3.1.2 复数的几何意义教案和学案内容

§3.1.3 复数的几何意义

【学习目标】

1.理解复数与以原点为起点的向量的对应关系；

2.了解复数的几何意义；

3.会用复数的几何意义解决有关问题. 【重点难点】

重点: 复数与从原点出发的向量的对应关系．

难点：复数的几何意义. 【学法指导】

由前一节内容知复数zabia,bR是由其实部a和虚部b共同决定，所以可以考虑复数zabia,bR与有序实数对a,b的对应关系，有序实数对a,b与以原点为起点以a,b为坐标的向量的对应关系，进而建立复数zabia,bR与以原点为起点以a,b为坐标的向量的对应关系，这是理解复数几何意义的基础.

【知识链接】

1、实数的几何意义：在几何上我们用什么表示实数？

【问题探究】

探究一、复数几何意义（一）

引导:复数zabia,bR与有序实数对a,b是 关系；若点Z的横坐标是a，纵坐标是b，则复数zabia,bR可用点 表示，其中这个建立了直角坐标系来表示复数的平面叫做_______，x轴叫做_________，y轴叫做__________

y

思考：⑴实轴上的点都表示________，原点表示

，

除了原点外，虚轴上的点都表示

___________. Za,bb0

ax

⑵在复平面内z=－5－3i对应的点______________，z=－3i对应的点______________，

实轴上的点2，0表示实数

，虚轴上的点0，1表示纯虚数_____________，

复数z

这就是复数的一种几何意义.也就是复数的另一种表示方法，即几何表示方法. 点拨：复数zabi,ab是由其实部a和虚部b共同决定，所以复数Rzabia,bR与有序实数对a,b是一一对应关系，和复平面内的点Za,b也是一一一对应abia,bR复平面内点Z(a,b)

一对应关系,这样就建立了复数和复平面内几何图形——点之间的关系，体现了数与形结合思想.

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例1、已知复数z(m2m6)(m2m2)i在复平面内的对应的点位于第二象限，求实数m的取值范围。

变式1：已知复数z(m2m6)(m2m2)i在复平面内的对应的点在直线x-2y+4=0上，求实数m的值。

探究二、复数几何意义（二）

引导:复平面内的点与平面向量的对应关系：

一一对应Z(a,b)平面向量OZ

因此，我们可以用平面向量来表示复数，即：

一一对应平面向量OZ

复数zabia,bR同时我们把向量OZ的模叫做复数zabi的模，即有zabiOZ

. 点拨：复数zabia,bR与平面向量OZ建立了一一对应关系，从而可以利用平面向量知识来解决复数问题，实现了数与形的互化. 例2、求下列复数的模

（1）、z5i （2）、z34i （3）、z55i

（4）、z1mi(mR) （5）、z4a3ai(a0)

思考：（1）满足|z|5(zR)的z值有几个？

（2）这些复数对应的的点在复平面上构成怎样的图形？

探究三、共轭复数

引导:像复数z23i和z23i这样，如果两个复数，实部

，虚部________________时，称这两个复数互为共轭复数，且zabi的共轭复数记作z,即zabi(aR,bR)的共轭复数z_________. 思考：（1）互为共轭复数的两个数所对应的点有什么关系？

（2）互为共轭复数的两个数的模有什么关系？

点拨：实部相等虚部互为相反数的两个复数互为共轭复数，互为共轭复数的两个复数有较好的性质，譬如在复平面内对应的点关于x轴对称，两个复数的模相等等性质，为后续进一步研究复数提供便利.

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【目标检测】

1．如果P是复平面内表示复数abia,bR的点，分别指出在下列条件下点P的位置：（1）a0,b0；（2）a0,b0；（3）a0,b0；（4）b0；

2.实数m取什么值时，复数m28m15m25m14i在复平面内所对应的点：

（1）位于第四象限；（2）位于直线yx上；

3.已知复数z的虚部为3，在复平面内复数z对应的向量的模为2，求复数z.

提示:可设复数za3i，根据复数z的模为2建立关于a的方程，解之即可.

4.在复平面内，复数z112i，z223i，z332i，z42i对应的点

分别为Z1，Z2，Z3，Z4.试求出复数z1,z2,z3,z4的模，并判断点Z1，Z2，Z3，Z4

是否在同一个圆上，从中你能得到什么结论？

提示：计算复数z1,z2,z3,z4的模，发现规律，寻求结论，再结合复数模的定义解释你的

结论.

【总结提升】

复数zabia,bR与复平面内的点Za,b是一一对应关系，与以原点为起点以

*a,b为坐标的向量OZ是一一对应关系，从而建立了复数与复平面内的点及向量之间的关系，这为我们研究复数问题提供了行之有效的方法，也体现了数与形的有机结合.

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