2.2.2 反证法公开课参赛课教案

第二章推理与证明 2.2.2反证法教案(1课时)

一、内容及其解析：

本节课要学的内容反证法，指的是假设原命题不成立，经过正确的推理，最后得出矛盾，因此说明假设错误，从而证明了原命题成立, 理解它关键就是要了解反证法的思考过程。学生已学过的直接证明的两种方法：综合法与分析法，本节课的内容就是综合法与分析法基础上的拓展的一种证明方法。由于反证法在初中就有一定的接触，所以对反证法逻辑思维规则理解并不复杂,在培养学生逆向思维上有重要作用，并有提高学生推理能力的作用,是本学科的核心内容。教学的重点是掌握会用反证法证明问题的一般步骤，并能用反证法证明简单的问题。解决重点的关键是体会、了解、掌握反证法的思考过程。

二、目标及其解析

目标定位：1.了解反证法的含义及体会反证法的思考过程。 2.会用反证法证明简单问题。

目标解析：1、反证法：一般地，假设原命题不成立，经过正确的推理，最后得出矛盾，因此说明假设错误，从而证明了原命题成立。

2、反证法证明基本步骤：假设原命题的结论不成立

，

从假设出发，经推理论证得到矛盾

→

矛盾的原因是假设不成立，从而原命题的结论成立。

三、问题诊断

在本节课的教学中，学生可能遇到的问题之一：是应用反证法证明数学问题，产生这一问题的原因是学生的逆向思维发展不充分。要解决这一问题，教学中要适当进行引导，可引导学生用列举的方法直接给出证明。其二：是学生对于矛盾的得出不知道怎么总结，什么时候矛盾、与什么矛盾不清楚。要解决问题二就只能多让学生积累常用的公式、定理、定义及事实，同时积极参与到反证法的探索过程中逐步理解、掌握。

四、教学过程设计

（一）创境示标

1、故事一：路边苦杏

问题1：王戎是怎么知道李子是苦的呢?他运用了怎样的推理方法? 2、故事二：厨房摔碗

问题2：你能对小明的判断说出理由吗？

这种推理方法可以应用到数学问题上，就是

这节课要学习的反证法。 3、展示学习目标

（二）自主学习

阅读教材p42回答下面的问题：

问题3：什么是反证法？ 问题4：用反证法证题的一般步骤是什么？ 问题5：应用反证法的情形有哪些？

练习1：写出下列各结论的否定：

（1）a//b； _____（2）a≥0； _____ （3）b是正数； _____（4）a⊥b ； _____

（5）a=b _____（6）至少有一个___________

例1：用反证法证明(填空):在三角形的内角中,至少有一个角大于或等于60 °

（三）合作互学

例2、用反证法证明：如果a>b>0，那么

33例3、用反证法证明“已知a＋b＝2，求证a＋b≤2”

时的反设为________，得出的矛盾为________．

（四）归纳应用

问题4：反证法的一般步骤是怎样的？

问题5：哪些时候应用反证法解决问题？

问题6：反证法应注意一些什么？常见结论的反论词有哪些？

反设是反证法的基础，为了正确地作出反设，掌握一些常用的互为否定的表述形式是有必要的，例如：是/不是；存在/不存在；平行于/不平行于；垂直于/不垂直于；等于/不等于；大(小)于/不大(小)于；都是/不都是；至少有一个/一个也没有；至少有n个/至多有(n一1)个；至多有一个/至少有两个；唯一/至少有两个。

问题7：反证法导出矛盾的类型有哪些？

归谬是反证法的关键，导出矛盾的过程没有固定的模式，但必须从反设出发，否则推导将成为无源之水，无本之木。推理必须严谨。导出的矛盾有如下几种类型：与已知条件矛盾；与已知的公理、定义、定理、公式矛盾；与反设矛盾；自相矛盾。

（学生讨论回答，老师指导） 练习2：课本43业例8 变式训练：page43页练习1 五、课堂小结[来源:Zxxk.Com]

1、什么是反证法？

2、反证法证明的基本步骤？反证法实质是什么? 六、目标检测

课本43页练习1、2,课本44页A组练习3 七、教学反思

1、在数学教学中，抓好基本概念、基本技能的教育是非常重要的，而“解题教学”是提高学生数学素质，培养学生解决实际问题能力的重要途径。本节课主要目标是了解反证法的基本原理，掌握反证法的一般步骤，会用反证法证明数学中的一些简单命题。在准备这节课时，首先从课程分析和学情分析着手。综合法和分析法，是直接证明中最基本的两种证明方法，是解决数学问题时常用的思维方式。反证法是间接证明的一种基本方法，但反证法的应用需要逆向思维，是学习和掌握中的一个难点，所以本节课的重点是使学生在动脑思考，动手证明的过程中体会这种证明方法的内涵，建立应用反证法的感觉。学生从初中开始就对反证法有所了解，在选修2-1《常用逻辑用语》一章中学习了四种命题的关系，原命题与原命题的

逆否命题同真同假，而反证法的本质就是通过证明逆否命题的真来肯定原命题。但并没有系统学习过反证法的步骤，因此对反证法的理解是零散的。

2、本节课意在改变传统教学过程中过于注重传授知识的倾向，让学生自己去发现问题，解决问题。先巧用故事《道旁苦李》引入，并以视频的形式呈现，激发了学生的学习兴趣，并从王戎判断“李为苦李”的过程中体会反证法的内涵。学生共同探讨总结出反证法的含义。

然后从生活实际问题出发：问题1、任找370个人，他们中生日肯定有相同的。这一结论是否正确？问题2、高二（1）班49名学生中，至少有5名学生的生日在同一个月份。这一结论是否正确？让学生感受到了反证法处处可在，也从这些具体的例子中更加熟悉反证法的步骤。接着给出问题：通过以上几个练***家已经初步体会到反证法的作用，你能不能总结一下应用反证法的步骤？经过小组讨论学生不难总结其步骤，教师对其不完整的地方给以补充。让学生在体验，探究中学到了知识，体现了学生的主体地位。在此基础上又开始应用反证法证明数学问题。层层深入提出问题的目的是，引导学生意识到可以用反证法解决问题，并从中强化反证法的证明步骤及如何根据具体问题寻找矛盾。后通过两个练习题，使学生在运用数学方法解决问题的过程中巩固方法。

3、我对这节课比较满意的地方有： (1).让学生置身于知识的发生、发展过程中，经历直观感知、观察发现、抽象概括、符号表示等思维过程，展示“数学的严谨性”是对事物的感性认识的升华和提高，有助于提高学生分析问题和解决问题的能力。(2).教学通过丰富的实例展开，这一方面可以使学生体会反证法思想与现实世界的联系，另一方面，活生生的例子也会增强学生学习反证法的兴趣，产生学习数学的积极情感，使他们感受到反证法思想离自己很近，反证法很有用。(3).在宽松愉快的环境中学生完成了学习任务，学生的主体地位得到了体现，主动性得到了充分发挥，学生的学习热情空前高涨，就连平时不爱说话的学生也敢于站起来回答问题了。我感觉这节课最大的成功就是所有的学生都动起来了，每个人都学有所得。通过这节课我更加认识到诱思探究教学对大面积提高教学质量的巨大作用，更加坚信学生的潜力无穷，要给予学生充分的信任，相信他们解决问题的能力。

4、不足之处：课堂语言不够精炼，一些问题诱导不到位，致使学生找不到准确的方向，自己的设计意图没有完整体现出来，所以以后要还努力提高对课堂教学的控制能力。另外，在组织讨论时应给足学生时间，不仅仅是为了讨论而讨论，学生应在讨论中体会问题的实质，并最终形成自己的认识，哪怕是很肤浅的认识。