二 用数学归纳法证明不等式PPT及专用教学设计内容

《数学归纳法证明不等式》教学设计 一、【教材分析】

本节课选自《普通高中课程标准实验教科书数学选修4-4（人教A版）》第四讲第二节《数学归纳法证明不等式》。在之前的学习中，我们已经用数学归纳法证明了等式，本节的学习是在以往的基础上，对归纳出来的与正整数有关的不等式进行证明，它将一个无穷的归纳过程转化为有限步骤的过程。通过把猜想和证明结合起来，让学生认识数学的本质，把握数学的思维。本节课是数学归纳法的第一课时，主要让学生复习数学归纳法的原理，并能够用数学归纳法解决一些简单的与正整数有关的不等式问题。

二、【学情分析】

学生在学习本节课新知的过程中可能存在两方面的困难：一是得到“数学方法”的过程有困难；二是解题中如何正确使用数学归纳法，尤其是第二步中如何使用递推关系，可能出现问题。

三、【策略分析】

本节课中教师引导学生形成积极主动，勇于探究的学习精神，以及合作探究的学习方式；注重提高学生的数学思维能力；体验从“实际生活——理论——实际应用”的过程；采用“教师引导——学生探索”相结合的教学方法，在教与学的和谐统一中，体现数学的价值，注重信息技术与数学课程的合理整合。

四、【教学目标】

（1）知识与技能目标：

①理解数学归纳法的原理与实质，掌握数学归纳法证题的两个步骤；

②会用数学归纳法证明某些简单的与正整数有关的命题。

（2）过程与方法目标：

努力创设愉悦的课堂气氛，使学生处于积极思考，大胆质疑的氛围中，提高学生学习兴趣和课堂效率，让学生经历知识的构建过程，体会归纳递推的数学思想。

（3）情感态度与价值观目标：

通过本节课的教学，使学生领悟数学归纳法的思想，由生活实例，激发学生学习的热情，提高学生学习的兴趣，培养学生大胆猜想，小心求证，以及发现问题、提出问题，解决问题的数学能力。

五、【教学重难点】

教学重点：借助具体实例了解数学归纳法的基本思想，掌握它的基本步骤，能熟练运用它证明一些简单的与正整数n有关的不等式的问题；

教学难点：数学归纳法中递推关系的应用。

六、【教学方法与工具】

教法指导：本节课采用的教学方法是“启、思、演、练、结”五字教学法，即：以具体的例子引入课题，启发学生想去了解归纳法；通过提出问题、创设情景，引导学生积极思考；借助电脑的动画演示，提高直观性与趣味性，延长学生有意注意的时间；教学中，及时精选一些练习帮助学生巩固与强化知识，而“结”则包含两方面的内容（1）授课中教师的及时小结与点拨（2）听课时学生的自我小结与巩固。

学法指导：（1）学习要求：①课前预习教材中有关内容；②听课时积极思考大胆质疑；③课后及时完成课外作业。（2）指导措施：通过设置问题情景，激发学生大胆思考；由具体的事例吸引学生注意，通过直观模型演示，化抽象为具体，突破教学难点；借助电脑声像效果，营造愉悦课堂氛围，提高学习兴趣。

教学手段：多媒体辅助课堂教学。

七、【教学过程】

（一）.引入

一般地，证明一个与正整数n有关的命题，可以按照以下步骤进行：

（1）（归纳奠基）证明当n取第一个值n0（n0N*）时命题成立；

（2）（归纳递推）假设nk(kn0,kN*)时命题成立，证明当nk1

时

命题也成立。

完成这两个步骤后, 就可以断定命题对从n0开始的所有正整数n都成立。

上述这种证明方法叫做数学归纳法

【问题：】在上面第一步中，n是否必须从1开始取值？若不是，用反例说明

2.P46页思考：师生共同完成

【设计意图：】为了引入本节课的问题，首先复习之前学过的知识，承上启下。这里实际上体现了数学中的归纳思想。归纳法分为“不完全归纳法（只验证几个个体成立，得到一般性结论，但结论不一定正确）”和“完全归纳法（验证每个个体都成立，得到一般性结论，其结论一定正确）”。

（二）新课讲解

例1.

是四个例题中比较简单的一个问题通过它可以初步体会用数学归纳法证明不等式的过程。问题中给出的两个数列要求学生观察，然后发现和证明结论；本例中的难点在于第二步的

递推关系的变形，教学中应引导学生放大是为了与归纳建立联系，在有关的不等式的证明中适当的放缩是常用的变形。

例2.

是一个涉及正整数n的三角函数的问题，它既与正弦函数和余弦函数的有界性有关系，又与绝对值不等式有关。证明中主要难点是第二步递推关系的证明，即由n=k的假设推导n=k+1时的结论，整个过程包含较多知识，注意每一步证明的依据，明确证明过程中哪一步是利用了归纳假设，其他各步的理由何在。

例3.

中的贝努利不等式是一个经典不等式，利用它可以将二项式乘方缩小为1+nx的形式，从而使问题简单化，这在数值估计和证明不等式中很有用。一般的贝努利不等式中的正整数n可以改为实数，，即贝努利不等式的一般形式是：

当是实数，并且满足1或者0时,有(1x)1x(x-1);

当是实数，并且满足01时,有(1x)1x(x-1);

本节只重点证明指数是正整数的情形，用数学归纳法证明比较容易，对一般形式了解即可。

八、讲练结合，巩固概念

学生练习演板，练习巩固

【设计意图：】本题考查数学归纳法的证明过程。首先，学生将一道题目用数学归纳法完整的证明出来；然后再让其余学生当“小老师”，寻找证明过程中的错误，通过纠错这一思维过程，澄清了学生对知识点的模糊认识，“先正后反”有助于学生全面认识数学归纳法，加深了学生对已学知识的认识。

九、当堂检测：

课本P53.1——3 十、回顾总结，反思提高

(1) 数学知识：数学归纳法——两个步骤一个结论；

(2) 数学方法：数学归纳法（证明某些与正整数有关的不等式）；

(3) 数学思想：归纳思想、递推思想。

十一、板书设计

数学归纳法：

【例】

证明：

2、3数学归纳法

【练】

证明：（学生板演）

课堂小结：（1）、、、

（2）、、、

（3）、、、