1.2.1 平面的基本性质与推论多媒体教学设计及其点评

课题:二面角

教学目标: 1.使学生正确理解和掌握“二面角”、“二面角的平面角”的概念，并能初步运用它解决实际问题；

授课人:张军政

2.引导学生探索和研究“二面角的平面角”应该如何定义，在概念形成的过程中，发展学生的思维能力.

教学重点: “二面角”和“二面角的平面角”的概念.

教学难点:“二面角的平面角”概念形成的过程.

教学设计过程: 一.回顾与探索

教师:在平面几何中“角”是怎样定义的? 学生:从平面内一点出发的两条射线所组成的图形叫做角. 教师:在立体几何中，“异面直线所成的角”、“直线和平面所成的角”又是怎样定义的?它们有什么共同的特征? 学生:直线a，b是异面直线，经过空间任意一点O，分别引直线a′∥a,b′∥b,我们把直线a′和b′所成的锐角(或直角)叫做异面直线a和b所成的角. 平面的一条斜线和它在平面上的射影所成的锐角，叫做这条直线和这个平面所成的角. 它们的共同特征是都是将三维空间的角转化为二维空间的角. 教师:请同学们观察下面的几个问题. 例子之一: 镜头一:人造地球卫星绕地球旋转，最后画出卫星的轨道平面和地球赤道平面. 让学生观察这两个平面相交成一定的角度. 例子之二: 拦河坝与水平面.(图片)

教师:如何给二面角下定义呢?下面我们用类比的办法，与角的概念对比，探讨二面角的定义.

二.二面角的定义与画法

教师:比较角的图形，思考二面角的图形及其定义. 计算机显示:从空间一直线出发的两个半平面所组成的图形. 教师:平面角由射线—点—射线构成.二面角呢?学生:二面角由半平面—线—半平面构成.二面角表示法

α-ιβ或α-AB-β. 最后计算机显示整个过程. 教师:经过上面的研究我们已经看到，平面上的角，可以看作是一条射线绕其端点旋转形成的图形；类似地，一个平面绕其界线旋转到一定位置所得到的图形，就是二面角. 三.二面角的平面角

教师:二面角与平面内的角一样，是可以比较大小的，其比较方法，与平面内的角的大小的比较方法类似.(让学生打开书本)打开书本的过程，给我们一种二面角的大小连续变化的形象. 如何去度量二面角的大小呢?我们以往是如何度量某些空间角的? 学生:分别通过“取点、平移(相交)”(对异面直线所成的角)与“斜线的射影(相交)”(对斜线与平面所成的角)去度量的. 教师:这些做法的共同点是什么? 学生:都是将空间角化为平面角. 教师:对! 二面角的平面角的定义: 以二面角的棱上任意一点为端点，在两个面内分别作垂直于棱的两条射线，这两条射线所成的角叫做二面角的平面角. 教师:“二面角的平面角”的定义三个主要特征是什么? 学生:过棱上任意一点(0∈a)，分别在两个面内作射线(OAA⊥a，OB⊥a).

教师:经过上面的研究我们看到，二面角的大小，可以用它的平面角来度量，二面角的平面角是几度，就说这个二面角是几度.许多立体几何问题，若能正确地作出图形，则问题就便于解决.若能正确地作出二面角的平面角乃是解决这类问题的关键步骤.下面我们总结一下作二面角平面角的几种基本方法.1.定义法:在二面角的棱a上任意取一点O为端点，在面α，β内分别引垂直于棱a的两条射线OA，OB，则∠AOB为该二面角的平面角. α，OBβ)，射线垂直于棱(O

2.利用三垂线定理.在二面角α-a-β的面α上任取一点A，过A分别作棱a和另一面β的垂线AO和AB(O，B分别是垂足)，连BO；或者过A作面β的垂线AB，又过垂足B引棱a的垂线BO，连AO；则∠AOB为该二面角的平面角. 3.作垂面法.过二面角的棱a上任一点O，作平面γ与该棱垂直(作棱的垂面)，平面γ与α，β分别交于OA，OB，则可用∠AOB来度量二面角α-a-β的大小. 四.例题讲解

例1、已知二面角α-ι-β,A为面α内一点,A到β的距离为2,到ι的距离为4,求二面角α-ι-β的大小. 例2.如图11，山坡的倾斜度(坡面与水平面所成二面角的度数)是60°，山坡上有一条直道CD，它和坡脚的水平线AB的夹角是30°，沿这条路上山，行走100米后升高多少米?

分析: 1.建模过程

设过AB的水平面为α，坡面DAB所在的平面为β，CD=100m.本题要求“升高了多少米”?即是求点D到水平面α的距离DH.这自然会想到解直角三角形DHC，但该直角三角形不可解，故必须另寻途径.再看看给出的条件，已知二面角α-AB-β是60°，如何作出它的平面角呢?过D在平面β内作DG⊥AB，G是垂足，再连结HG，则根据三垂线定理，可得HG⊥AB，则∠DGH就是该二面角的平面角，即∠DGH=60°.再根据∠DCB=30°及直角三角形DGH和DCG的边角关系，就可以求出DH. 2.提炼方法

此例的求解是应用三垂线定理作二面角的平面角的典型例子，也是立体几何的一个基本方法. 五.练习与小结

①在30°二面角的一个面内有一个点，它到另一个面的距离是a，求它到棱的距离. ②将等腰直角三角形ABC纸片沿斜线BC上的高AD折成直二面角,求证:BD⊥CD,

∠BAC=60o

小结

1.空间的“二面角”，是平面几何中角的概念在空间中的拓广.处理问题的思想方法是将“空间的角”转化为“平面的角”来处理.定义的原则是:这个“平面角”的大小必须是由空间的角完全确定而且是唯一的.

2.凡是涉及到二面角的几何问题，都要根据题目的条件，在图形的恰当位置作出二面角的平面角，主要方法有“定义法”，“应用三垂线定理”和“作垂面”的方法.我们将在下一课做进一步的研究.

本节课所学习的相关知识点分别为:①、二面角的定义②、二面角的画法和记法③、

二面角的平面角④、二面角的平面角的作法.

布置作业

1.阅读课本. 2.正四面体ABCD，求侧面与底面所成二面角的大小的余弦值.