小结10分钟试讲教案

第三章

统计案例-------小结

一、教学目标：

1.知识与技能：

1.会求线性回归方程，并用回归直线进行预测. 2.理解独立性检验的基本思想及实施步骤．

2.过程与方法：

通过典型问题的分析与解决，让学生体会分析、总结的方法，形成模式辨别能力，提升解题水平；

情感、态度与价值：

3.让学生探索、发现数学知识和掌握数学知识的内在规律的过程中不，不断获得成功积累愉快的体验，不断增进学习数学的兴趣，同时还通过探索这一活动培养学生善于和他人合作的精神. 二、教学重点、难点

重点：进一步提高对基本概念和基本方法的理解与掌握

难点：1.会求线性回归方程，并用回归直线进行预测. 2.理解独立性检验的基本思想及实施步骤．

三、教学过程

(一)《统计案例》本章归纳整合知识网络

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（二）例题讲解

题型一

线性回归分析

【典例1】一个车间为了规定工时定额,需确定加工零件所花费的时间,为此进行了10次试验,测得的数据

如下表: 零件数x(个) 加工时间

62 y(min) (1)画出散点图,并初步判断是否线性相关. (2)若线性相关,求回归直线方程. (3)求出相关指数. (4)作出残差图. (5)进行残差分析. 【解析】(1)画散点图如图所示, 72 75 81 85 95 103 108 112 127 10 20

30 40 50 60 70 80 90 100

由图可知,x,y线性相关. (2)x与y的关系可以用线性回归模型

拟合,不妨设回归模型为=x+. 将数据代入相应公式可得数据表: 零件个

序号

数xi(个) 1 2 3 4 10 20 30 40 yi(min) 62 72 75 81 加工时间

xiyi

620 1 440 2 250 3 240

100 400 900 1 600

2

5 6 7 8 9 10 ∑

所以=55,=92, 所以50 60 70 80 90 100 550 85 95 103 108 112 127 920 4 250 5 700 7 210 8 640 10 080 12 700 56 130 2 500 3 600 4 900 6 400 8 100 10 000 38 500 ===≈0.670,=-=92-×55=≈55.133,

所以回归直线方程为=0.670x+55.133. (3)利用所求回归方程求出下列数据. yi

yi-yi

yi-

61.833 0.167 -30 95.333 -0.333 3 68.533 3.467 -20 102.033 0.967 11 75.233 -0.233 -17 108.733 -0.733 16 81.933 -0.933 -11 115.433 -3.433 20 88.633 -3.633 -7 122.133 4.867 35 yi

yi-yi

yi-

所以R2=1-≈0.983.

(4)因为yi=yi-yi,利用上表中数据作出残差图,如图所示.

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(5)由散点图可以看出x与y有很强的线性相关性,由R2的值可以看出回归效果很好. 由残差图也可观察到,第2、5、9、10个样本点的残差比较大,需要确认在采集这些样本点的过程中是否有人为的错误. 【方法总结】解决回归分析问题的一般步骤

(1)画散点图.根据已知数据画出散点图. (2)判断变量的相关性并求回归方程.通过观察散点图,直观感知两个变量是否具有相关关系;在此基础上,利用最小二乘法求回归系数,然后写出回归方程. (3)回归分析.画残差图或计算R2,进行残差分析. (4)实际应用.依据求得的回归方程解决问题. 【巩固训练】从某居民区随机抽取10个家庭,获得第i个家庭的月收入xi(单位:千元)与月储蓄yi(单位:千元)的数据资料,算得xi=80,yi=20,xiyi=184,=720.

(1)求家庭的月储蓄y对月收入x的线性回归方程=x+. (2)判断变量x与y之间是正相关还是负相关. (3)若该居民区某家庭月收入为7千元,预测该家庭的月储蓄. 附:线性回归方程=x+中,=,=-,其中,为样本平均值. 【解析】(1)由题意知n=10,=xi==8, =yi==2,又-n=720-10×82=80,

4

xiyi-n=-=184-10×8×2=24,

由此得===0.3, =2-0.3×8=-0.4,

故所求回归方程为=0.3x-0.4. (2)由于变量y的值随x的值增加而增加(=0.3>0),故x与y之间是正相关. (3)将x=7代入回归方程可以预测该家庭的月储蓄为=0.3×7-0.4=1. 7(千元). 题型二

独立性检验

【典例2】(1)某保键药品推销商为推销其药品,在广告中宣传:“在服用该药品的105人中有100人未患A疾病”.经调查发现,在不使用该药品的418人中仅有18人患A疾病.请用所学知识分析该药品对防治A疾病是否有效? (2)在对人们饮食习惯的一次调查中,共调查了124人,其中六十岁以上的70人,六十岁以下的54人,六十岁以上的人中有43人的饮食以蔬菜为主,另外27人则以肉类为主,六十岁以下的人中有21人饮食以蔬菜为主,另外33人则以肉类为主. ①根据以上数据建立一个2×2列联表; ②判断人的饮食习惯是否与年龄有关. 【解析】(1)将问题中的数据写成2×2列联表如下表:

使用

不使用

总计

患病

5 18

23 不患病

100 400 500 总计

105 418 523 将上述数据代入公式K2=所以没有充分的证据表明该药品对防治A疾病有效. (2)①2×2列联表如下:

六十岁以下

六十岁以上

总计

主食蔬菜

21 43 64 中,计算可得k≈0.04145,而0.04145<2.706,主食肉类

33 27 60 总计

54 70 124

5

②根据列联表,可得K2的观测值

k=≈6.201>5.024.

故在犯错误的概率不超过0.025的前提下认为“人的饮食习惯与年龄有关”.

【方法总结】独立性检验问题的基本步骤

(1)找相关数据,作列联表. (2)求统计量K2. (3)判断可能性,注意与临界值作比较,得出与事件有关的确信度. 【巩固训练】为调查某地区老年人是否需要志愿者提供帮助,用简单随机抽样方法从该地区调查了500位老年人,结果如下: 性别

男

是否需要志愿者

需要

不需要

(1)估计该地区老年人中需要志愿者提供帮助的老年人的比例. (2)能否有99 的把握认为该地区的老年人是否需要志愿者提供帮助与性别有关? 【解析】(1)调查的500位老年人中有70位需要志愿者提供帮助,因此该地区老年人中,需要志愿者提供帮助40 160 30 270 女

的老年人的比例的估计值为(2)由表中数据,得K2的观测值为

=14 . k=≈9.967.

因为9.967>6.635,所以在犯错误的概率不超过0.01的前提下,即有99 的把握认为该地区的老年人是否需要志愿者提供帮助与性别有关. 四、小结

1.会求线性回归方程，并用回归直线进行预测. 2.理解独立性检验的基本思想及实施步骤．

五、作业

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