1.1.6 棱柱、棱锥、棱台和球的表面积板书设计及设计说明

1.1.6

棱柱、棱锥、棱台和球的表面积

1.会画棱柱、棱锥和棱台的侧面展开图,并能通过侧面展开图推导直棱柱、正棱锥和正棱台的侧面积公式.

2.记住直棱柱、正棱锥和正棱台的侧面积公式以及初中所学的圆柱和圆台的侧面积公式,并能运用公式求相应几何体的侧面积和表面积.

3.记住球的表面积公式,并能运用公式求球的表面积.

问题1: 直棱柱、棱锥、棱台展开图是什么?该如何计算它们的表面积? 直棱柱、棱锥、棱台的表面积的计算,可以先计算其侧面积,然后加上它们的底面积.

(1)从侧面展开图可知:直棱柱侧面积S侧=

ch ,底面周长为c,侧棱为h.

(2)正棱锥侧面积S

侧=

ch' ,底面周长为c,斜高为h'.

(3)正棱台侧面积S侧=

(c+c')h' ,上、下底面的周长分别为c'、c,斜高为h'

.

问题2:圆柱、圆锥、圆台的侧面展开图分别是什么?侧面积及表面积公式呢? 圆柱:侧面展开图是

,长是圆柱底面圆的

,宽是圆柱的高(母线), S圆柱侧=

,S圆柱表=

,其中r为圆柱底面半径,l为母线长.

圆锥:侧面展开图为一个

,扇形的半径是圆锥的

,弧长等于圆锥底面周长,侧面展开图的扇形圆心角为θ=

×360°,S圆锥侧=

,S圆锥表=

,其中r为圆锥底面半径,l为母线长.

圆台:侧面展开图是

,内弧长等于圆台

,外弧长等于圆台

,侧面展开图的扇环圆心角为θ=

-

×360°,S圆台侧=

,S圆台表=

.

问题3:球的表面积:设球的半径为R,则球的表面积S=

4πR2

,即球的表面积等于它的大圆面积的

4

倍.

问题4:有关圆柱、圆锥、圆台的表面积计算要充分利用其轴截面(如图,圆柱的轴截面为矩形ABCD,圆锥的轴截面为等腰三角形SAB,圆台的轴截面为等腰梯形ABCD),就是说将已知条件尽量归结到轴截面中求解.而对于圆台有时需要将它还原成

圆锥

,再借助相似的相关知识求解.

棱柱、棱锥、棱台的表面积

正四棱锥的侧面积是底面积的2倍,高是3,求该正四棱柱的表面积.

圆柱、圆锥、圆台的表面积

已知圆台的上、下底面半径分别是2、5,且侧面面积等于两底面面积之和,求该圆台的母线长.

球的表面积

在球心同侧有相距9 cm的两个平行截面,它们的面积分别为49π cm2和400π cm2,求该球的表面积.

(2015年·安徽卷)一个四面体的三视图如图所示,则该四面体的表面积是(

).

A.1+

B.2+

C.1+2

D.2

答案

问题1:(1)ch (2)

ch' (3)

(c+c')h'

问题2:矩形

周长

2πrl 2πr(r+l)

扇形

母线

πrl πr(r+l)

扇环

上底周长

下底周长

π(r+r')l

π(r2+rl+r'l+r'2) 问题3:4πR2

4 问题4:圆锥

重点难点探究

探究一:【解析】由题意,可画出该正四棱锥,如图所示,高PO=3,PE是斜高.

∵S

侧=2S底,∴4×2

×BC×PE=2BC,∴BC=PE.

在Rt△POE中,PO=3,OE=

BC=

PE, ∴9+( 2

)=PE2,∴PE=2

.

∴S底=BC2=PE2=(2

)2=12, S侧=2S底=2×12=24,∴S表=S底+S侧=12+24=36.

【小结】两个直角三角形的应用:(1)高、侧棱、底面中心到底面顶点的连线所构成的直角三角形;(2)高、斜高、底面中心到对应边的垂线所构成的直角三角形.

探究二:【解析】设圆台的母线长为l,则圆台的上底面面积为S上=π·22=4π,圆台的下底面面积为S=π·52下=25π, 所以圆台的底面面积之和为S=S上+S下=29π.

又圆台的侧面积S侧=π(2+5)l=7πl, 于是7πl=29π,即l=

.

【小结】圆柱、圆锥、圆台的侧面是曲面,计算侧面积时需要将它的曲面展开为平面图形计算,即旋转体的侧面展开图;而表面积是侧面积与底面圆的面积之和.

1.圆柱的侧面展开图是一个矩形,矩形两边长分别为圆柱底面周长和高; 2.圆锥侧面展开图是一个扇形,半径为圆锥的母线,弧长为圆锥底面周长; 3.圆台侧面展开图是一个扇环,其两段弧长为圆台两底面周长,扇形两半径的差为圆台的母线长.

探究三:

【解析】如图是球的过球心的截面,由球的截面性质知,AO1∥BO2,且O1、O2分别为两截面圆的圆心,则OO1⊥AO1,OO2⊥BO2.

设球的半径为R, ∵π·O2B2=49π,∴O2B=7 cm, 同理,π·O21A=400π, ∴O1A=20 cm.

设OO1=x cm,则OO2=(x+9)cm. 在Rt△OO2221A中,R=x+20, 在Rt△OO2222B中,R=(x+9)+7, ∴x2+202=(x+9)2+72,解得x=15, ∴R2=x2+202=252,∴R=25 cm.

∴S球=4πR2=2500π cm.

∴该球的表面积为2500π cm2.

【小结】球的截面在解决球的有关计算问题中起着关键的作用.当截面过球心时,截面圆的半径即为球的半径,此时的球的截面就是球大圆;当截面不过球心时,如图所示的截面圆的半径r都小于球的半径R,此时的截面圆是球小圆.设球心至截面的距离为h,三者构成直角三角形,满足R2=r2+h2.

球的截面是圆面而不是圆,注意圆面与圆是两个不同的概念(圆不包括内部而圆面包括内部).

全新视角拓展

【解析】由三视图还原几何体如图所示,其中侧面PAC⊥底面ABC,且△PAC≌△ABC.由三视图中的数据可知PA=PC=AB=BC=

,取AC中点O,连接PO、BO,则在Rt△POB中,PO=BO=1,可得PB=

.所以该四面体的表面积为S

表=S△PAC+S△ABC+S△PAB+S△PBC=

×2×1+

×2×1+

×

×

+

×

×

=2+

.

【答案】B