3.2.1 复数代数形式的加减运算及其几何意义教学设计(教案)

数系的扩充与复数的引入

湖南永州市第八中学 桂军民

教学重点：

1.通过数系的扩充，考查复数的概念；

2.用复数的代数形式考查复数的四则运算及几何意义；

3.利用复数相等的概念求复数．

教学难点：

1.

用复数的代数形式考查复数的四则运算及几何意义．

2. 利用复数相等的概念求复数．

[教学过程] [基础梳理] 1.复数的概念

设a，b都是实数，形如a＋bi的数叫复数，其中实部为 ，虚部为 ，i叫作虚数单位

举例：a＋bi为实数⇔ ，a＋bi为虚数⇔ ，a＋bi为纯虚数⇔________ 2.

复数相等

a＋bi＝c＋di⇔ (a，b，c，d∈R) 3.

共轭复数

a＋bi与c＋di共轭⇔ (a，b，c，d∈R) 举例：复数a(a为实数)的共轭复数是a 4. 复平面

建立平面直角坐标系来表示复数的平面，叫作复平面，x轴叫作 ，y轴叫作 实轴上的点都表示实数；除了原点外，虚轴上的点都表示纯虚数

4.

复数的模

→向量OZ的模叫作复数z＝a＋bi的模，记作|z| 举例：|z|＝|a＋bi|＝a＋b

5.复数的几何意义

→复数z＝a＋bi(a，b∈R)复平面内的点Z(a，b)向量OZ. 3．复数代数形式的四则运算

(1)运算法则：

设z1＝a＋bi，z2＝c＋di(a，b，c，d∈R)，则

2.复数的几何意义

→复数z＝a＋bi(a，b∈R) 复平面内的点Z(a，b) 向量OZ. 3．复数代数形式的四则运算

(1)运算法则：

22

设z1＝a＋bi，z2＝c＋di(a，b，c，d∈R)，则

加减法

z1±z2＝(a＋bi)±(c＋di)＝________________（把实部、虚部分别相加减）

乘法

z1·z2＝(a＋bi)(c＋di)＝________（按照多项式乘法进行，并把i2换成－1）

除法

z1a＋bia＋b＝＝z2c＋dic＋dc－dc－d＝___________(c＋di≠0)

（把分子、分母分别乘以分母的共轭复数，然后分子、分母分别进行乘法运算）

(2)复数加法的运算律：

设z1，z2，z3∈C，则复数加法满足以下运算律：

①交换律：z1＋z2＝ ；

②结合律：(z1＋z2)＋z3＝ ．

[三基自测] 1．复数52的共轭复数是(

) 2－iA．2－i B．2＋I C．3－4i D．3＋4i 2．若复数m(3＋i)－(2＋i)在复平面内对应的点位于第四象限，则实数m的取值范围为(

) 222A．m>1

B．m>

C．m<或m>1

D.

1＋i7＋i4．复数z＝，其中i为虚数单位，则|z|＝________. 3＋4i易错突破

考点一| 复数的有关概念

【例1】

(1)设(1＋2i)(a＋i)的实部与虚部相等，其中a为实数，则a＝(

) A．－3

B．－2

C．2

D．3 (2)设复数z满足z＋i＝3－i，则z＝(

) A．－1＋2i

B．1－2i C．3＋2i

D．3－2i a＋3i(3)已知复数是纯虚数，则实数a＝(

) 1－2iA．－2

B．4

C．－6

D．6 [解析]

(1)(1＋2i)(a＋i)＝(a－2)＋(2a＋1)i，由已知条件，得a－2＝2a＋1，解得a＝－3.故选A. (2)易知z＝3－2i，所以z＝3＋2i.

a＋3ia－6＋2a＋3ia＋3i(3)＝，∴当a＝6时，复数为纯虚数．

51－2i1－2i易错提醒

1.复数的分类、复数的相等、复数的模，共轭复数的概念都与复数的实部与虚部有关，

所以解答与复数相关概念有关的问题时，需把所给复数化为代数形式，即a＋bi(a，b∈R)的形式，再根据题意求解．

a＝0，2．复数z＝a＋bi(a，b∈R)为纯虚数的充要条件为解题时，不要丢掉b≠0的条件．

b≠0，

母题变式

(1)在本例(1)中，若(1＋2i)(a＋i)(a∈R)为纯虚数，如何选取答案？

(2)在本例(2)中，求|z|的值．

思维突破

考点二|复数的几何意义

【例2】

(1)已知z＝(m＋3)＋(m－1)i在复平面内对应的点在第四象限，则实数m的取值范围是(

) A．(－3,1)

B．(－1,3)

C．(1，＋∞)

D．(－∞，－3) (2)已知复数z1＝－1＋2i，z2＝1－i，z3＝3－4i，它们在复平面上对应的点分别为A，B，C，→→→若OC＝λOA＋μOB，(λ，μ∈R)，则λ＋μ的值是________．

(3)复数|z|＝1，则|z＋i|的最大值为________．

m＋3>0，[解析]

(1)由已知可得复数z在复平面内对应的点的坐标为(m＋3，m－1)，所以m－1<0，

解得－3

(3)设z＝x＋yi(x，y∈R)，由于|z|＝1，∴x2＋y2＝1，即点z(x，y)在单位圆上，∴|z＋i|＝|x＋yi＋i|＝x2＋y＋12表示(x，y)与点(0，－1)的距离，如图，|z＋i|max＝2. 解决复数的几何意义问题主要用到方程及不等式思想、数形结合思想：

(1)已知复数对应点的位置求参数范围，可建立不等式求解．

(2)已知复数对应的点进行运算时，可建立方程待定系数求解．

跟踪训练

－2＋3i(1)在复平面内，复数(i是虚数单位)所对应的点位于(

) 3－4iA．第一象限

B．第二象限

C．第三象限

D．第四象限

(2)如图所示，平行四边形OABC，顶点O，A，C分别表示0,3＋2i，－2＋4i，则B点对应的复数为________．

(3)对本例(1)，当m∈R时，复数z对应的点形成什么样的图形？

考点三|复数的代数运算

(方法突破) 方法1

根据复数的运算法则直接计算

1＋i3【例3】＝(

) 1－i2A．1＋I

B．1－I

C．－1＋I

D．－1－i 方法2

利用复数相等间接求解

【例4】

若复数z满足2z＋z＝3－2i，其中i为虚数单位，则z＝(

) A．1＋2i

B．1－2i

C．－1＋2i

D．－1－2i [解析]

设z＝a＋bi(a，b∈R)，则z＝a－bi.故2z＋z＝2(a＋bi)＋a－bi＝3a＋bi＝3－2i，3a＝3，a＝1，所以解得所以z＝1－2i.故选B. b＝－2，b＝－2，

方法3

利用复数的有关性质进行计算．

【例5】

已知复数z＝1＋2i，则1＋z＋z2＋…＋z2 016为(

) 1－iA．1＋I

B．1－I

C．i

D．1

技法感悟

利用复数的四则运算求复数的一般思路

(1)复数的加、减、乘法运算：满足多项式的加、减、乘法法则，利用法则后将实部与虚部分别写出即可，注意多项式乘法公式的运算．

(2)复数的除法运算：主要是利用分子、分母同乘以分母的共轭复数进行运算化简．

(3)解简单的复数方程：利用复数的四则运算求解即可．

跟踪训练

(1)若a＋bi＝5(i是虚数单位，a，b∈R)，则ab＝(

) 1＋2iA．－2

B．－1

C．1

D．2 (2)z是z的共轭复数．若z＋z＝2，(z－z)i＝2(i为虚数单位)，则z＝(

) A．1＋I

B．－1－I

C．－1＋I

D．1－i (3)设复数z满足(z－2i)(2－i)＝5，则z＝________. 课堂小结

1．复数的乘法

复数的乘法类似于多项式的四则运算，可将含有虚数单位i的看作一类同类项，不含i的看作另一类同类项，分别合并即可．

2．复数的除法

除法的关键是分子分母同乘以分母的共轭复数，解题中要注意把i的幂写成最简形式．

3．特殊的几何运算结论

(1)(1±i)2＝±2i；1＋i1－i＝i；＝－i.(2)－b＋ai＝i(a＋bi)．(3)z·z＝|z|2＝|z|2. 1－i1＋i4．注意易失误点

(1)两个虚数不能比较大小．(2)利用复数相等a＋bi＝c＋di列方程时，注意a，b，c，d∈R的前提条件．