复习参考题优秀教学设计

章末综合测评(一) 计数原理

(时间120分钟，满分150分) 一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的) 1．用1,2,3,4,5这五个数字，组成没有重复数字的三位数，其中偶数共有(

) A．24个

C．40个

B．30个

D．60个

A

[将符合条件的偶数分为两类，一类是2作个位数，共有A24个，另一类22是4作个位数，也有A4个．因此符合条件的偶数共有A24＋A4＝24(个)．] 2．将字母a，a，b，b，c，c排成三行两列，要求每行的字母互不相同，每列的字母也互不相同，则不同的排列方法共有(

)

A．12种

C．24种

B．18种

D．36种

A

[利用分步乘法计数原理求解．

3先排第一列，因为每列的字母互不相同，因此共有A3种不同的排法．

1再排第二列，其中第二列第一行的字母共有A2种不同的排法，第二列第二、三行的字母只有1种排法．

3因此共有A3·A11＝12(种)不同的排列方法．] 2·3．把编号为1、2、3、4、5的5位运动员排在编号为1、2、3、4、5的5条跑道中，要求有且只有两位运动员的编号与其所在跑道的编号相同，共有不同排法的种数是(

) A．10

C．40

B．20 D．60 B

[先选出两位运动员的编号与其所在跑道编号相同，有C25，乘余的有2种排法，共有2×C25＝20种．] 67*4．已知C6n＋1－Cn＝Cn(n∈N)，则n＝(

) A．14

C．13

B．15 D．12 7767D

[由组合数性质知，C6n＋Cn＝Cn＋1，所以Cn＋1＝Cn＋1，所以6＋7＝n＋1，

得n＝12.] 5．记者要为5名志愿者和他们帮助的2位老人拍照，要求排成一排，2位老人相邻但不排在两端，不同的排法共有(

) A．1 440种

C．720种

B．960种

D．480种

B

[先将5名志愿者排好，有A52位老人只能排在5名志愿者之间5种排法，2的4个空隙中，先将2位老人排好，有A2种排法，再把它作为一个元素插入空52隙中，有4种插法．所以共有不同排法4A5A2＝960种．] 6．关于(a－b)10的说法，错误的是(

) A．展开式中的二项式系数之和为1 024 B．展开式中第6项的二项式系数最大

C．展开式中第5项和第7项的二项式系数最大

D．展开式中第6项的系数最小

C

[由二项式系数的性质知，二项式系数之和为210＝1 024，故A正确；当n为偶数时，二项式系数最大的项是中间一项，故B正确，C错误；D也是正确的，因为展开式中第6项的系数是负数且其绝对值最大，所以是系数中最小的．] 5a17.x＋x2x－x的展开式中各项系数的和为2，则该展开式中常数项为(

) A．－40

C．20

B．－20 D．40 D

[由题意，令x＝1得展开式各项系数的和(1＋a)(2－1)5＝2，∴a＝1. 12x－∵二项式的通项公式为Tr＋1

xr5－r5－2r＝Cr2·x，

5(－1)·5511∴x＋x2x－x展开式中的常数项为

123x·C5(－1)322·x－1＋x·C5·(－1)2·23·x＝－40＋80＝40，故选D.] 8．某学习小组男、女生共8人，现从男生中选2人，从女生中选1人，分别去做3种不同的工作，共有90种不同的选法，则男女生人数为(

)

A．男2人，女6人

C．男5人，女3人

B．男3人，女5人

D．男6人，女2人

1B

[设男生x人，女生(8－x)人，列方程：C2C8A3－x·x·3＝90.解得x＝3，∴8－x＝5.] 9．如图1-3，要给①，②，③，④四块区域分别涂上五种不同颜色中的某一种，允许同一种颜色使用多次，但相邻区域必须涂不同颜色，则不同的涂色方法种数为(

)

图1-3 A．320

C．96

B．160 D．60 A

[根据分步乘法计数原理，区域①有5种颜色可供选择，区域③有4种颜色可供选择，区域②和区域④只要不选择区域③的颜色即可，故有4种颜色可供选择，所以不同涂色方法有5×4×4×4＝320种．] 10．设(1－3x)9＝a0＋a1x＋a2x2＋…＋a9x9，则|a0|＋|a1|＋|a2|＋…＋|a9|的值为(

)

A．29

C．39

B．49

D．59

B

[由于a0，a2，a4，a6，a8为正，a1，a3，a5，a7，a9为负，故令x＝－1，得(1＋3)9＝a0－a1＋a2－a3＋…＋a8－a9＝|a0|＋|a1|＋…＋|a9|，故选B.] 11．由1,2,3,4,5组成没有重复数字的四位数，按从小到大的顺序排成一个数列{an}，则a72等于(

) A．1 543

C．3 542

B．2 543 D．4 532 C

[千位数为1时组成的四位数有A3同理，千位数是2,3,4,5时均有A34个，4(个)数，而千位数字为1,2,3时，从小到大排成数列的个数为3A34＝72，即3 542是第72个．] 312．(1＋2x)3(1－x)5的展开式中x的系数是(

)

A．－4

C．2

B．－2 D．4 r235rrrC

[(1＋2x)3的展开式的通项为Tr＋1＝Cr(2x)＝2Cx，(1－x)的展开333′′式的通项为Tr′＋1＝Cr(－x)r′＝(－1)r′Cr5·5xrr′＋23′开式的通项为(－1)r′·2r·CrCrx3·5·r′33，因此，(1＋2x)3(1－x)5的展rr′.当2＋3＝1时有r＝0且r′＝3或r＝2且r′＝0两种情况，则展开式中x的系数为(－10)＋12＝2.] 二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分．将答案填在题中的横线上) a13．设二项式x－(a>0)的展开式中x3的系数为A，常数项为B.若B＝x4A，则a的值是________．

1－26r2

[对于Tr＋1＝Cr(－ax6x－636－r2r)r＝Crx6(－a)·42，B＝C46(－a)，A＝C6(－a)2.∵B＝4A，a>0，

∴a＝2.] 14．将5位志愿者分成3组，其中两组各2人，另一组1人，分赴某大型展览会的三个不同场馆服务，不同的分配方案有________种．(用数字作答) 2121C2C25C3C15C3C13390

[先分组A2，再把三组分配乘以A3得：A2A3＝90种．] 2215．设(x－1)21＝a0＋a1x＋a2x2＋…＋a21x21，则a10＋a11＝________.

21r0

[Tr＋1＝Cr(－1)r，

21x－1110∴a10＝C21(－1)11，a11＝C1021(－1)，

101010∴a10＋a11＝－C1121＋C21＝－C21＋C21＝0.] 16．某艺校在一天的6节课中随机安排语文、数学、外语三门文化课和其他三门艺术课各1节，则在课程表上的相邻两节文化课之间最多间隔1节艺术课的安排方法有________种．

432

[由题意知，可分为三类：

3第一类，文化课之间没有艺术课，有A3·A44种；

311第二类，文化课之间有一节艺术课，有A3·C3·C2·A33种；

3第三类，文化课之间有两节艺术课，有A3·A2A13·2种．

343113321故共有A3A4＋A3C3C2A3＋A3A3A2＝432种安排方法．] 三、解答题(本大题共6小题，共70分．解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤) 17．(本小题满分10分)已知A＝{x|1＜log2x＜3，x∈N*}，B＝{x||x－6|＜3，x∈N*}，试问：从集合A和B中各取一个元素作为直角坐标系中点的坐标，共可得到多少个不同的点？

[解]

A＝{3,4,5,6,7}，B＝{4,5,6,7,8}．

从A中取一个数作为横坐标，从B中取一个数作为纵坐标，有5×5＝25(个)，而8作为横坐标的情况有5种，3作为纵坐标且8不是横坐标的情况有4种，故共有5×5＋5＋4＝34个不同的点．

312＋的展开式的第7项与倒数第7项的比是18．(本小题满分12分)设331∶6，求展开式中的第7项．

16，

63[解]

T7＝Cn(2)n－633n－6n16Tn＋1－6＝Tn－5＝C6n(2)333. n－61613－66n36由Cn2∶63Cn23

33n3－4化简得6＝1∶6，

n＝6，所以3－4＝－1，解得n＝9. －116156639－63所以T7＝C9(2)3＝C9×2×9＝3. 319．(本小题满分12分)从7名男生和5名女生中，选出5人，分别求符合

下列条件的选法数．

(1)A，B必须被选出；

(2)至少有2名女生被选出；

(3)让选出的5人分别担任体育委员、文娱委员等5个不同职务，但体育委员由男生担任，文娱委员由女生担任．

[解]

(1)除A，B选出外，从其他10个人中再选3人，共有选法数为C310＝120. (2)按女生的选取情况分类：选2名女生3名男生；选3名女生2名男生；332415选4名女生1名男生；选5名女生．所有选法数为C25C7＋C5C7＋C5C7＋C5＝596. (3)选出1名男生担任体育委员，再选出1名女生担任文娱委员，剩下的101人中任选3人担任其他3个职务．由分步乘法计数原理可得到所有选法数为C17C53A10＝25 200. 20．(本小题满分12分)已知(1＋mx)n(m∈R，n∈N*)的展开式的二项式系数之和为32，且展开式中含x3项的系数为80. (1)求m，n的值．

(2)求(1＋mx)n(1－x)6展开式中含x2项的系数. [解]

(1)由题意，2n＝32，则n＝5. rr由通项Tr＋1＝Cr5mx(r＝0,1，…，5)，则r＝3，

3所以C35m＝80，所以m＝2. (2)即求(1＋2x)5(1－x)6展开式中含x2项的系数，

11220122(1＋2x)5(1－x)6＝[C05＋C5(2x)＋C5(2x)＋…](C6－C6x＋C6x＋…) ＝(1＋10x＋40x2＋…)(1－6x＋15x2＋…)，

所以展开式中含x2项的系数为1×15＋10×(－6)＋40×1＝－5. 21．(本小题满分12分)某校高三年级有6个班级，现要从中选出10人组成高三女子篮球队参加高中篮球比赛，且规定每班至少要选1人参加．这10个名额有多少不同的分配方法？

[解]

法一：除每班1个名额以外，其余4个名额也需要分配．这4个名额的分配方案可以分为以下几类：

1(1)4个名额全部给某一个班级，有C6种分法；

2(2)4个名额分给两个班级，每班2个，有C6种分法；

(3)4个名额分给两个班级，其中一个班级1个，一个班级3个．由于分给一班1个，二班3个和一班3个、二班1个是不同的分法，因此是排列问题，共有2A6种分法；

1(4)分给三个班级，其中一个班级2个，其余两个班级每班1个，共有C6·C25种分法；

4(5)分给四个班，每班1个，共有C6种分法．

12124故共有N＝C6＋C6＋A2C5＋C6＝126种分配方法．

6＋C6·法二：该问题也可以从另外一个角度去考虑：因为是名额分配问题，名额之间无区别，所以可以把它们视作排成一排的10个相同的球，要把这10个球分开成6段(每段至少有一个球)．这样，每一种分隔办法，对应着一种名额的分配方5法．这1个空位，现在要在这9个位子中放进5块隔板，共有N＝C9＝126种放法．

故共有126种分配方法．

22．(本小题满分12分)已知集合A＝{x|1

(1)从A∪B中取出3个不同的元素组成三位数，则可以组成多少个？

(2)从集合A中取出1个元素，从集合B中取出3个元素，可以组成多少个无重复数字且比4 000大的自然数？

[解]

由1

(1)从A∪B中取出3个不同的元素，可以组成A36＝120个三位数．

(2)若从集合A中取元素3，则3不能作千位上的数字，

有C3C1A35·3·3＝180个满足题意的自然数；

34若不从集合A中取元素3，则有C14C4A4＝384个满足题意的自然数．

所以，满足题意的自然数的个数共有180＋384＝564. 0个球之间(不含两端)共有9