3.2.1 复数代数形式的加减运算及其几何意义优质课一等奖

《数系的扩充与复数的引入》

《数系的扩充与复数的引入》专题

一、复数的基本概念

实数b＝1．复数：a＋bi虚数b纯虚数a＝非纯虚数a

2．复数的相等

两个复数z1＝a＋bi(a，b∈R)，z2＝c＋di(c，d∈R)，当且仅当a＝c且b＝d时，z1＝z2. 特别地，当且仅当a＝b＝0时，a＋bi＝0. 3．复数是实数的充要条件

(1)z＝a＋bi(a，b∈R)∈Rb＝0；(2)z∈Rz＝z；(3)z∈Rz2≥0.

4．复数是纯虚数的充要条件

(1)z＝a＋bi(a，b∈R)是纯虚数a＝0，且b≠0；

(2)z是纯虚数z＋z＝0(z≠0)；(3)z是纯虚数z2<0. 二、复数的运算

设z1＝a＋bi，z2＝c＋di(a，b，c，d∈R)，则

①加法：z1＋z2＝(a＋bi)＋(c＋di)＝(a＋c)＋(b＋d)i；

②减法：z1－z2＝(a＋bi)－(c＋di)＝(a－c)＋(b－d)i；

③乘法：z1·z2＝(a＋bi)·(c＋di)＝(ac－bd)＋(ad＋bc)i；

④除法：z1z＝a＋bi＝a＋bic－di＝ac＋bd＋bc－ad2c＋dic＋dic－dic2＋d2c2＋d2i(c＋di≠0)．

题型一：复数的基本概念

1、复数z＝(m2－3m＋2)＋(m2＋m－2)i，当实数m为何值时，

(1)z为实数；(2)z为虚数；(3)z为纯虚数？

答案：

(1) m＝－2或m＝1．(2) m≠－2且m≠1．(3) m＝2．

2、已知(2x－1)＋i＝y－(3－y)i，x，y∈R，求x与y；

5答案：x＝2，

y＝4.3、若ai＋2＝b－i(a，b∈R)，i为虚数单位，则a2＋b2＝

答案：5 4、若关于x的方程x2＋(1＋2i)x＋3m＋i＝0有实根，则实数m＝

答案：112

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《数系的扩充与复数的引入》

5、已知关于x的方程x2＋(m＋i)x＋1＋i＝0有实根，则实数m＝_____ 答案：2 6、复数1＋i2的实部和虚部分别是

答案：0和0 7、若(x2－1)＋(x2＋3x＋2)i是纯虚数，则实数x的值是

答案：1 8、如果(m2－1)＋(m2－2m)i>0，则实数m的值为________ 答案：2 9、已知x2－(3－2i)x－6i＝0. (1)若x∈R，求x的值；(2)若x∈C，求x的值．

答案：(1) x＝3；(2)x＝3或x＝－2i. 10、实数m为何值时，复数z＝mm＋2m－1＋(m2＋2m－3)i分别是(1)实数；(2)虚数；(3)纯虚数．

答案：(1)m＝－3；(2)m≠1且m≠－3；(3)m＝0或m＝－2 题型二：复数的几何意义

1、实数a取什么值时，复平面内表示复数z＝a2＋a－2＋(a2－3a＋2)i的点

(1)位于第二象限；(2)位于直线y＝x上？

答案：

(1)－2

___ 答案：(5，－5) 4、在复平面内，求复数z，使复数z＝(m2－m－2)＋(m2－3m＋2)i(m∈R)的对应点

(1)在虚轴上；(2)在实轴负半轴上．

答案：(1)z＝6i或z＝0；(2) z＝－2. 5、当23

6、设复数z1，z2在复平面内对应的点关于原点对称，若z1＝2－3i，则z2＝________. 答案：－2＋3i 7、已知复数z＝(m2－3m)＋(m2－m－6)i，当实数m为何值时，①z是实数；②z＝4＋6i；③z对应的点在第三象限？

答案：①m＝3或m＝－2；②

m＝4；③0

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题型三：复数的模

1、设复数z1＝a＋2i，z2＝－2＋i，且|z1|<|z2|，则实数a的取值范围是________ 答案：－1

3、若a为正实数，i为虚数单位，a＋ii＝2，则a等于________ 答案：3

4、复数z12i,z23i，则=z1z2=________ 答案：52

5、若为(1i)(1ai)纯虚数，则复数1-ai的模是________ 答案：2

z26、下面是关于复数1i的四个命题：(1)z2；（2）z22i；（3）z的共轭复数为1i；（4）z的虚部为-1．其中正确的命题为________ 答案：（2）（4）

7、设z是复数z的共轭复数，且(12i)z5i，则z=________ 答案：5

题型四：复数的四则运算

1、

(1＋2i)＋(3－4i)－(5＋6i)=

答案：－1－8i 2、5i－[(3＋4i)－(－1＋3i)] =

答案：－4＋4i 3、(a＋bi)－(2a－3bi)－3i=

答案：－a＋(4b－3)i 4、

(1＋2i)＋(－2－3i)－(3－2i) =

答案：－4＋(2＋2－3)i. 5、

(3－10i)y＋(－2＋i)x＝1－9i，则实数x，y的值分别为

，

答案：1，1 6、(1－i)(1＋i)＋(－1＋i) =

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答案：1＋i 7、(2－i)(－1＋5i)(3－4i)＋2i=

答案：53＋23i 8、(－2＋3i)÷(1＋2i)＋i5=

答案：45＋125i 9、设复数z满足(1－i)z＝2i，则z＝

答案：－1＋i

10、若复数z满足

(3－4i)z＝|4＋3i|，则z的虚部为

答案：－1＋i

11、(4－i5)(6＋2i7)＋(7＋i11)(4－3i)＝

答案：47－39i. 12、已知z∈C，z为z的共轭复数，若z·z－3iz＝1＋3i，则z＝

答案：z＝－1或z＝－1＋3i. 13、复数z＝－3＋i2＋i的共轭复数是

答案：－1－i 13、已知复数z＋i，z3，且11＝52＝i－z＝z1＋z2，则z＝

答案：114＋4i. 14、已知a为正实数，i为虚数单位，若a＋ii的模为2，则a＝

答案：3 15、

(1＋i)20－(1－i)20的值是＝

答案：0 16、已知a，b∈R，i是虚数单位．若(a＋i)(1＋i)＝bi，则a＋bi＝________. 答案：1＋2i 17、若复数z满足z－3(1＋z)i＝1，则z＋z2＝________. 答案：－1 18、已知复数z满足(z－2)i＝a＋i(a∈R)．

(1)求复数z；(2)a为何值时，复数z2对应的点在第一象限？

答案：

(1) z＝3－ai.(2)－3

答案：0

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20、复数z满足iz＝3－4i，则|z|＝

答案：5 21、设a，b∈R，a＋bi＝11－7i1－2i，则a＋b＝

答案：8 22、已知z是纯虚数，z＋21－i是实数，那么z＝

答案：－2i 23、已知复数z的实部为－1，虚部为2，则5iz＝

答案：2－i 24、已知

为虚数单位，则

__________ 答案：

25、已知复数

(i为虚数单位），则

=__________ 答案：1-i 26、

__________ 答案：

27、已知

是虚数单位，则化简

的结果为__________ 答案：-1

28、已知复数

,则它的实部与虚部之和为__________ 答案：

29、若复数

为纯虚数，则实数

的值为__________ 答案：2 30、已知复数z满足

（i为虚数单位），则复数z的模为_______．

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答案：

31、复数

______．

答案：

32、i是虚数单位，复数 =__________．

答案：-1+i 33、已知复数

，则

__________．

答案： . 34、复数

__________．

答案：

35、i是虚数单位，复数

___________. 答案：4–i. 36、已知

是虚数单位，复数 的实部与虚部互为相反数则实数

的值为__________. 答案：-3 37、已知

，则

_______ 答案：-2-3i

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