1.3 二项式定理（通用）教学设计案例

《1.3.1 二项式定理》教学设计

[学习者起点分析]

在多项式的运算中，把二项式展开成单项式之和的公式，即二项式定理有着非常重要的地位。学生在此之前已经学习过了计数原理，本节的内容恰恰是对分步乘法计数原理及分类加法计数原理的应用，通过这些应用，结合初中阶段所认识的多项式乘法法则，学生可以将二项展开式推导出来，为之后学习随机变量及其分布做足了准备。另外，由于二项式系数是一些特殊的组合数，由二项式定理可导出一些组合数的恒等式，这对深化组合数的认识也有好处。

[学习内容分析]

本节课从学生所熟悉的完全平方式的展开分析入手，从特殊推广到一般猜想出二项式的展开情况，利用多项式乘法法则及分步乘法计数原理对其进行了证明，形成最终的结论。之后对得出的公式进一步分析，深化了学生对二项式定理的认识及应用。

[教学目标分析] 1、

掌握二项式定理、二项展开式及其通项；

2、

可以利用二项式定理进行二项式的展开；

3、

可以利用通项公式进行展开式中指定项的分析。

[教学过程设计] 一、复习回顾

（ab）的展开式，今天我们学习二项式定理，二项式定理研究的是首先让我们从大家所熟悉的完全平方式入手。

二、讲授新课

在初中，我们用多项式乘法法则得到了(ab）的展开式：

2(ab）（ab）（ab） aaabbabb

n2 a22abb2从上述过程可以看出，(ab）是由两个(ab）相乘，根据多项式乘法法则，每个

因式在相乘时有两种选择，选a或选b，而且每个因式中的a或b都选定后，才能得到展开2式的一项。于是，由分步乘法计数原理，在合并同类项之前，(ab）的展开式共有2项，2k22而且每一项都是二次的，我们可将各项概括为a下面我们再来分析一下形如a2kbk(k0,1,2)的形式。

bk

的同类项的个数：

当k0时，a2-kbka2

，是由2个因式中都选择a得到的，当然，选a即不选b，相当于从2个(ab）

中取0个b的组合数C2，因此a只有一个；

02当k1时，a2-kbkab，是由2个因式中一个选a另一个因式选b得到的，相当于从

12个(ab）中取1个b的组合数C2，即ab有2个。

（ab）中取2当k2时，a2-kbkb2，是由2个因式都选b得到的，相当于从2个2个b的组合数C2

，因此b只有1个。

20212由上述分析可以得到：(ab）C2aC2abC2b，为了式子的形式与后续所研2020111202究的式子的形式达成一致，我们可将上式改写为(ab）C2abC2abC2ab。

2（ab）、（ab）的展开式表示出来：

仿照刚才的分析，我们可将3030121212303

（ab）C3abC3abC3abC3ab；4040131222313404（ab）C4abC4abC4abC4abC4ab.

34通过分析前面几个式子的展开形式，由特殊推广到一般，我们可以猜想，对于任意一个正整数，其二项展开情况可以表示如下：

n0n01n11knkkn0n（ab）CnabCnabCnabCnab(nN*)。

如何证明这个猜想呢? 仿照前面的过程，我们可以分两步进行：

首先，确定展开式的项数及项的形式：

（ab）（ab）是n个由于相乘，每个因式在相乘时有两种选择，选a或者是b，而且每个因式中的a或b选定后，才能得到展开式的一项，因此，由分步乘法计数原理可知，n（ab）的展开式共有2项，其中每一项都是a在合并同类项之前，形式。

接着，确定展开式中具有同一形式的项的个数：

nnnkbk(k0,1,,n)的（ab）中选a，k对于某个k(k0，1,2，n)而言，对应的项ankbk是由n-k个（ab）个中选b得到的，由于b选定后，a的选法也随之确定，因此，ankbk出现的次数（ab）相当于从n个中取k个b的组合数Ckn，将它们合并同类项可得这一项的系数为

Ckn。

（ab）的展开式为：

以此类推，我们可以得到，n0n01n11knkkn0n（ab）CnabCnabCnabCnab(nN*)。

n这一公式，我们称之为二项式定理，等号右边的式子我们称为二项展开式。刚才的证明，我们选用了“说理”的方法，事实上，二项式定理是一个关于正整数的结论，我们也可以利

用数学归纳法对其进行证明，有兴趣的同学可以自行尝试。

通过仔细观察，我们可以发现二项展开式具有如下的结构特征：

（1） 展开式中有n1项；

（2）各项的次数都等项于式二的次n数;

字母b按升幂排列，次数由0递增到n；

(3) 字母a按降幂排列，次数由n递减到0；knkkknkk

(4)

式中的Cnab叫做二项展开式的通项，用Tk1表示,即Tk1Cnab；k

各项的系数Cn（5）(k0,1,2,,n)

叫做二项式系数，这一组数仅与次数n有关。

012n那么请同学们思考，若将所有的二项式系数求和，即Cn，结果如CnCnCn何呢？

事实上，我们只需令二项式定理中的ab1，可以得到：n0n01n11knkkn0n（11）Cn11Cn11Cn11Cn11(nN*)，化简可得：012nCnCnCnCn2n。

这一过程也为我们今后解决二项式定理相关问题提供了一种手段——赋值，即根据需要可将二项式定理中的字母a或b赋予一些特定的值或式，从而达到求解的目的。

对于这一结论，我还想提及高一集合部分当中所提到的“元素个数为n的集合的子集个数为2个”这一题设，前面我们已经利用分步乘法计数原理进行了证明，今天我们将用分类加法计数原理对其进行进一步的解释：若从该集合的子集的元素个数上进行分类，子集可0以有空集，即从n个元素中取0个元素组成，个数为Cn个；可以是单元素集合，即从n个1元素中取1个元素组成，个数为Cn个；也可以是双元素集合，即从n个元素中取2个元素2n组成，个数为Cn个，最终可以是由全部元素组成的集合，个数为Cn个，将这些子集的个数n求和，由前可知子集共有2个。

大家今后所见到的二项展开式很多是在二项式定理的基础上进行变换得到的，同学们以后要适应这种变换。

三、随堂练习

四、课时小结

五、课后作业

n不足之处敬请指教，谢谢！