2.3.4 圆与圆的位置关系教学设计实例

圆与圆的位置关系

大连市旅顺第二高中

数学组

王丽华

一、教学内容解析

本节课是《普通高中课程标准实验教科书》（人民教育出版社，课程教材研究所，中学数学课程教材研究开发中心编著）必修2中第四章《圆与方程》第二节“直线、圆的位置关系”的第二课时，《课程标准》指出：能根据给定直线、圆的方程，判断直线与圆、圆与圆的位置关系；能用直线和圆的方程解决一些简单的问题．

教材是在初中平面几何对圆与圆的位置关系初步分析的基础上结合前面学习的点与圆、直线与圆的位置关系,得到判断两圆位置关系的两种方法．代数法，根据学生初中学习圆与圆相交、相切、相离的定义的基础上，类比直线与圆判断位置关系的方法，将两圆的方程联立方程组，通过讨论方程组的解的不同情况来判断．本方法主要突出代数法的思想且具有一般性，可类比地推广到对椭圆、双曲线、抛物线同类问题的研究中．几何法，根据学生初中学习的圆与圆五种具体位置关系的判定，即利用两圆心之间的距离与半径的和以及差的绝对值比较．该方法，实现了空间形式与数量关系的结合． 解析几何是数学的一个重要分支，它沟通了数学内数与形、代数与几何等最基本对象之间的联系．用代数的方法来解决几何问题是解析几何的精髓,是平面几何问题的深化．因此,继续深化用代数方法来分析位置关系,这样有利于培养学生数形结合、几何问题代数化等解析几何思想方法及辩证思维能力,其基本思维方法和解决问题的技巧对今后整个圆锥曲线的学习有着非常重要的意义．因此，本节课在教材中起到了承上启下的重要作用．

教学重点：圆与圆的位置关系及判断方法；两圆相交时公共弦问题．

二、教学目标设置

高中数学教学的重要目标之一是提高学生的数学思维能力，通过不同形式的探究活动，让学生亲身经历知识的发生和发展过程，从中领悟解决问题的思想方法，不断提高分析和解决问题的能力，使数学学习变成一种愉快的探究活动，从中体验成功的喜悦，不断增强探究知识的欲望和热情，养成一种良好的思维品质和习惯．根据本节课的教学内容和我所教学生的实际情况，教学目标确定为以下三个方面：

1．知识与技能目标

A级目标：（1）能根据给定圆的方程，用几何和代数的方法判断两圆的位置关系．

A级目标：（2）若两圆相交，会求两圆的公共弦所在的直线方程及公共弦长．

B级目标：（3）理解几何问题代数化的思想，深入了解解析几何的本质．

注：A级目标：面向全体学生，重点针对基础较薄弱的学生．

B级目标：面向部分学生，重点针对能力较强，学有余力的学生．

2．过程与方法目标

（1）类比直线与圆的位置关系，通过对圆与圆的位置关系的探究活动，经历知识的建构过程，培养学生独立思考、自主探究、动手实践、合作交流的学习能力．

（2）强化学生用数形结合的方法解决几何问题的意识，培养学生分析问题和灵活解决问题的能力．

3．情感、态度与价值观目标

通过对本节课知识的探究活动，加深学生对圆与圆的位置关系的认识，从而领悟其中所蕴涵的数学思想，体验探索中成功的喜悦，激发学习热情，养成良好的学习习惯和品质，培养学生的创新意识和进取精神．

三、学生学情分析

1．学生程度

本节内容面对的是高一新生，所授课的班级中学生层次不同，存在一定差异．虽经历了必修一集合、函数相关知识的学习，但解析几何的学习刚刚开始，对代数法还处于初步了解的层次．

2．知识层面

（1）学生初中已经接触过圆与圆相交、相切、相离的定义和判定．

（2）掌握了点的坐标、直线的方程、圆的方程以及点到直线的距离公式．

（3）上一节已经初步掌握直线与圆判断位置关系的两种方法．

3．能力层面

（1）掌握利用方程组的方法来求两圆的交点；

（2）具有用代数法研究点与圆、直线与圆的位置关系的基础；

（3）具有一定的数形结合解题思想的基础．

根据以上三个方面的分析，在已有的认知基础的条件下，经历直线、圆的方程学习后，学生已经具备了一定的判断圆与圆位置关系的能力，但学生仅仅停留在模仿、类比的知识表面，知识的来龙去脉并不知晓，这时需要教师的引导和帮助．

因此，我在教学中通过提供的丰富的数学学习环境，创设便于观察和思考的情境，给他们提供自主探究的空间，使学生经历完整的数学学习过程，引导学生在已有数学认知结构的基础上，通过积极主动的思维而将新知识内化到自己的认知结构中去．同时为他们施展创造才华搭建一个合理的平台，使他们感知学习数学的快乐．

教学难点：代数法解决几何问题的数学思想．

四、教学策略分析

1．根据本节课教材内容的特点，为了更直观、形象地突出重点，突破难点，借助信息技术工具，通过图形的动态演示，学生的动手实验,变抽象为直观，为学生的数学探究与数学思维提供支持．

2．由于所教班级学生基础层次不同，所以在整节课的教学中采用小组合作学习的方式，这样可以为不同认知基础的学生提供学习机会，同时有利于发挥各层次学生的作用．

3．本节课的教学设计遵循了“以学生为主”的教学模式，教师始终坚持启发式教学原则，设计一系列问题串，以引导学生的数学思维活动．教师在整个教学过程中，注意到了少讲，给学生充分活动的时间和空间，让学生互相评价，总结解题经验．教师的重点放在了对解法的归纳以及代数法的思想是否得到落实上．

丰富学生的学习方式，改进学生的学习方法是高中教学课程追求的理念．学生的数学学习不应只限于概念，结论和方法的记忆，模仿和接受．本节课主要是学习如何判断圆与圆的位置关系，学习过程中，要使学生理解判断方法，并会灵活应用，要鼓励学生积极参与教学活动，包括思维的参与和行为的参与，既要有教师的讲授和指导，也要有学生的自主探究与合作交流．因此，结合本课的教学内容与学生实际，本设计主要采用的教学方法是诱思探究法．

五、教学过程

（一）回首---温故知新

问题1：观看索契冬奥会开幕式和闭幕式视频，回顾初中所学圆与圆有哪几种位置关系？

外离 ； 外切 ； 相交 ； 内切 ； 内含 ．

【设计意图】

由非常有意思的索契冬奥会的4．5环入手，调动学生的学习热情，让学生充分体会数

学来源于生活，同时复习巩固圆与圆的位置关系．

问题2：圆与圆位置关系分类的依据是什么？ 依据一：OO.

12与Rr,Rr之间的关系依据二：两圆联立方程组解的个数．

问题3：详细填写学案中表格并观察动画演示．

图形

位置关系

外离

d与R、r关系dRr

公共点

无公共点

外切

dRr

1个公共点

相交

RrdRr

2个公共点

内切

dRr

1个公共点

内含

dRr

无公共点

【教学方式】上述问题交给B类生或C类学生，增加学生的积极性和自信心．由学生动手画图、思考，教师巡视指导，学生代表到前面演示，一边讲解做题过程一边与同学们核对．随后教师根据学生演示情况给予评价，特别注意纠正学生尺规作图的规范性．强调数学的学习离不开三大品质：勤奋、创新、严谨，并引导学生带着严谨的态度一起观察动画演示，再次对圆与圆的位置关系有深刻的理解．

【设计意图】在知识的进一步巩固过程中，为本节内容提供学习思路和方法，同时培养学生优秀的数学品质：勤奋、创新、严谨．

问题4：是否所有的圆都存在上述五中位置关系呢? 【教学方式】通过两光盘的具体实验让学生自我观察总结五种位置关系存在的前提是两半径不等的圆. （二）体验---形成方法

问题：回顾上一节如何判断直线与圆的位置关系？

方法一：几何法 方法二：代数法

直线

（x0,y0）,r圆ddr直线方程圆的方程

交点个数（请同学们独立思考，用尽可能多的方法完成下面问题，然后进行小组讨论．）

例1已知圆C1：x2y22x8y80和圆C2:x2y24x4y20,试判断两圆位置关系.22xy2x8y80,解:方法一:圆C1与圆C2的方程联立得到方程组22xy4x4y20.

(1)(2)

(1)-(2)得x+2y1=0, （3）

由(3)得y1x,把上式代入(1)并整理得x22x30 （4）

2

方程(4)的判别式(2)241(3)16>0,所以方程（4）有两个不等的实数根,即圆C1与圆C2相交． 【师生活动】

师：本题在（3）式的处理上哪位同学还有不同的方法？

2

生：由(3)得x2y1，把上式代入(1)并整理得y10

师：数学的世界是丰富多彩的，解题方法也不拘泥于一种，同学们在联立方程时，总习惯消去y，这位同学选择了消去x，得到了关于y的一元二次方程形式，y得特别感谢你了，终于有我的出头之日了．

小结1：类比判断直线与圆位置关系的代数法，能否总结出属于圆与圆的方法步骤？

圆C1方程圆C2方程交点个数方法二:把圆C1:x2+y2+2x+8y8=0,圆C2: x2+y24x4y2=0,化为标准方程,得(x+1)2+(y+4)2=25与(x-2)2+(y-2)2=10．

圆C1的圆心是点1,4,半径长r15;圆C2的圆心是点2,2,半径长r210．

圆C1与圆C2的连心线的长为(12)2(42)235, 圆C1与圆C2的半径长之和为r1r2510, 半径长之差为r1r2510．

而510＜35＜510,即r1r2＜35＜r1r2, 所以圆C1与圆C2相交,它们有两个公共点．

【师生活动】

师：请同学思考如何比较三者大小关系？

生：不等式平方化简可得．

师：还有没有其他方法？

生：作差法进行比较．

小结2：类比判断直线与圆位圆C1（x1,y1）,r1圆C1（x2,y2）,r2置关系的几何法，能否总结出属于圆与圆ddr

的方法步骤？

【教学方式】前后六人为一小组，教师引导学生观察思考，并关注多少学生利用图形求解，对这些学生给予及时表扬．教师在下面巡视，选出代表将自己的方法写在黑板上．进行板演的学生可以选择班级中学习能力较强的A类生，目的是具有示范性，同时也可以发现学生遇到的障碍，及时给予帮助．

【设计意图】1.培养学生自主探究的能力；2．让学生板演格式，及时发现问题给予纠正；

3．学生分析问题，解决问题，小组合作的能力；4．加强数形结合的意识．

（三）感知---应用方法

（1）位置关系

变式1已知圆C1：x2y22x8y80和圆C2:x2y24x4y20相交，求交点坐标.

分析：由例1代数法

x3x11方程组的解为：1

或y12y101,0．

所以交点的坐标为3,2，反思1：判断圆与圆位置关系时，用哪种方法更简捷？

反思2：若两圆相交求交点，应选用哪种方法？

【设计意图】通过变式锻炼学生的运算能力，拓展学生的思维，并由学生分组探讨反思在具

体运算过程中两种方法如何选择，在小组交流合作的过程中形成思维，得出结论．

（2）公共弦问题

变式2已知圆C1：x2y22x8y80和圆C2:x2y24x4y20 相交，求公共弦所在直线方程.22xy2x8y80,解:圆C1与圆C2的方程联立得到方程组

22xy4x4y20.

(1)(2)

(1)-(2)得： x+2y1=0 （3）

由(3)得y1x,把上式代入(3)并整理得x22x30． （4）

2解（4）得：x3或x1

x13x11所以方程组的解为：

或y2y0111,0．

所以交点的坐标为3,2，两点式可得公共弦所在直线方程：x+2y1=0

探究：本题结果与（3）式相同，这是巧合吗？

【教学方式】学生审题，思考交流，探讨解题思路，教师及时引导，学生争先发表自己的看法．

【设计意图】通过变式2让学生明确公共弦所在直线方程的求法，更让学生明确为什么是公

共弦所在直线方程．

充分调动学生的积极性，拓展学生的思维，深化几何问题代数化的思想，

体现数形结合的思想．引导学生验证探究的结论，以此获得成就感．

结论：

圆C1：x2y2D1xE1yF10与圆C2：x2y2D2xE2yF20相交，则两圆相交弦方程为D1D2XE1E2YF1F20【设计意图】通过教师的总结，使问题进一步深化．

变式3已知圆C1：x2y22x8y80和圆C2:x2y24x4y20相交，求公共弦长.解:方法一

交点的坐标为3,2、1,0．所以公共弦AB25．

22 方法二

因为半径为5，弦心距为25，所以半弦长为

5(25)5 所以公共弦AB25．

【设计意图】通过变式3让学生再一次明确解析几何是一门数与形紧密联系的学科，同时体会圆与圆问题到直线与圆问题的转化化归思想．

（四）巩固---提高方法

1.判断圆C1:x2y22x3y10与圆C2:x2y24x3y20的位置关系.

A.相交B.外切C.内含D.无法确定2.求圆C1:x2y240与圆C2:x2y24x4y120

（1) 公共弦所在直线

（2）公共弦长.参考答案;1．A

2．(1)xy20（2）22

【师生活动】调查两道题目的正确率．

【设计意图】目的是为了巩固学生所学的数学知识，方法和思想，提高学生灵活应用所学知

识解决实际问题的能力．

（五）课堂小结 知识：1．判断圆与圆位置关系的两种方法．

2．求相交圆的公共弦．

思想方法：1．类比

2．转化

3．数形结合

【设计意图】通过小结使学生在小组的交流讨论过程中，理清本节知识的脉络和使用方法，对所学知识技能和思想方法有一个全面系统的认识，培养了学生概括总结所学知识的能力．

（六）布置作业 1．巩固：课本133页习题10

2．提高：课本133页习题11

3．探究：

(1)k为何值时，圆C1:x2y24x6y120与圆C2:x2y22x14yk0相离，

相交，相切？（2）两圆不相交时，方程相减所得是否为直线？这条直线与两圆有什么关系？

【设计意图】目的是巩固所学内容，发现和弥补学生学习中的遗漏和不足，强化基本技能训练，培养学生良好的思维品质和习惯，通过巩固题、提高题和探究题，使不同层次的学生均有所收获，体现因材施教的教学原则．

（七）板书设计

4．2．2圆与圆的位置关系

1．几何法 例1解：

2．代数法 例1解：

圆C1方程圆C2方程

圆C1（x1,y1）,r1圆C1（x2,y2）,r2ddr交点个数【设计意图】设计目的是按照突出重点，结构简明原则设计板书，力求以美来陶冶学生的品质．