补形，转化为易计算体积的几何体.

多面体与球的切接问题

[题点·考法·全练]

1．(2017·全国卷Ⅲ)已知圆柱的高为1，它的两个底面的圆周在直径为2的同一个球的球面上，则该圆柱的体积为(

) A．π

πC.

23πB.

4πD.

41233解析：选B

设圆柱的底面半径为r，则r2＝12－＝，所以圆柱的体积V＝π×12443π＝. 42．(2017·贵阳检测)三棱锥P-ABC的四个顶点都在体积为所在的小圆面积为16π，则该三棱锥的高的最大值为(

) 500π的球的表面上，底面ABC3

A．4 C．8

B．6

D．10 解析：选C

依题意，设题中球的球心为O、半径为R，△ABC的外接圆半径为r，则4πR3500π＝，解得R＝5，由πr2＝16π，解得r＝4，又球心O到平面ABC的距离为R2－r233＝3，因此三棱锥P-ABC的高的最大值为5＋3＝8. 3．半径为2的球O中有一内接正四棱柱(底面是正方形，侧棱垂直底面)．当该正四棱柱的侧面积最大时，球的表面积与该正四棱柱的侧面积之差是________．

解析：依题意，设球的内接正四棱柱的底面边长为a、高为h，则有16＝2a2＋h2≥22ah，即4ah≤162，该正四棱柱的侧面积S＝4ah≤162，当且仅当h＝2a＝22时取等号．因此，当该正四棱柱的侧面积最大时，球的表面积与该正四棱柱的侧面积之差是4π×22－162＝16(π－2)．

答案：16(π－2) [准解·快解·悟通]

快审题

看到多面体与球的切接问题，想到是内切还是外接，想到球心位置和半径的大小．

掌握“切”“接”问题的处理方法

(1)“切”的处理：解决与球有关的内切问题主要是指球内切多面体与旋转体，解答时要准

解

先找准切点，通过作截面来解决．如果内切的是多面体，则多通过多面体过球心的对角题

面来作截面．

(2)“接”的处理：把一个多面体的几个顶点放在球面上即球的外接问题．解决这类问题的关键是抓住外接的特点，即球心到多面体的顶点的距离等于球的半径.

[专题过关检测]

一、选择题

1．如图所示是一个物体的三视图，则此三视图所描述物体的直观图是(

)

解析：选D

先观察俯视图，由俯视图可知选项B和D中的一个正确，由正视图和侧视图可知选项D正确．

2．某几何体的三视图如图所示，且该几何体的体积是3，则正视图中的x的值是(

)

A．2

3C.

29B．

2D．3 解析：选D

由三视图判断该几何体为四棱锥，且底面为梯形，高为x，故该几何体的11体积V＝××(1＋2)×2×x＝3，解得x＝3. 323．(2017·广州综合测试)如图，网格纸上小正方形的边长为1，粗线画出的是某几何体的正视图(等腰直角三角形)和侧视图，且该几何体的体8积为，则该几何体的俯视图可以是(

) 3

解析：选D

由题意可得该几何体可能为四棱锥，如图所示，其高为2，18其底面为正方形，面积为2×2＝4，因为该几何体的体积为×4×2＝，满足33条件，所以俯视图可以为一个直角三角形．选D. 4．(2017·新疆第二次适应性检测)球的体积为43π，平面α截球O的球面所得圆的半径为1，则球心O到平面α的距离为(

) A．1

C.3

B.2 D.6 4π解析：选B

依题意，设该球的半径为R，则有R3＝43π，由此解得R＝3，因此3球心O到平面α的距离d＝R2－12＝2.

5．(2018届高三·湖南十校联考)如图，小方格是边长为1的正方形，一个几何体的三视图如图所示，则几何体的表面积为(

) A．45π＋96 B．(25＋6)π＋96 C．(45＋4)π＋64 D．(45＋4)π＋96 解析：选D

几何体为一个圆锥和一个正方体的组合体，正方体的棱长为4，圆锥的高为4，底面半径为2，几何体的表面积为S＝6×42＋π×22＋π×2×42＋22＝(45＋4)π＋96. 6．(2018届高三·西安八校联考)某几何体是直三棱柱与圆锥的组合体，其直观图和三视图如图所示，正视图为正方形，其中俯视图中椭圆的离心率为(

)

1A.

2C.2

2B.D.2

43

2解析：选C

依题意得，题中的直三棱柱的底面是等腰直角三角形，设其直角边长为a，则斜边长为2a，圆锥的底面半径为短轴长为a，其离心率e＝1－2a、母线长为a，因此其俯视图中椭圆的长轴长为2a、2a22＝. 2a2BP17．在棱长为3的正方体ABCD-A1B1C1D1中，P在线段BD1上，且＝，M为线段PD12B1C1上的动点，则三棱锥M-PBC的体积为(

) A．1

9C.

23B．

2D．与M点的位置有关

BP1D1C11解析：选B

∵＝，∴点P到平面BC1的距离是D1到平面BC1距离的，即为PD123319193＝1.M为线段B1C1上的点，∴S△MBC＝×3×3＝，∴VM-PBC＝VP-MBC＝××1＝. 22322

8．(2017·贵州适应性考试)如图，在正方体ABCD-A1B1C1D1中，点P是线段A1C1上的动点，则三棱锥P-BCD

的俯视图与正视图面积之比的最大值为(

) A．1

C．3 B．2 D．2 解析：选D

正视图，底面B，C，D三点，其中D与C重合，随着点P的变化，其正视图均是三角形且点P在正视图中的位置在边B1C1上移动，由此可知，设正方体的棱长1为a，则S正视图＝a2；设A1C1的中点为O，随着点P的移动，在俯视图中，易知当点P在2OC1上移动时，S俯视图就是底面三角形BCD的面积，当点P在OA1上移动时，点P越靠近A1，俯视图的面积越大，当到达A1的位置时，俯视图为正方形，此时俯视图的面积最大，S俯视图a2S俯视图＝a，所以的最大值为＝2. 12S正视图a229．(2017·石家庄一模)祖暅是南北朝时期的伟大数学家，5世纪末提出体积计算原理，即祖暅原理：“幂势既同，则积不容异”．意思是：夹在两个平行平面之间的两个几何体，被平行于这两个平面的任何一个平面所截，如果截面面积都相等，那么这两个几何体的体积一定相等．现有以下四个几何体：图①是从圆柱中挖去一个圆锥所得的几何体，图②、图③、图④分别是圆锥、圆台和半球，则满足祖暅原理的两个几何体为(

)

A．①②

C．②④

B．①③

D．①④

解析：选D

设截面与底面的距离为h，则①中截面内圆的半径为h，则截面圆环的面积为π(R2－h2)；②中截面圆的半径为R－h，则截面圆的面积为π(R－h)2；③中截面圆的半hhR－2；④中截面圆的半径为R2－h2，则截面圆的面积径为R－，则截面圆的面积为π22为π(R2－h2)．所以①④中截面的面积相等，故其体积相等，选D. 10．等腰△ABC中，AB＝AC＝5，BC＝6，将△ABC沿BC边上的高AD折成直二面角B-AD-C，则三棱锥B-ACD的外接球的表面积为(

) A．5π

C．10π

B．20π

3D．34π

解析：选D

依题意，在三棱锥B-ACD中，AD，BD，CD两两垂直，且AD＝4，BD

＝CD＝3，因此可将三棱锥B-ACD补形成一个长方体，该长方体的长、宽、高分别为3,3,4，且其外接球的直径2R＝32＋32＋42＝34，故三棱锥B-ACD的外接球的表面积为4πR2＝34π.

11．(2017·郑州第二次质量预测)将一个底面半径为1，高为2的圆锥形工件切割成一个圆柱体，能切割出的圆柱的最大体积为(

) πA.

27πC.

38πB.

272πD.

9解析：选B

如图所示，设圆柱的半径为r，高为x，体积为V，由r2－x题意可得＝，所以x＝2－2r，所以圆柱的体积V＝πr2(2－2r)＝2π(r2122－r3)(0

) A．4π

C．16π

B．12π

D．64π

解析：选C

取SC的中点E，连接AE，BE，依题意，BC2＝AB2＋AC2－2AB·ACcos 60°＝3，∴AC2＝AB2＋BC2，即AB⊥BC.又SA⊥平面ABC，1∴SA⊥BC，又SA∩AB＝A，∴BC⊥平面SAB，BC⊥SB，AE＝SC＝BE，211∴点E是三棱锥S-ABC的外接球的球心，即点E与点O重合，OA＝SC＝22SA2＋AC2＝2，故球O的表面积为4π×OA2＝16π.

二、填空题

13．(2016·四川高考)已知某三棱锥的三视图如图所示，则该三棱锥的体积是________．

11×23×1×1解析：由三视图可得三棱锥如图所示，则V＝×32＝3. 3答案：3

3114．(2017·山东高考)由一个长方体和两个圆柱体构成的几何体的三视图如图，则该几4何体的体积为________．

解析：该几何体由一个长、宽、高分别为2,1,1的长方体和两个底面半径为1，高为1的四分之一圆柱体构成，

1π∴V＝2×1×1＋2××π×12×1＝2＋. 42π答案：2＋

215．(2017·全国卷Ⅰ)已知三棱锥S -ABC的所有顶点都在球O的球面上，SC是球O的直径．若平面SCA⊥平面SCB，SA＝AC，SB＝BC，三棱锥S

-ABC的体积为9，则球O的表面积为________．

解析：如图，连接AO，OB，

设球O的半径为R，

∵SC为球O的直径，

∴点O为SC的中点，

∵SA＝AC，SB＝BC，

∴AO⊥SC，BO⊥SC，

∵平面SCA⊥平面SCB，平面SCA∩平面SCB＝SC，

∴AO⊥平面SCB，

1∴VS -ABC＝VA-SBC＝×S△SBC×AO

3

11×SC×OB×AO，

＝×32

11×2R×R×R，解得

R＝3，

即9＝×32∴球O的表面积为S＝4πR2＝4π×32＝36π.

答案：36π

16．某几何体的三视图如图所示，当xy取得最大值时，该几何体的体积是________．

解析：由题意可知，该几何体为如图所示的四棱锥P-ABCD，CD＝y2，AB＝y，AC＝5，CP＝7，BP＝x，

∴BP2＝BC2＋CP2，

即x2＝25－y2＋7，x2＋y2＝32≥2xy，

则xy≤16，当且仅当x＝y＝4时，等号成立．

此时该几何体的体积V＝13×2＋42×3×7＝37. 答案：37